Методы и модели в экономике

 
 

Таблица 5.

Данные  по второму предприятию

 

      Для каждого предприятия необходимо определить оптимальный объем выпуска  продукции в стоимостном  выражении, если известно, что объем централизованного ресурса, распределяемого между предприятиями, составляет 32 условные единицы. Обозначим:

х₁₁ , х₁₂  - количество изделий 1-го и 2-го типа 1-ой подсистемы¹;

      х₂₁ , х₂₂  - количество изделий 1-го и 2-го типа 2-ой подсистемы¹.

      Тогда общая модель системы будет иметь следующий вид: 
 

      3 х₁₁ + 2 х₁₂  + 2 х₂₁ + 3х₂₂    max

                  2 х₁₁ + 3 х₁₂  + 2 х₂₁ + 1х₂₂  32

                  2 х₁₁ + 1 х₁₂                          10

                  1 х₁₁                                                       4

                                     1 х₂₁ +    2 х₂₂      12

                              х₂₂     3

                                     х₁₁, х₁₂, х₂₁, х₂₂ 0 
 

Декомпозиция  этой модели приводится на схеме: 
 
 
 
 

 
 

                                    

              

 

Задание 2. Решение задач  подсистем. 

Модель  первой подсистемы имеет вид: 

      3 х₁₁ + 2 х₁₂      max  

                  2 х₁₁ + 3 х₁₂    32   (1)

                  2 х₁₁ + 1 х₁₂    10   (2)

                  1 х₁₁                     4   (3) 

      Решение параметрической задачи  будем  приводить графически. Для этого  построим область допустимых решений  (ОДР), состоящую из уравнений собственных ресурсов подсистемы, то есть неравенства (2) и (3) (см. рис. 7). На этой области исследуем поведение ЦФ от различных значений ЦР.

      При значении U₁ = 0,  f₁ (U₁) = 0, начнем увеличивать значение ЦР. Пусть U₁ = 6 (область ОАС¹). На этом множестве ЦФ достигает своего оптимального значения в точке А, то есть  при увеличении ЦР от  0  до  6  оптимальный план скользит по ребру ОА. А при увеличении U₁ от  от  6  до  18  оптимальный план скользит по ребру АВ. А при изменении U₁ от  18  до  30  оптимальный план скользит по ребру ВС. Таким образом, при изменении ресурса от  0  до  30 оптимальный план первой подсистемы движется по траектории  ОАВС. При увеличении U₁  сверх 30  данный ресурс уже не является лимитирующим, и оптимальный план остается в точке  С. При этом значение ЦФ в точке С  f₁ (U₁) = 20.

      Для выражения зависимости координат  оптимального плана от величины U₁  необходимо решить систему уравнений. Первое уравнение является ограничением ЦР, а второе – гранью ОДР, по которой  скользит оптимальный план. Последовательно рассмотрим поведение функции на отрезках [ОА], [АВ], [ВС].

      1. Найдем вид функции на отрезке  [ОА]. На этом отрезке ЦР изменяется от  0  до  6. Система ограничений, из которой находим координаты оптимального плана, имеет следующий вид:

Находим из этой системы координат оптимального плана:

  

Подставляя  эти значения в уравнение ЦФ  получаем вид функции на отрезке [ОА]:

      2. Отрезок [АВ],  .

 

      3. Отрезок [ВС],  .

 

      4. При 

      Тогда зависимость ЦФ первой подсистемы от ЦР, то есть решение первой подсистемы, будет следующей:

      График  этой функции представлен на рис.8. Эта зависимость отражает то общее свойство любой производственной системы, что эффективность каждой дополнительной единицы уменьшается, то есть прирост максимально возможного объема выпуска на дополнительную единицу ресурса при неизменной технологии убывает (общий закон убывающей эффективности). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.2. Решение второй  подсистемы. Ее модель:

      2 х₂₁ + 3 х₂₂      max  

                  2 х₂₁ + 1 х₂₂    U₂   

                  1 х₂₁ + 2 х₂₂    10   

                  1 х₂₂                     3  

      При увеличении  ресурса  U₂  от  0  до  20, оптимальный план, как видно на рис. 9, движется по траектории  OKMN. Координаты оптимального плана на различных участках траектории будут следующими: 

1. Отрезок  [OK],  0 ≤ U₂ ≤ 3.

