Модель Леонтьева «затраты-выпуск»

Xi= ∑aijXj+Yi     (2.3) 

если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов  прямых материальных затрат А, вектор-столбец валовой продукции X и вектор-столбец конечной продукции Y: 

           || x1 ||                 || a11 a12 ... a1n  ||              || y1 ||

           || x2 ||                 || a21 a22 ... a2n  ||              || y2 ||

X =    || ...  ||,      A =  || ... ... ...       ...  || ,    Y =  || ...  || ,

           || xn ||                 || a1n a2n ... ann  ||              || yn || 
 
 
 

то система  уравнений (2.3) в матричной форме  примет вид (1,238): 

X=AX+Y        (2.4) 

данное уравнение, где A - постоянная технологическая матрица и называется моделью Леонтьева. Интерпретируя выражение AX как затраты, эту систему часто называют моделью "затраты-выпуск”. 

С помощью  этой модели можно выполнять три  варианта расчетов (11,239):

• задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Хi), можно определить объёмы конечной продукции каждой отрасли (Yi):

Y= (E-A)X,   (2.5)

(при этом  E обозначает единичную матрицу n-го порядка). 

• задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):

X=(E-A)  Y,  (2.6)

(при этом  (E-A )-1  обозначает матрицу, обратную (E-A)). 

• для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объёмы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объёмы валовой продукции вторых, в этом варианте расчёта удобнее пользоваться не матричной формой модели (2.4), а системой линейных уравнений (2.3).

 

Итак, основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. 

Переписав  матричное уравнение в виде: 

(E - A) X = Y, можно  сделать  следующие выводы: 

Если матрица (E - A) невырожденная (т.е. если ее определитель не равен нулю),  тогда имеем: 

X = (E - A) -1 Y.

Обозначим обратную матрицу В=   (E - A)-1 

Эта матрица  В = (E - A)-1 называется матрицей полных затрат. В матричной форме уравнение (2.6) теперь запишется как:

X=BY  (2.7) (11)

Элементы  матрицы В будем обозначать через  bij, тогда из матричного уравнения (2.7) для любой i-той отрасли можно получить следующее соотношение (11):

Xi =∑biYj, I=1…n 

В отличие  от коэффициентов прямых затрат aij коэффициенты bij называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы В = (bij), будем задаваться единичными векторами конечного продукта: 

        || 1 ||           || 0 ||               || 0 ||

        || 0 ||           || 1 ||               || 0 ||

Y1 = ||... ||, Y2 = ||....||,..., Yn =  ||... || .

        || 0 ||           || 0 ||               || 1 || 

Тогда соответствующие  векторы валового выпуска будут: 

         ||s11||                ||s12||                                  ||s1n||

         ||s21||                ||s22||                                  ||sn2||

Y1 = ||..  .||,        Y2 =||...  ||,    ...,                Yn = ||...  ||.

         ||sn1||                ||sn2||                                ||snn|| 

Следовательно, каждый элемент bij матрицы B есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли. 

В соответствии с экономическим смыслом задачи значения xi должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях yi и aij. 

Необходимо  отметить, что прежде чем воспользоваться методом Леонтьева, нужно определить продуктивна ли матрица. Матрица А называется продуктивной, если для любого вектора Y существует решение X уравнения (E - A) X = Y. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной (9). 

Существует  несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит  о том, что матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма  элементов строго меньше единицы. Но данное условие является только достаточным.

К необходимым  же и достаточным условиям относят  следующие (11,241):

1. матрица (E-A) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (E-A) ≥0;
2. матричный ряд  E + A +A²+A³ +…=∑ Aκ сходиться, причём его сумма равна обратной матрице (E-A);

 

Вычислительные аспекты решения задач на основе модели межотраслевого баланса будут продемонстрированы в заключительной  главе курсовой работы. Основной объём расчётов по этой модели связан с вычислением матрицы коэффициентов полных материальных затрат.

