Необходимые и достаточные условия минимума функций нескольких переменных

1.3.Использование высших производных.

В случае, когда f’’(x)=0 (f’(x)=0) экстремум может быть, а может и не быть. Рассмотрим общий случай.

Теорема 3.2:Пусть функция f:U(x ₀ ) R, определенная в окрестности U(x ₀ ) точки х ₀ , имеем в х ₀ производные до порядка n включительно (n 1).

Если  f’(x ₀ )=…=f ^(n-1) (x ₀ )=0 и f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ )=0 , то при n нечетном в х ₀ экстремума нет, а при n четном экстремум есть, причем это строгий локальный минимум, если f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ ) 0 , и строгий локальный максимум, если f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ ).

Доказательство:Используя локальную фурмулу Тейлора

f(x)-f(x ₀ )=f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ )(x-x ₀ ) ⁿ + (x)(x-x ₀ ) ⁿ (3.2)

где (x) 0 при x x ₀ ,будем рассуждать так же, как при доказательстве леммы Ферма. Перепишем (2) в виде

f(x)-f(x ₀ )=(f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ )+ (x))(x-x ₀ ) ⁿ (3.3)

Поскольку f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ )=0,а (x) 0 при x x ₀ , сумма имеет знак f ⁿ (x ₀ ),когда х достаточно близок к х ₀ . Если n нечетно, то при переходе через х ₀ скобка (х-х ₀ ) ⁿ меняет знак и тогда изменяется знак всей правой , а следовательно, и левой части равенства (3.3). Значит, при n=2k+1 экстремума нет.

Если  n четно, то (x-x ₀ ) ⁿ 0 при x=x ₀ и,следовательно, а малой окрестности точки х ₀ знак разности f(x)-f(x ₀ ), как видно из равенства (3.3), совпадает со знаком f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ ) : 

• пусть f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ ),тогда в окрестности точки х ₀ f(x) f(x ₀ ), т. е. в точке х ₀ – локальный минимум; 
• пусть f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ ) 0,тогда f(x) f(x ₀ ) ,т. е. в точке х ₀ локальный минимум. ч.т.д.

2.Экстремумы функций трех переменных.

2.1.Необходимые условия экстремума.  

Пусть функция v=f(x,y,z) определена в области D и (x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция v=f(x,y,z) в точке (x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

(x ⁰ - ,x ⁰ + , y ⁰ - ,y ⁰ + ,z ⁰ - ,z ⁰ + )

что бы для всех точек этой окрестности  выполнялось неравенство

f(x,y,z) f(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ )

Если  эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) выполнялось строгое неравенство

f(x,y,z) f(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ )

то  говорят, что в точке (x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин –  экстремум.

Предположим, что наша функция в некоторой  точке (x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) имеет экстремум,

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные

f _x ’(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ), f _y ’(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) ,f _z ’(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ )

то  все эти частные производные  равны нулю, так что обращение  в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим y= y ⁰ ,z= z ⁰ сохраняя х переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной х :

v=f(x, y ⁰ ,z ⁰ )

Так как мы предположили, что в точке (x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности (x ⁰ - ,x ⁰ + ) точки x=x ⁰ , необходимо должно выполняться неравенство

f(x, y ⁰ ,z ⁰ ) f(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ )

так что упомянутая выше функция одной  переменной в точке будет иметь  максимум, а отсюда по теореме Ферма  следует, что

f _x ’(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ )=0

Таким образом можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.

Итак, “подозрительными” на экстремум  являются те точки, в которых частные  производные первого порядка  все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений

f _x ’(x,y,z)=0

f _y ’(x,y,z)=0 (4.2)

f _z ’(x,y,z)=0

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.   
 

2.2.Достаточное условие экстремума.

Как и в случае функции одной переменной, в стационарной точке вовсе не обеспечено наличие экстремума.Таким образом, встает вопрос об достаточных для существования (или отсутствия) экстремума в стационарной точке, то есть о том исследоовании, которому эта точка должна быть дополнительно подвергнута.