 

2. Отрезок  [KМ],  3 ≤ U₂ ≤ 11.

 

3. Отрезок  [МN],  11 ≤ U₂ ≤ 20.

 

4. при . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Решение второй подсистемы:

 

      График  этой функции представлен на рис. 10. Подсистемы сообщают эти функции  в центр. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 3. Решение задачи центра и определение  номенклатурных планов подсистем. 

      Задача  выглядит следующим образом: 

      

3.1. Для  решения этой задачи нужно  построить результирующую функцию  максимального объема выпуска  всей системы в зависимости  от объема ЦР. Практически такую  функцию можно построить, включая  отрезки функций подсистем в порядке убывания эффективности дополнительной единицы ресурса. Для наглядности отрезки первой подсистемы будем изображать тонкой линией, а второй подсистемы – толстой. График результирующей функции представлен на рис. 11. По этой функции определяется предельный норматив эффективности использования ЦР: на оси ресурсов U  находится точка, соответствующая наличию ресурса в системе (32). Из этой точки восстанавливается перпендикуляр  до пересечения с графиком функции  f(U). Соответствующий коэффициент эффективности  ε  и будет являться предельным (нормативным) для всей системы  ε_Н. Для нашего примера:

             , [ед. ЦФ/ед. ЦР]

      Этот  норматив   ε_Н  спускается подсистемам, которые не имеют теперь права использовать ЦР с меньшей эффективностью. 

3.2. Подсистемы  запрашивают такой объем ресурсов  U_K, эффективность использования которого не меньше, чем предельная. Эти объемы сообщаются в центр. Для нашего примера:  

3.3. Центр  определяет суммарный объем запрашиваемых ресурсов и их наличие. Если спрос превышает наличие, то заявка подсистемы, имеющей меньшую эффективность использования ресурса, уменьшается на величину сбалансирующего спроса и предложения. Для нашего примера

            

      Значит, на  6 = ∆ U  единиц корректируется заявка второй подсистемы. В результате подсистемам спускаются оптимальные нормы централизованного ресурса:

              
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 11. Построение линии эффективности  всей системы  и определение e_н и

. 

3.4. В  соответствии с выделенным объемом  ресурсов подсистемы решают собственные  задачи при известных ресурсах  и определяют оптимальные номенклатурные  планы.

      В данном примере оптимальные планы  такие:

             .

      Оптимальный объем выпуска продукции в  стоимостном выражении: Заметим, что суммарная полезность соответствует значению (35), уже найденному при определении нормативного коэффициента эффективности (см. рис. 11). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы. 

1. Новожилов В.В. Проблемы измерения затрат и  результатов при оптимальном планировании. М.: Наука, 1972.
2. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учебное пособие для студентов эконом. специальностей. М.: Высшая школа, 1986.
3. Шимко П.Д., Поснов В.Г. Экономико-математическое моделирование производственных систем / ЛИЭИ. Л.:, 1987.
4. Громова Н.В. и др. Методы исследования операций в моделировании организационно-экономических задач: Учеб. пособие/Громова Н.Б., Минько Э.В., Прохоров В.И. -М.:Изд-во МАИ,1992.-240 с.:ил.
5. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов/Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.:Банки и биржи, ЮНИТИ,1997. - 407 с.:ил., табл.
6. Паркинсон С. Н., Рустомджи М.К. Искусство управления/ Пер. с англ. К. Савельева. - М.: Издательско - торговый дом Гранд, Агентство Фаир,1997. - 271 с.:ил. - (Настольная книга бизнесмена).