КУРСОВАЯ  РАБОТА

ПО  ПРЕДМЕТУ: «ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ»

На тему «Моделирование систем массового обслуживания»

 

     

    СОДЕРЖАНИЕ 
 
 

 

  Введение

 

    С незапамятных времен человечество, используя  бессмертный метод проб и ошибок, интуицию и опыт, накапливаемый в  каждой конкретной ситуации, создавало искусство выработки наилучших решений в самых разных областях своей деятельности.

    Принятие  решения – проблема многосложная, отягощенная к тому же неохватимым разнообразием объективно существующих альтернатив и ограниченными возможностями взявшегося за его поиск.

    Успех использования математических методов и стиля мышления в естественных науках не сразу привел к мысли о том, чтобы включить их в сферу математического влияния и попытаться тем самым превратить древнее искусство в современную науку.

    Уровень развития науки и техники, достигнутой  к настоящему времени, позволяет задумываться и осуществлять мероприятия, в которые оказываются вовлеченными значительные ресурсы – и материальные, и людские; мероприятия, масштабы, стоимости и последствия которых существенно превышает все, что проводилось когда – либо ранее. Это открывает невиданные ранее возможности, но и таит в себе огромные опасности. Положение усугубляется еще и тем, что на протяжении одной человеческой жизни техника и технологии, а вместе с ними среда, требования и навыки сменяются настолько быстро, что опытные люди, умеющие приводить эту технику в действие и разумно управлять ею, просто не успевают сформироваться – ведь для того, чтобы сложилась традиция, нужно время.

    Испытанный  метод проб и ошибок, в наши дни  часто теряет свою универсальность: слишком катастрофическими могут оказаться ошибки и слишком мало времени отпущено для проб. Становится все более ясным, что сегодня меньше, чем когда-либо ранее, допустимы произвольные, чисто волевые решения.

    Для наиболее эффективного решения задач, возникающих в  сфере экономики, стали использовать математическое моделирования экономических систем, с использованием, как правило, современной вычислительной техники. Экономико-математическое моделирование представляет собой одну из фундаментальных математических дисциплин, стремящихся приоткрыть занавес над устройством внутренних механизмов сложных экономических систем.

    В понятие моделирования различные  специалисты вкладывают неодинаковый смысл. Для математика моделирование  – это лишь процесс решения  соответствующих задач. Для профессиональных программистов – это процесс создания целых комплексов программ, с помощью которых специалисты других областей знаний “проигрывают” на ЭВМ множество вариантов решения, моделируют возможные ситуации в экономике, управлении и других областях.

    Многие  экономические задачи связаны с  системами массового обслуживания (СМО), т. е. такими системами, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо услуг, с другой — происходит удовлетворение этих запросов. Ими можно описывать функционирование множества предприятий, банков, кредитных учреждений, страховых организаций, налоговых инспекций, организаций сферы обслуживания (магазинов, больниц и др.), деятельность которых связана с многократной реализацией исполнения каких-то однотипных задач и операций.

    Исследованием таких систем занимается теория массового обслуживания.

    Таким образом целью данной курсовой работы является описание актуальности создания моделей СМО, раскрытие основных этапов моделирования и оптимизации систем, структуры и их параметров эффективности функционирования, дать краткую классификацию основных видов СМО. Во второй части данной курсовой работы будут приведены практические расчеты по использованию моделей СМО на практике. 

 

    1. Моделирование систем массового обслуживания

 

    Основным  методом исследования систем является метод моделирования, т.е. способ теоретического анализа и практического действия, направленный на разработку и использование моделей. При этом под моделью будем пронимать образ реального объекта в материальной или идеальной форме, отражающей существенные свойства моделируемого объекта и замещающий его в ходе исследования и управления. Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т.е. возможности изучения реального объекта не непосредственно, а через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта, его модели.

    Закономерность  поведения экономических систем можно описать в виде математических формул и соотношений, при этом факторы, воздействующие на систему и ее реакция на эти воздействия в виде результативных выходных величин как переменные, а закономерность изменения поведения системы записываются соответствующими уравнениями и неравенствами.

    Экономико-математическая модель – это описание, отображающее экономический процесс или явление с помощью одного или нескольких математических выражений, отображающих поведение моделируемого объекта в заданных ими возможных условиях его реального существования.

    Процесс моделирования осуществляется в  несколько этапов:

          1. Содержательная (экономическая)  постановка задачи. Вначале нужно  осознать задачу, четко сформулировать ее. При этом определяются также объекты, которые относятся к решаемой задаче, а также ситуация, которую нужно реализовать в результате ее решения. Это - этап содержательной постановки задачи. Для того, чтобы задачу можно было описать количественно и использовать при ее решении вычислительную технику, нужно произвести качественный и количественный анализ объектов и ситуаций, имеющих к ней отношение. При этом сложные объекты, разбиваются на части (элементы), определяются связи этих элементов, их свойства, количественные и качественные значения свойств, количественные и логические соотношения между ними, выражаемые в виде уравнений, неравенств. Это - этап системного анализа задачи, в результате которого объект оказывается представленным в виде системы. Следующим этапом является математическая постановка задачи, в процессе которой осуществляется построение математической модели объекта и определение методов (алгоритмов) получения решения задачи. Это - этап системного синтеза (математической постановки) задачи. Следует заметить, что на этом этапе может оказаться, что ранее проведенный системный анализ привел к такому набору элементов, свойств и соотношений, для которого нет приемлемого метода решения задачи, в результате приходится возвращаться к этапу системного анализа. Как правило, решаемые в экономической практике задачи стандартизованы, системный анализ производится в расчете на известную математическую модель и алгоритм ее решения, проблема состоит лишь в выборе подходящего метода.

