Наращение и дисконтирование. Потоки платежей. Ренты

6

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра Автоматизированных систем управления

Лабораторная работа № 1

Вариант 4

Наращение и дисконтирование. Потоки платежей. Ренты.

по дисциплине

"Математическая экономика"

(Учебное пособие  "Математическая экономика",

Мицель А.А., Ефремова Е.А.)

Выполнил:

студент ТМЦДО

группы: з-448-а

специальности 080801

Торхов Николай Сергеевич

г. Нягань

                                                                 2012

Вопрос 1. Принцип неравноценности денег.

Принцип неравноценности денег относится к различным моментам времени. То есть 1000 рублей сегодня не равноценна 1000 рублей через год. Это обусловлено не только инфляцией, так деньги сегодня могут быть инвестированы и принести доход в будущем. Например если 1000 рублей положить на 1 год в банк под 10% годовых, то через год сумма составит 1100 рублей. То есть 1100 рублей в будущем – это 1000 рублей сегодня.

Наращение процентов – это процесс увеличения процентных денег. Наращение зависит от величины процентной ставки. Процентные ставки могут быть фиксированными и плавающими – выбирается процентная ставка и размер надбавки к ней.

Дисконтирование – это процесс определения текущей стоимости денег, если известна их будущая стоимость. Дисконтирование производится путем умножения будущей стоимости денег на коэффициент дисконтирования.

В практике экономических и финансовых расчетов суммы денег обязательно связываются с конкретными моментами или периодами времени. Необходимость учета временного фактора выражается в принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам шремени (time-value of money). 1 млн. руб. сегодня неравноценен 1 млн. руб. через 5 лет. Эта неравноценность двух одинаковых по абсолютной величине сумм связана не только с инфляцией и риском их неполучения. Имеющиеся сегодня деньги теоретически могут быть инвестированы и принести доход в будущем. Полученный доход может быть реинвестирован и т.д. Поэтому сегодняшние деньги ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем современные.

Поэтому при принятии решений долгосрочного характера неправомерно суммировать денежные величины, относящиеся к разным моментам времени.

Вопрос 2. Дисконтирование по простым и сложным процентам.

Дисконтирование представляет собой процесс нахождения денежной величины на заданный момент времени по ее известному или предполагаемому значению в будущем.

В зависимости от условий проведения финансовых операций как наращение, так и дисконтирование могут осуществляться с применением простых, сложных либо непрерывных процентов.

Простые проценты

Как правило, простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше или равен году.

Базой для исчисления процентов за каждый период в этом случае является первоначальная (исходная) сумма сделки.

Дисконтирование по простым процентам. В зависимости от вида процентной ставки при анализе краткосрочных финансовых операций применяют только два метода дисконтирования — математическое и коммерческое (так называемый банковский учет). В первом случае в качестве нормы приведения используют ставку, применяемую при наращении. Во втором случае в роли нормы приведения выступает учетная ставка.

Сложные проценты

Сложные проценты часто применяются в финансовых операциях, срок проведения которых превышает один год. Вместе с тем они могут использоваться и в краткосрочных финансовых операциях, если это предусмотрено условиями сделки либо вызвано объективной необходимостью (например, высоким уровнем инфляции, риска и т. д.). При этом основа для исчисления процентов за период включает в себя как исходную сумму сделки, так и сумму уже накопленных к этому времени процентов.

Вопрос 3. Понятие номинальной и эффективной ставки, их взаимосвязь.

Эффективная процентная ставка – это величина, которая позволяет финансовому работнику установить реальный относительный доход, после осуществления операций по схеме сложного процента за год.

Если же говорить о примере из жизни человека, далекого от тонкостей финансирования, то при оформлении кредитного договора, такая процентная ставка показывает, сколько денежных средств необходимо потратить заемщику на все дополнительные банковские услуги (комиссия, страховые доплаты), исключая оплату непосредственно за сам кредит. Эффективная процентная ставка включает в себя затраты на оформление и обслуживание кредитных сервисов банка и номинальную процентную ставку.

Эффективная ставка - это количество процентов, которое мы заплатим за кредит или получим по депозиту на самом деле.

Номинальная ставка-это процентная ставка за год, исходя из которой определяется величина, применяемая в каждом периоде при начислении процентов более одного раза в году. То есть та ставка, которую нам объявляют в банке, например, 10% годовых.

понятие номинальной ставки (nominal interest rate), которую используют для нахождения величины ставки, применяемой при начислении сложных процентов в каждом конкретном периоде в течение одного года. Иными словами, номинальная ставка – это ставка, величина которой определяется без учёта инфляции.

При финансовых вычислениях можно пользоваться как эффективной , так и номинальной процентной ставкой. При этом результаты расчетов не должны зависеть от выбора процентной ставки.

Эффективная ставка процентов

Период начисления по сложным процентам не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления – номинальная ставка ( j ).

Номинальная ставка (nominal rate) – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.

Эта ставка

во-первых, не отражает реальной эффективности сделки;

во-вторых, не может быть использована для сопоставлений.

