Методы и модели в экономике

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение 
высшего профессионального образования 
«Санкт-Петербургский государственный 
инженерно-экономический университет» 

Кафедра исследования операций в экономике

имени профессора Юрия Алексеевича Львова 

Контрольная работа по дисциплине 

МЕТОДЫ  И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ 
 
 

Выполнил:

студент  курса _______ группа  

N зачетной книжки _________ Дата: ____________________ 

____________________________             __________________________

                          (Подпись)                                           (И.О. Фамилия)

Проверил:

Преподаватель: __________________________________________

                                                                              (должность,  уч. степень, уч. звание)

______________________________________________________

(Подпись)      (И.О. Фамилия) 

Оценка: Дата:  
 
 
 
 
 
 
 
 

Санкт-Петербург   
2010 

Содержание:

Часть I. Исследование эффективности использования производственных ресурсов______________________________________________________3

Часть II. Декомпозиция моделей оптимального планирования________16

Список литературы____________________________________________26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЧАСТЬ 1.Вариант 0

Пусть результаты деятельности условного предприятия оцениваются по показателю общей стоимости выпуска. Предприятие в плановом периоде может выпустить три вида продукции со следующими характеристиками:

Таблица 1

Характеристика  продукции

 

      Известны  общие объемы ресурсов в плановом периоде:

• располагаемый фонд рабочего времени T = 12 (т.чел.-ч);
• выделенные лимиты сырья S = 32 (т) и материалов M = 18 (т);
• цены сырья P_s = 1 (тыс. руб./т) и материалов P_m = 3 (тыс. руб./т).

Необходимо:

       1. Найти оптимальный план производства  продукции при исходных объемах  ресурсов.

      2. Исследовать возможность увеличения  объемов выпуска в условиях  свободной торговли средствами производства.

      3. Оценить эффективность дополнительного  вовлечения ресурсов. 

Задание 1. Построение, анализ и решение исходной модели. 

1. Введем  переменные х₁, х₂, х₃ - объемы производства соответствующих видов продукции в условно-натуральных единицах.

Модель  имеет вид:

Стоимость    С 40 х₁ + 36 х₂ + 38 х₃   max

      Труд    Т 2 х₁ + 3 х₂ + 4 х₃ 12 (тыс. чел.-ч)

      Сырье   S 8 х₁ + 4 х₂ + 12 х₃ 32 (т)

      Материалы   М      2 х₁ + 6 х₂ + 8 х₃ 9 (т)

                                     х_1,  х_2,   х₃           0  

2. Прежде, чем  переходить к решению, проведем анализ модели. Рассмотрим простейшие показатели эффективности использования различных видов ресурсов при выпуске каждого вида продукции:

, i, j,

      где C j – цена j-ой продукции,  a ij – норма расхода i-го ресурса. Данные коэффициенты отображают соотношение результатов и затрат (цена в данном случае показатель результата деятельности), то есть являются показателями эффективности. 

      К^Т₁ = 40/2 = 20(т.р./т.Ч-Час),К₂^Т = 36/3 = 12;  К₃^Т = 38/4 = 9,5,

      К^S₁ = 40/8 = 5 (т.р./т), К₂^S = 36/4 = 9; К₃^S = 38/12 = 19/6  (3,16)  ,

      К^М₁ = 40/2 = 20 (т.р./т), К₂^М = 36/6 = 6; К₃^М = 38/8 = 19/4  (4,75). 

      Экономически эти коэффициенты можно трактовать как показатели ресурсоотдачи при выпуске продукции первого, второго и третьего видов. Так, показатель = 5 тыс. руб./т показывает, что при выпуске продукции 1, затрачивая 1 т сырья, в конечном счете мы получаем результат 5 тыс. руб. Иначе можно сказать, что характеризует эффективность использования сырья при выпуске продукции первого вида. 

1.3. Анализ  коэффициентов показывает, что с  точки зрения трудозатрат выгоднее  всего продукция 1, так как у нее самый большой = 20. С точки зрения затрат сырья – продукция 2 ( = 9), материалов – также продукция 1 ( = 20).

      Производство  продукции 3 невыгодно с точки  зрения использования всех трех видов ресурсов, так как у нее самые низкие показатели эффективности по труду, сырью и материалам.

      Такой предварительный анализ позволяет  сделать вывод, что продукция 3 не войдет в оптимальный план (ограничения на ее обязательный выпуск отсутствуют) и она может быть исключена из модели. Модель примет вид: 

            С 40 х₁ + 36 х₂   max

                  Т 2 х₁ + 3 х₂ 12

                  S 8 х₁ + 4 х₂  32

                  М 2 х₁ + 6 х₂ 18

                         х₁                0

                                х₂    0 

1.4. Решим  задачу графически (рис.1). Ограничения  T, S, M определяют многоугольник допустимых планов ОABС. Линии ограничений в данном частном случае пересекаются в одной точке В, которая и является оптимальным планом 

 

      Ресурсы используются полностью:

      Т_В = 12 (т.чел.-ч), S_B = 32 (т), М_В = 18 (т).

      Общая стоимость выпускаемой продукции:

      СВ = 40 ∙ 3 + 36 ∙ 2 = 192 (тыс. руб.). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.5. Эффективность  использования ресурсов можно  оценить по показателям  K_i:

      К^Т = 192/12 = 16 (тыс. руб./тыс. чел.-ч.) 

      К^S = 192/32 = 6 (тыс. руб/т.)

      К^М = 192/18 = 10,6 (тыс. руб. /т.) 

Задание 2. Исследование возможности  увеличения объема выпуска при свободной торговле средствами производства. 

      В условиях свободной торговли средствами производства имеющиеся у предприятия (или выделенные централизованно) ресурсы, за исключением рабочей силы, могут быть приобретены или проданы на рынке.

2.1 Необходимо определить, какие ресурсы и в каком количестве необходимы для увеличения объема выпуска продукции С по сравнению с полученным ранее оптимальным планом  и   С = 192 тыс. руб.

      Предположим, что сбыт и приобретение ресурсов  сырья и материалов обеспечены. Труд является не только лимитирующим, но и дефицитным ресурсом и будет ограничивать выпуск продукции.

 

2.2. Исходная  модель примет вид: 

            С 40 х₁ + 36 х₂   max

                  Т 2 х₁ + 3 х₂   12

                  S 8 х₁ + 4 х₂   32

                  М 2 х₁ + 6 х₂   18

                           х₁               0

                                 х₂    0 
 

2.3. Решим  задачу графически  (см. рис. 2). Ограничения по сырью и материалам не показаны, так как находятся вне области определения х1 и х2. Область допустимых планов ОЕД определяется лишь ограничением Т. Оптимальный план находится в вершине D.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.4. Новый план  дает по сравнению с исходным  :

• прирост стоимостного выпуска  ∆С = 240 – 192 =   48 (тыс. руб),

-    экономию материалов                 ∆М =   12   –   18   =  – 6 (т), но требует дополнительного вовлечения сырья    ∆S =   48  – 32   =   16 (т).

      При обеспеченности сбыта и приобретении на рынке

• выручка от продажи излишних материалов по цене Р_М = 3 (тыс. руб.-т), В_М  =  3 · 6  =  24 (т.р.),
• затраты на закупку дополнительного сырья по цене

P_S =  1 (тыс. руб.-т),

      З_S = 1 ·  16   =  16 (тыс. руб).

      При этом образуется остаток денежных средств  D_n =  B_M  – З_S  =  24  – 16  =  8 (тыс. руб.).