          Следующим этапом является разработка программы решения задачи на ЭВМ. Для сложных объектов, состоящих  из большого числа элементов, обладающих большим числом свойств, может потребоваться составление базы данных и средств работы с ней, методов извлечения данных, нужных для расчетов. Для стандартных задач осуществляется не разработка, а выбор подходящего пакета прикладных программ и системы управления базами данных.

          На заключительном этапе производится эксплуатация модели и получение результатов.

          Таким образом, решение  задачи включает следующие этапы:

          1. Содержательная  постановка задачи.

          2. Системный анализ.

          3. Системный синтез (математическая постановка задачи)

          4. Разработка или выбор программного обеспечения.

          5. Решение задачи.  

          Последовательное  использование методов исследования операций и их реализация на современной информационно-вычислительной технике позволяет преодолеть субъективизм, исключить так называемые волевые решения, основанные не на строгом и точном учете объективных обстоятельств, а на случайных эмоциях и личной заинтересованности руководителей различных уровней, которые к тому же не могут согласовать эти свои волевые решения.

          Системный анализ позволяет учесть и использовать в управлении всю имеющуюся информацию об управляемом объекте, согласовать принимаемые решения с точки зрения объективного, а не субъективного, критерия эффективности. Экономить на вычислениях при управлении то же самое, что экономить на прицеливании при выстрелах. Однако ЭВМ не только позволяет учесть всю информацию, но и избавляет управленца от ненужной ему информации, а всю нужную пускает в обход человека, представляя ему только самую обобщенную информацию. Системный подход в экономике эффективен и сам по себе, без использования ЭВМ, как метод исследования, при этом он не изменяет ранее открытых экономических законов, а только учит, как их лучше использовать.

    Многие  экономические задачи связаны с  системами массового обслуживания (СМО), т. е. такими системами, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо услуг, с другой — происходит удовлетворение этих запросов. Ими можно описывать функционирование множества предприятий, банков, кредитных учреждений, страховых организаций, налоговых инспекций, организаций сферы обслуживания (магазинов, больниц и др.), деятельность которых связана с многократной реализацией исполнения каких-то однотипных задач и операций. Исследованием таких систем занимается теория массового обслуживания.

    Методами  теории массового обслуживания могут  быть решены многие задачи исследования процессов, происходящих в экономике. Так, в организации торговли эти методы позволяют определить оптимальное количество торговых точек данного профиля, численность продавцов, частоту завоза товаров и другие параметры. Другим характерным примером систем массового обслуживания могут служить склады или базы снабженческо-сбытовых организаций, и задача теории массового обслуживания в данном случае сводится к тому, чтобы установить оптимальное соотношение между числом поступающих на базу требований на обслуживание и числом обслуживающих устройств, при котором суммарные расходы на обслуживание и убытки от простоя транспорта были бы минимальными. Теория массового обслуживания может найти применение и при расчете площади складских помещений, при этом складская площадь рассматривается как обслуживающее устройство, а прибытие транспортных средств под выгрузку — как требование. Модели теории массового обслуживания применяются также при решении ряда задач организации и нормирования труда, других социально-экономических проблем.

 

1.1 Структура и параметры эффективности и качества функционирования СМО.

    Каждая  система массового обслуживания (рис.1) включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств, называемых каналами обслуживания (к их числу можно отнести лиц, выполняющих те или иные операции, - кассиров, операторов, менеджеров и т. п.), обслуживающих некоторый поток заявок (требований), поступающих на ее вход в случайные моменты времени. Обслуживание заявок происходит за неизвестное, обычно случайное время и зависит от множества самых разнообразных факторов. После обслуживания заявки канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерности загрузки СМО - перегрузке с образованием очередей заявок или недогрузке - с простаиванием ее каналов.

      
 
 
 
 
 
 

Рис. 1. Структура  СМО 

    Таким образом, в СМО имеются: входящий поток заявок, очередь, поток необслуженных (покинувших очередь) заявок, обслуживания и выходной поток обслуженных заявок. Каждая СМО в зависимости от своих параметров (характера потока заявок, числа каналов обслуживания и их производительности) и правил организации ее работы обладает определенной эффективностью функционирования (пропускной способностью), позволяющей ей более или менее успешно выполнять предназначенные ей функции. Случайность характера потока заявок и длительности их обслуживания порождает в СМО случайный процесс, для изучения которого необходимы построение и анализ его математической модели. Изучение функционирования СМО упрощается, если случайный процесс является марковским (процессом без последействия, или без памяти), когда работа СМО легко описывается с помощью конечных систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка, а в предельном режиме (при достаточно длительном функционировании СМО) — посредством конечных систем линейных алгебраических уравнений. В итоге показатели эффективности функционирования СМО выражаются через параметры СМО, потока заявок и дисциплины работы СМО.

  Из  теории известно, чтобы случайный  процесс являлся марковским, необходимо и достаточно, чтобы все потоки событий (потоки заявок, потоки обслуживании заявок и др.), под воздействием которых происходят переходы системы из состояние в состояние, являлись пуассоновскими, т. е. обладали свойствами последействия и ординарности. Для простейшего пуассоновского потока случайная величина Т (промежуток времени между соседними событиями) распределена по показательному закону) представляя собой плотность ее распределения или дифференциальную функцию распределения.