Нелинейная регрессия

In Хt = In A + atIn Kt+ a2InLt + t, где t = In t, Мt= 0, [2.4]

получаем модель линейной множественной регрессии. Параметры функции А, a1, a2 могут быть определены по методу наименьших квадратов с помощью стандартных пакетов прикладных программ, содержащих метод множественной регрессии .

Мультипликативная функция обладает также свойством 2, адекватным реальной экономике: с  ростом затрат ресурсов выпуск увеличивается, по факторам называются предельными  продуктами или предельными (маржинальными) эффективностями факторов и представляют собой прирост выпуска на малую единицу прироста фактора:

- предельный  продукт фондов, предельная фондоотдача  (предельная эффективность фондов);

- предельный  продукт труда, предельная производительность (предельная эффективность труда).

Для мультипликативной функции указанной выше вытекает, что предельная фондоотдача пропорциональна средней фондоотдаче -- с коэффициентом a1 , а предельная производительность труда -- средней производительности труда -- с коэффициентом Из также видно, что мультипликативная функция обладает свойством 4 , т.е. при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет. Таким образом, мультипликативная функция при 0 < а1 < 1, 0<а2 < 1 является неоклассической.

Производственные  функции в анализе деятельности региональных рынков

На практике встречаются случаи, когда рынок  контролируется небольшим количеством  продавцов. В основном это могут  быть крупные или средние отрасли  промышленности, автомобильные магазины и т.п. Данная ситуация называется олигополией. В этом случае стратегии участников (т.е. продавцов) зависят не только от них самих, но и от их конкурентов. Рассмотрим случай двух конкурентов, производящих одинаковую продукцию при своей ПФ

i=1,2 (1)

Предположим, что  первая фирма полагает, что вторая фирма действует по Курно, т.е. , тогда , поэтому максимальный выпуск этой фирмы равен: .Тогда все зависит от другой фирмы. Если она действительно действует по Курно, тогда получим равновесие Стакельберга, которая задается следующим выпуском:

Если предположить, что вторая фирма, так же как и первая, предполагает о том, что их конкуренты действуют по Курно, т.е. не меняют стратегию, тогда получим ситуацию, еще лучшую для потребителя. Получается, что и более того . Тогда . В этом случае и цена равна .Наконец может сложиться ситуация, когда фирмы объединятся, и на рынке сложится монополия. В этом случае максимизируется функция . Найдя производную по X, получим , т.е. цена выше, а выпуск ниже, чем во всех предыдущих случаях.

Рассмотрим конкретный пример: предположим, что на региональном рынке действуют два автомобильных завода, технологии изготовления продукции, которых одинаковы. Пусть издержки фирм составляют ,а цена зависит от общего выпуска фирм и равна . Исходя из наших данных, имеем a=5100, b=100, c=2950, d=50. Тогда вычислим . Используя вышеприведенные формулы для вычисления выпуска продукции и цен, а также формулу (5) для вычисления прибыли, получим следующие данные для всех рассмотренных состояний.Таким образом, эти данные точно отражают зависимость двух фирм друг от друга. Установить же этот факт нам помогли производственные функции.

Заключение

Таким образом, производственная функция - это функция, позволяющая определить максимально  возможный объем выпуска продукции  при различных сочетаниях и количествах ресурсов.

В теории производства традиционно используются двухфакторная  производственная функция, в которой  объем производства, является функцией использования ресурсов труда и  капитала:

Q = f (L, K).

Она может быть представлена в виде графика или  кривой. В теории поведения производителей при определенных допущениях существует единственная комбинация ресурсов, при которой минимизируются затраты на ресурсы при данном объеме производства.

Расчет производственной функции фирмы - это поиск оптимума, выбор среди многих вариантов, предусматривающих различные сочетания факторов производства, такого, который даёт максимально возможный объем выпуска продукции. В условиях растущих цен и денежных затрат фирма, т.е. издержек на приобретение факторов производства, расчет производственной функции сосредоточен на поисках такого варианта, который обеспечил бы максимизацию прибыли при наименьших издержках.

Расчет производственной функции фирмы, стремящийся к  достижению равновесия между предельными  издержками и предельным доходом, будет сосредоточен на поиски такого варианта, который обеспечит необходимый выпуск продукции при минимальных издержках производства. Минимальные издержки определяются на стадии расчетов производственной функции методом замещения, вытеснения дорогостоящих или возросших в цене факторов производства альтернативными, более дешевыми. Замещение осуществляется с помощью сравнительного экономического анализа взаимозаменяемых и взаимодополняемых факторов производства их рыночных цен. Удовлетворительным будет такой вариант, в котором комбинация факторов производства и заданный объем выпуска продукции соответствует критерию наименьших издержек производства. 

Существует несколько  видов производственной функции. Основными  из них являются:

1. Нелинейная  ПФ;

2. Линейная ПФ;

3. Мультипликативная  ПФ;

4. ПФ «затраты-выпуск».

Производственные  функции широко применяются в  экономическом анализе региональных рынков. Фактически форма производственной функции может отражать технические  возможности данного рынка на данный момент. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Подбор эмпирической  формулы. 