Наряду с номинальной ставкой существует эффективная ставка (effective rate), измеряющая тот реальный относительный доход, который получен в целом за год, с учетом внутригодовой капитализации. Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке

Расчет эффективной ставки является мощным инструментом финансового анализа, поскольку ее значение позволяет сравнивать между собой финансовые операции, имеющие различные условия: чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем (при прочих равных условиях) она выгоднее для кредитора.

В финансовых соглашениях не имеет значения, какую из ставок указывать - эффективную или номинальную, поскольку использование как одной, так и другой дает одну и ту же (с любой точностью приближения) наращенную сумму.

Под эффективной ставкой понимается номинальная ставка вознаграждения плюс все виды комиссий и иные платежи, взимаемые кредитором в связи с выдачей и обслуживанием займа.

Вопрос 4. Принцип финансовой эквивалентности обязательств.

Финансовая эквивалентность обязательств. На практике нередко возникают случаи, когда необходимо заменить одно денежное обязательство другим, например с более отдаленным сроком платежа, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи) и т.п. Ясно, что такие изменения не могут быть произвольными. Неизбежно возникает вопрос о принципе, на котором должны базироваться изменения условий контрактов. Таким общепринятым принципом является финансовая эквивалентность обязательств. Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи "приведенными" к одному моменту времени {focal date), оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования (приведение к более ранней дате) или, наоборот, наращения суммы платежа (если эта дата относится к будущему). Если при изменении условий контракта принцип финансовой эквивалентности не соблюдается, то одна из участвующих сторон терпит ущерб, размер которого можно заранее определить.

Применение принципа финансовой эквивалентности не ограничено рамками задач изменения контрактов. Он лежит в основе преобладающего числа методов количественного финансового анализа.

По существу, принцип эквивалентности в наиболее простом проявлении следует из формул наращения и дисконтирования, связывающих величины Р и S. Сумма Р эквивалентна S при принятой процентной ставке и методе ее начисления. Две суммы денег S{ и S2, выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы. Замена S{ на S2 в этих условиях формально не изменяет отношения сторон.

Задача 1.

Годовая ставка сложных процентов равна 8%. Через сколько лет начальная сумма удвоится?

Решение:

Применяем основную формулу теории процентов, которая определяет будущую стоимость денег:

.

получаем, что начальная ставка удвоится через 9 лет.

Ответ: начальная сумма удвоится через 9 лет.

Задача 2.

Рассмотрим годовую ренту при , . Что более увеличит наращенную величину ренты: увеличение длительности на 1 год или увеличение процентной ставки на 1%?

Пусть Р = 1000,

Наращенную величину ренты определяем по формуле:

Наращенная величина увеличивается при увеличении длительности на 1 год.

Задача 3.

В банк помещен депозит в размере руб. По этому депозиту в первом году будет начислено , во втором -, в третьем - , в четвертом и пятом -. Сколько надо было бы поместить на счет при постоянной процентной ставке , чтобы обеспечить ту же сумму.

Решение:

Основная формула теории процентов определяет будущую стоимость денег:

где P - настоящее значение вложенной суммы денег,

      F - будущее значение стоимости денег,

      n - количество периодов времени, на которое производится вложение,

      r - норма доходности (прибыльности) от вложения.

Простейшим способом эту формулу можно проинтерпретировать, как определение величины депозитного вклада в банк при депозитной ставке r (в долях единицы).

Определим сумму депозита, наращенную:

- через 1 год (руб.)

- через 2 года (руб.)

- через 3 года (руб.)

- через 5 лет (руб.)

Далее определим сумму депозита, которую необходимо было бы поместить на счет  при постоянной процентной ставке , чтобы обеспечить ту же сумму за пять лет, используем формулу:

(руб.)

Ответ: 5173,81 рублей.

Задача 4.

Провести детальный анализ ренты длительностью 4 года, годовым   платежом R = 1000 д.е. и переменной процентной ставкой: 5% во 2-м году, 8% — в 3-м, 10% — в 4-м году. Определить  современную величину  этой ренты?

Решение:

Дано:

R = 1000 д.е.;

n = 4: n1 = n2 = n3 = n4=1;

i1 = 0, i2 = 5% = 0,05,  i3 = 8% = 0,08, i4 = 10% = 0,1.

Определяем наращенную сумму ренты с переменной процентной ставкой по формуле:

, где S - наращенная сумма ренты; R - размер отдельного платежа;  i - ставка процентов в виде десятичной дроби;  n - срок ренты в годах.

д.е. - наращенная сумма ренты.

Определим современную величину ренты по формуле:

, где A - современная величина ренты; - множитель дисконтирования

Ответ: д.е., д.е.

Задача 5.

Найдите ренту, которая представляет собой сумму для двух годовых рент: одна длительностью 5 лет с годовым платежом 500, и другая — 4 года и платежом 1800. Годовая ставка процента 9%.

. Найдите ренту, которая представляет собой сумму для двух годовых рент: одна длительностью 5 лет с годовым платежом 1000, и другая — 8 лет и платежом 800. Годовая ставка процента 8%.