Множественная регрессия и корреляция

     Содержание 

 

    Введение

 

     Эконометрика - это наука, которая изучает статистические закономерности в экономике.

     Объектом  изучения эконометрики, как самостоятельного раздела математической экономики, являются экономико-математические модели, которые строятся с учетом случайных  факторов. Такие модели называются эконометрическими моделями. Исследование эконометрических моделей проводится на основе статистических данных об изучаемом объекте и с помощью методов математической статистики.

     Основными задачами эконометрики являются: получение  наилучших оценок параметров экономико-математических моделей, конструируемых в прикладных целях; проверка теоретико-экономических положений и выводов на фактическом (эмпирическом) материале; создание универсальных и специальных методов для обнаружения статистических закономерностей в экономике.

     Актуальность  проблемы: парная регрессия может дать хороший результат при моделировании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Например, при построении модели зависимости потребления того или иного товара от дохода исследователь предполагает, что в каждой группе дохода одинаково влияние на потребление таких факторов, как цена товара, размер семьи, ее состав.

     Вместе  с тем исследователь никогда  не может быть уверен в справедливости данного предположения. Например, для того чтобы иметь правильное представление о влиянии дохода на потребление, необходимо изучить их корреляцию при неизменном уровне других факторов. Прямой путь решения такой задачи состоит в отборе единиц совокупности с одинаковыми значениями всех других факторов, кроме дохода. Он приводит к планированию эксперимента — методу, который используется в химических, физических, биологических исследованиях.

     Экономист, в отличие от экспериментатора-естественника, лишен возможности регулировать другие факторы. Поведение отдельных экономических переменных контролировать нельзя, т.е. не удается обеспечить равенство всех прочих условий для оценки влияния одного исследуемого фактора. В этом случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их в модель, т.е. построить уравнение множественной регрессии:

     Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и целого ряда других вопросов эконометрики. В настоящее время множественная регрессия — один из наиболее распространенных методов в эконометрике. Основная цель множественной регрессии — построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.¹

     Задачами  работы являются:

     - изучение построения уравнения множественной регрессии;

     - изучение множественной корреляциии

      -включение факторов в уравнение множественной регрессии

     - проверка качества построенной модели 

     - оценка мультиколлинеарности факторов 

     - оценка гетероскедастичности

     - рассмотрение изучаемой темы  на практических примерах 

     Объект  исследования: эконометрические исследования.

     Предмет исследования: множественная регрессия  и корреляция в экономических исследованиях

     Методы:

     - теоретическое изучение материала;

     - практическое применение изученного  материала в экономических исследованиях.

 

    1. Множественная регрессия

 

    Множественная регрессия – уравнение связи  с несколькими независимыми переменными:

    

    где - зависимая переменная (результативный признак);

      - независимые переменные (факторы).

    Для построения уравнения множественной  регрессии чаще используются следующие функции²:

      линейная – 

      степенная – 

      экспонента – 

      гипербола - .

    Можно использовать и другие функции, приводимые к линейному виду.

    Для оценки параметров уравнения множественной  регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений  и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:

    

     

    Для ее решения может быть применен метод  определителей: 

     , ,…, , 

    где - определитель системы; 

     - частные определители; которые  получаются путем замены соответствующего  столбца матрицы определителя  системы данными левой части  системы. 

    Другой  вид уравнения множественной  регрессии – уравнение регрессии  в стандартизированном масштабе:

    

    где - стандартизированные переменные;

     - стандартизированные коэффициенты  регрессии. 

    К уравнению множественной регрессии  в стандартизированном масштабе применим МНК. Стандартизированные  коэффициенты регрессии ( - коэффициенты) определяются из следующей системы уравнений: 

     . 

    Связь коэффициентов множественной регрессии со стандартизированными коэффициентами описывается соотношением

    

    Параметр  определяется как .

    Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле

    

    Для расчета частных коэффициентов  эластичности применяется следующая  формула:³

    

.

    2. Множественная корреляция

    Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной  корреляции:

    

    Значение  индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции:⁴

      

    Индекс  множественной корреляции для уравнения  в стандартизированном масштабе можно записать в виде

    

    При линейной зависимости коэффициент  множественной корреляции можно  определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

      

     ---- определитель матрицы парных  коэффициентов корреляции;

      ------ определитель матрицы межфакторной корреляции.

      Частные коэффициенты (или индексы)  корреляции, измеряющие влияние на y фактора при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле: 

      

    или по рекуррентной формуле: 
 

     . 

    Частные коэффициенты корреляции изменяются в  пределах от –1 до 1.⁵

    3. Включение факторов  в уравнение множественной  регрессии

     Включение в уравнение множественной регрессии  того или иного набора факторов связано, прежде всего, с представлением исследователя  о природе взаимосвязи моделируемого  показателя с другими экономическими явлениями. Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям⁶:

• должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов; в модели стоимости объектов недвижимости учитывается место нахождения недвижимости);
• не должны быть интеркоррелированы и, тем более, находиться в точной функциональной связи.

     Если  между факторами существует высокая  корреляция, то нельзя определить их изолированное  влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии  оказываются неинтерпретируемыми.

     Включаемые  во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строится модель с набором р-факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации R² , который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии р-факторов. Влияние других, неучтенных в модели факторов, оценивается как 1 - R² с соответствующей остаточной дисперсией S² .

     При дополнительном включении в регрессию  фактора (р + 1) коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться:

      и (5.2)

     Если  же этого не происходит и данные показатели практически мало отличаются друг от друга, то включаемый в анализ фактор x_p + 1 не улучшает модель и практически является лишним фактором. Насыщение модели лишними факторами не только не снижает величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической незначимости параметров регрессии по t-критерию Стьюдента.

     Таким образом, хотя теоретически регрессионная  модель позволяет учесть любое число  факторов, практически в этом нет  необходимости. Отбор факторов производится на основе качественного теоретико-экономического анализа. Однако теоретический анализ часто не позволяет однозначно ответить на вопрос о количественной взаимосвязи рассматриваемых признаков и целесообразности включения фактора в модель. Поэтому отбор факторов обычно осуществляется в две стадии: на первой — подбирают факторы, исходя из сущности проблемы; на второй — на основе матрицы показателей корреляции определяют t-статистики для параметров регрессии.

    Уравнения множественной регрессии могут включать в качестве независимых переменных качественные признаки (например, профессия, пол, образование, климатические условия, отдельные регионы и т. д.). Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, их необходимо упорядочить и присвоить им те или иные значения, т. е. качественные переменные преобразовать в количественные. 

    Такого  вида сконструированные переменные принято в эконометрике называть фиктивными переменными. Например, включать в модель фактор «пол» в виде фиктивной переменной можно в следующем виде:

    

      Коэффициент регрессии при фиктивной  переменной интерпретируется как  среднее изменение зависимой  переменной при переходе от  одной категории (женский пол)  к другой (мужской пол) при неизменных значениях остальных параметров. На основе t-критерия Стьюдента делается вывод о значимости влияния фиктивной переменной, существенности расхождения между категориями.

     Коэффициенты интеркорреляции (т.е. корреляции между объясняющими переменными) позволяют исключать из модели дублирующие факторы. Если факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. В этом требовании проявляется специфика множественной регрессии как метода исследования комплексного воздействия факторов в условиях их независимости друг от друга.