Статьи редакции / Статьи / Математика

Остановимся особо  на вопросе о подборе эмпирической формулы для функциональной зависимости  между величинами.

Пусть мы знаем, что некоторая величина у является функцией другой величины х, т. е. у = у(х), но аналитическое выражение этой функции нам неизвестно и мы хотим подобрать для нее формулу у = f(x), с достаточной для нас точностью описывающую зависимость. Пусть, далее, в результате эксперимента или наблюдения, мы получили ряд значений х и соответствующих значений у:

Тогда, если N не слишком велико, обычно начинают с  нанесения этих данных на координатную ось в виде отдельных точек. При  этом становятся видны точки, выпадающие из общего хода зависимости. Они могут свидетельствовать о каких-то важных эффектах, требующих специального исследования, но чаще получаются из-за существенных ошибок при эксперименте или вычислениях — тогда эти точки просто игнорируются.

Затем надо выбрать  вид формулы, которой мы будем пользоваться. Если этот вид не вытекает из каких-либо общих соображений, то обычно выбирают одну из простейших элементарных функций или их простую комбинацию (сумму степенных или показательных функций и т. п.); конечно, для этого надо хорошо представлять себе возможные графики таких функций. При этом следят за тем, чтобы подбираемая функция ?(x) имела те же характерные особенности, что и изучаемая функция у(х). Так, если по своему содержательному смыслу функция y(x) четная, то и функция ?(x) должна быть четной и т. п.; очень важно правильно передать поведение функции при больших и малых значениях х, возможную смену ее знака и другие ее существенные черты. На малом интервале изменения х часто применяют наиболее простую — линейную функцию, а вблизи точки экстремума — квадратичную функцию. Иногда не удается подобрать единую формулу на всем интервале изменения х и приходится разбивать этот интервал на части и на каждой подбирать свою формулу.

После выбора вида формулы нужно определить значения входящих в нее параметров. Рассмотрим сначала случай, когда экспериментальные точки подсказывают линейную зависимость у от х, т. е. мы полагаем ?(x) = ах + b и нам надо найти значения параметров а и b. Если высокой точности не требуется (тем более, что формула все равно приближенная), то это можно сделать непосредственно с помощью графика, проведя прямую — лучше всего применив прозрачную линейку,— к которой экспериментальные точки лежат ближе всего, а затем определить ее параметры. 

Если требуется  большая точность или если мы хотим обойтись без геометрических построений, ограничившись линейными приближениями, то наиболее часто для подбора параметров а и b применяется метод наименьших квадратов. Он состоит в минимизации суммы квадратов разностей между эмпирическими значениями функции и соответствующими ее значениями, полученными из приближенной формулы,

Применение необходимого условия экстремума (равенство нулю производных первого порядка  по каждому аргументу) к этой сумме, рассматриваемой как функция  величин а, b, приводит к простой системе уравнений для определения a и b:

Этот метод  можно применить и к формулам другого вида, даже содержащим более  одной независимой переменной и (или) любое число параметров, если эти параметры входят линейно  в искомую формулу. Если это не так, то иногда оказывается возможным ввести новые переменные так, чтобы это условие было выполнено.

Приведем пример. Пусть эксперимент привел к значениям: 

х = 0,00; 0,10; 0,20; 0,30; 0,40; 0,50; 0,60; 0,70; 0,80; 0,90; 1,00;

у = 0,00; 0,01; 0,03; 0,08; 0,17; 0,29; 0,45; 0,66; 0,91; 1,22; 1,57.

Изображение экспериментальных  точек на миллиметровке, которое  мы предоставляем сделать читателю, напоминает о степеннбй функции  вида у = а, в которую параметр b входит нелинейно. Поэтому прологарифмируем это равенство и обозначим In y = Y, In х = X, In a = А. Мы приходим к формуле Y = bХ + А, в которую параметры А и b входят линейно. В новых переменных таблица имеет вид

X = — 1,0000; —  0,6990; — 0,5229; — 0,3979;

— 0,3010; — 0,2218; — 0,1549; — 0,0969; — 0,0458; 0,0000;

Y = — 2,0000; — 1,5229; — 1,0969; — 0,7696;

— 0,5376; — 0,3468; — 0,1805; — 0,0410; 0,0864; 0,1959.

Применение метода наименьших квадратов дает значения b = 2,2734, А = 0,16079, откуда а = 1,4481, и с  учетом точности исходных данных мы получаем приближенную формулу у =. Отметим, что на полученные значения параметров могут существенно повлиять погрешности при измерении малых значений у. Для повышения достоверности результата следует либо повысить точность этого измерения, либо игнорировать эти значения при применении метода. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список литературы 
 

О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Р.Н. Черемных Взвешенный метод наименьших квадратов Взвешенный метод наименьших квадратов Математические методы в экономике. – М.: Дис, 1997. 

Анна Эрлих  Технический анализ товарных и финансовых рынков. – М.: ИНФРА, 1996. 

Я.Б. Шор Статистические методы анализа и контроля качества и надёжности. – М.: Советское  радио, 1962. 

В.С. Пугачёв  Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Наука, 1979. – 394 с.