Предположим, что функция v=f(x,y,z) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков в окрестности некоторой точки (x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ), которая является стационарной, т.е. удовлетворяет условиям

f _x ’(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ )=0,f _y ’(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ )=0 ,f _z ’(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ )=0

Чтобы установить, действительно ли наша функция имеет в точке (x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) экстремум или нет, естественно обратимся к рассмотрению разности

= f(x,y,z)- f(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ )

Разложим  ее по формуле Тейлора,

= { f _x ’’ x ₁ ² +f _x ’’ x ₂ ² +…+f _x ’’ x _n ² +2f _x1x2 ’’ x ₁ x ₂ + +2f _x1x3 ’’ x ₁ x ₃ +…+2f _xn-1xn ’’ x _n-1 x _n }= f _xixj ’’ x _i x _j

где x= x _i -x _i ⁰ ; производные все вычеслены в некоторой точке

(x ₁ ⁰ +0 x ₁ , x ₂ ⁰ +0 x ₂ ,…, x _n ⁰ +0 x _n ) (0 0 1)

Введём  и здесь значения

f _xixj ’’ (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )=a _ik (i,k=1,2,…,n)

так что

f _xixj ’’ (x ₁ ⁰ +0 x ₁ , x ₂ ⁰ +0 x ₂ ,…, x _n ⁰ +0 x _n )= a _ik + _ik

и

_ik 0 при x ₁ 0,…, x _n 0

Теперь  интеесующее нас выражение можно написать в виде:

= { a _ik x _i x _k + _ik x _i x _k }

На  первом месте в скобках здесь  стоит второй дифференциал функции  f в рассматриваемой точке : он представляет собой однородный одночлен второй степени или, как говорят, квадратичную форму от переменных x ₁ ,…, x _n . От свойств этой квадратичной формы, как мы увидим, и зависит решение интересующего нас вопроса.

В высшей алгебре квадратичную форму

a _ik y _i y _k (a _ik = a _ki )

от  переменных y ₁ ,…,y _n называют определенной положительно (отрицательно), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях аргументов, не равных одновременно нулю.

Необходимое и достаточное условие для  того, чтобы форма (4.5) была определенной и положительной принадлежит  Сильвестеру (J.J.Sylvester). Оно выражается цепью неравенств:

a ₁₁ a ₁₂ a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃

a ₁₁ 0, a ₂₁ a ₂₂ , a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ 0,

a ₃₁ a ₃₂ a ₃₃

Так как определенная отрицательная  форма с изменением знака всех её членов переходит в определенню положительную, и обратно, то отсюда легко найти и характеристику отицательной формы : она дается цепью неравенств, которая получается из написанной выше изменением смысла неравенств через одно (начиная с первого).

a ₁₁ a ₁₂ a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃

a ₁₁ 0, a ₂₁ a ₂₂ a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ 0

a ₃₁ a ₃₂ a ₃₃

Следовательно, чтобы исследовать точку М(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) на экстремум , надо исследовать квадратичную форму

Сформулируем  полученный результат в виде теоремы.

Теорема : Пусть в некоторой области, содержащей точку М(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ), функция f(x,y,z) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно; пусть кроме того, точка М(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) является критической точкой функции f(x,y,z), т.е. f(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) f(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) f(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ )  

3.Экстремумы функций многих переменных.

3.1.Необходимые условия экстремума.

Пусть функция u=f(x ₁ ,x ₂ ,…,x _n ) определена в области D и (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ) будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция u=f(x ₁ ,x ₂ ,…,x _n ) в точке (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

(x ₁ ⁰ x ₁ ⁰ x ₂ ⁰ x ₂ ⁰ x _n ⁰ x _n ⁰ )

что бы для всех точек этой окрестности  выполнялось неравенство

f(x ₁ ,x ₂ ,…,x _n ) f(x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )

Если  эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ) выполнялось строгое неравенство

f(x ₁ ,x ₂ ,…,x _n ) f(x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )

то  говорят, что в точке (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин –  экстремум.

Предположим, что наша функция в некоторой  точке (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ) имеет экстремум,

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные

f _x1 ’(x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ) ,…, f ’ _xn (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )

то  все эти частные производные  равны нулю, так что обращение  в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим x ₂ =x ₂ ⁰ ,…,x _n = x _n ⁰ сохраняя x ₁ переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной x ₁ :