Рассмотренная выше межотраслевая модель является статической, т.е. такой в которой все зависимости отнесены к одному моменту времени. Такие модели могут разрабатываться лишь для отдельно взятых периодов, причём в рамках данных моделей не устанавливается связь с предшествующими или последующими периодами. Народнохозяйственная динамика отображается, таким образом, рядом независимо рассчитанных моделей, что вносит определённые упрощения и сужает возможности анализа. К числу таких упрощений прежде всего следует отнести то, что в статических межотраслевых моделях не анализируется распределение, использование и производственная эффективность капитальных вложений. Капиталовложения вынесены из сферы производства в сферу конечного использования вместе с предметами потребления и непроизводственными затратами, т.е. включены в конечный продукт.

§2.3 Динамические модели экономики типа "затраты-выпуск"

 

В процессе совершенствования и усложнения модели «затраты—выпуск» был создан динамический вариант системы, учитывавший технический прогресс, перестройку промышленности, изменения ценовых пропорций. Модель была переведена на гибкие коэффициенты. Эта работа оказалась весьма успешной еще и потому, что параллельно с научным поиском совершенствовалось компьютерное обеспечение.

В отличие  от статических динамическая модель призвана отразить не состояние, а процесс развития экономики, установить непосредственную  взаимосвязь между предыдущими и последующими этапами развития и тем самым приблизить анализ на основе экономико-математической модели к реальным условиям развития экономической системы.

В рассматриваемой  ниже динамической модели  (которая  является развитием статической  межотраслевой модели) производственные капитальные вложения выделяются из состава конечной продукции, исследуется их структура и влияние на рост объёма производства. В основе построения модели в виде динамической системы уравнений лежит математическая зависимость между величиной капитальных вложений и приростом продукции. Решение системы, как и в случае статической модели приводит к определению уровней производства, но в динамическом варианте в отличие от статистического эти искомые уровни зависят от объёмов производства в предшествующих периодах.

Ниже приведена  схема первых двух квадрантов динамического межотраслевого баланса (11,255).

Таблица 1 Динамическая модель МОБ 

 
 

Модель содержит две матрицы межотраслевых потоков. Матрица текущих производственных затрат с элементами xij совпадает с соответствующей матрицей статистического баланса. Элементы второй матрицы ∆Фij показывают, какое количество продукции i-той отрасли направлено в текущем периоде в j-ую отрасль в качестве производственных капитальных вложений в её основные фонды. Материально это выражается в приросте в потребляющих отраслях производственного оборудования, сооружений, производственных площадей, транспортных средств и др.

Для сравнения, в статистическом балансе потоки капиталовложений не дифференцируются по отраслям-потребителям и отражаются общей величиной в составе конечной продукции Yi каждой i-той отрасли. В динамической схеме конечный продукт Yi включает продукцию i-той отрасли, идущую в личное и общественное потребление, накопление непроизводственной сферы, прирост оборотных фондов, незавершённого строительства, на экспорт. Таким образом, сумма потоков капиталовложений и конечного продукта динамической модели равна конечной продукции статистического баланса (1,141): 

∑∆Фij + Yi’= Yi 

поэтому уравнение  распределения продукции вида (1.2) преобразуется в динамическом балансе в следующее (11,257): 

Xi =∑xij +∑∆Фij +  Yi’   i=1…n      (3.1) 

Межотраслевые потоки текущих затрат выражают как  и в статической модели через  валовую продукцию отраслей с  помощью коэффициентов прямых материальных затрат: 

xij = aijXj 

полагая, что  прирост продукции пропорционален приросту производственных фондов, можно  записать (11,257): 

∆Фij =φij∆Xj   i,j =1…n            (3.2) 

φij – коэффициенты пропорциональности, экономический смысл их заключается в том, что они показывают, какое количество продукции i-той отрасли должно быть вложено в j-тую отрасль для увеличения производственной мощности j-той отрасли на единицу продукции. Предполагается, что производственные мощности используются полностью и прирост продукции равен приросту мощности. Коэффициенты φij называются коэффициентами вложений, или коэффициентами приростной фондоёмкости.

Они образуют квадратную матрицу n-го порядка (13): 
 
 

          ||φ11     φ12   …   φ1n || 

          ||φ21     φ22   …   φ2n ||

(φij) =

          || .            .     …    .  || 

          ||φn1     φn2    …   φnn || 

Эта матрица  коэффициентов приростной фондоёмкости даёт значительный материал для экономического анализа и планирования капитальных  вложений. 

Далее, с помощью коэффициентов прямых материальных затрат и коэффициентов вложений φij систему уравнений (3.1) можно представить в следующем виде (11,257):