Контрольная работа по «Экономико-математическим методам и моделям»

    Поскольку значения коэффициента корреляции определяются по выборочным данным и, следовательно, будут различными при рассмотрении различных выборок из одной и той же генеральной совокупности, значение коэффициента корреляции следует рассматривать как случайную величину.

    Таким образом, может возникнуть ситуация, при которой величина коэффициента корреляции, рассчитанного по данным выборки, отлична от нуля, а истинный коэффициент корреляции равен нулю.

    Для проверки значимости отличия коэффициента корреляции от нуля используется критерий Стьюдента, определяемый по формуле:

    t =

,

    где  S_r − среднеквадратическая ошибка выборочного коэффициента корреляции.

    

    Расчетная величина  t - критерия сопоставляется с табличной величиной, отыскиваемой в таблицах значений этого критерия при числе степеней свободы, равном (n−2) и заданной доверительной вероятности, которая обычно выбирается равной Р = 0,95 или Р = 0,99. В некоторых случаях вместо доверительной вероятности задается так называемый уровень значимости ά = 1−р. Если расчетная величина  t - критерия окажется больше табличной, то это означает, что полученный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, если же расчетное значение критерия меньше, чем табличное, то коэффициент корреляции следует считать равным нулю.

    Произведем  типовой расчет коэффициента корреляции.

    Исходные  данные задачи и промежуточные результаты удобно свести в таблицу 2.2.

Таблица 2.2.

 

    

;  

    Расчет  коэффициента корреляции: 

    r_xy =

    Вычислим  ошибку коэффициента корреляции:

    

    Рассчитаем  величину t - критерия:

    t_r =

    Табличное значение t - критерия (при восьми степенях свободы и 95% доверительной вероятности): t_табл = 2,306.

    Таким образом,  t_r > t_таб и, значит, коэффициент корреляции значимо отличен от нуля. 

    Расчет  уравнения регрессии. 

    Для расчета коэффициента регрессии будем пользоваться методом наименьших квадратов, суть которого состоит в том, чтобы подобрать такое аналитическое выражение зависимости между исследуемыми показателями, для которого сумма квадратов отклонений значений зависимой переменной у, вычисленных по этому выражении от значений, определяемых по данным наблюдений, была бы минимальной, то есть:

    

,

    где − значение переменной в i-ом наблюдении;

     − значение переменной, определенное расчетом при i-ом значении переменной х;

    n − число наблюдений.

    При использовании метода наименьших квадратов  вид управления связи задается, исходя из экономических соображений.

    Если  предполагается, что связь линейная, т. е.

    у_расч = а₀ + а₁х,

то задача отыскания уравнения связи состоит в расчете таких значений коэффициента а₀ и а₁, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений у от фактических была бы минимальной.

а₁ =

= ;

а₀ =

− = 9,32 – 0,0145×144,5≈ 7,225

Уравнение связи: у = 7,225 + 0,0145∙х  

    Величина  а₁ называется коэффициентом регрессии. Так же как и коэффициент корреляции, коэффициент регрессии является случайной величиной, в связи с чем возникает необходимость проверки значимости его отличия от нуля. Эта проверка, так же как и в случае с коэффициентом корреляции, осуществляется с помощью t − критерия.

    Проверим  значимость коэффициента а₁.

    Вычислим ошибку коэффициента регрессии:

    Sа₁ =

    Данные  для расчета удобно свести в таблицу 2.2. Значения у_расч определим из уравнения (1).

    Таблица 2.2

 

    Sа₁ =

    

    В остальном методика проверки коэффициента регрессии от нуля аналогична проверке значимости коэффициента корреляции. Коэффициент регрессии показывает, насколько изменяется зависимая переменная при изменении независимой переменной на единицу.

    Для данного случая табличное значение t-критерия при восьми степенях свободы и 95% доверительности вероятности равно 2,306. Таким образом, ta₁> t_табл и, следовательно, коэффициент регрессии значимо отличен от нуля.

    Рассчитываем  коэффициент эластичности Э = а₁×

    Э = 0,0145×

= 0,2248

    Коэффициент эластичности показывает, на сколько  % увеличится у при увеличении х на 1%.

    Ответ: Таким образом, произведенный анализ показывает, что величина рентабельности предприятия тесно связана с производительностью труда (коэффициент корреляции 0,87).   Из полученного уравнения регрессии  у = 7,225 + 0,0145х следует, что увеличение производительности труда на 1тыс. руб. приводит к повышению рентабельности на 0,0145 тыс.руб. Изменение производительности труда на 1% приводит к увеличению рентабельности на 0,2248%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

     Задача 3. Определение оптимального ассортимента трикотажной фабрики методами линейного программирования. 

    Трикотажная фабрика предполагает предложить потребителям полотна 150 и 90 артикулов. Требуется определить ассортимент указанных тканей, позволяющий фабрике получить максимальную прибыль на имеющемся оборудовании (машины Текстима и Кокетт). При этом следует определить также, какие артикулы трикотажного полотна и в каких объемах нужно выпускать на каждой из машин. Исходные данные приведены в таблице 3.1. 

    Таблица 3.1

 

    Фонд  машинного времени машины текстима − 8000 маш/час.

    Фонд  машинного времени машины кокетт − 6200 маш/час. 

    Решение: 

    1. Составление экономико-математической модели задачи:

    Введем  следующие обозначения:

х₁ − планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 150 на машине Текстима (т.);

х₂ − планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 90 на машине Текстима (т.);

х₃ − планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 150 на машине Кокетт (т.);

х₄ − планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 90 на машине Кокетт (т.);

    Составляем  целевую функцию,  выражающую прибыль, получаемую от выпуска всей продукции

    L(х)  = 13,4х₁  + 7,06 х₂   + 13,46х₃ + 7,17х₄ →max,

    Составляем  ограничения на фонд машинного времени имеющегося оборудования:

    для машины Текстима 

    для машины Кокет 

    Так как неизвестные выражают выпуск продукции, то х₁, х₂, х₃, х₄ ≥ 0

    Преобразуем ограничения −- неравенства в равенства путем введения дополнительных неизвестных х₅ и х₆, выполнив соответствующие арифметические операции.

    Так как неизвестные х₅ и х₆ выражают неиспользуемое время работы соответствующего оборудования и следовательно, не влияют на прибыль, то в целевую функцию эти неизвестные входят с нулевыми коэффициентами.

    L(х)  = 13,4х₁  + 7,06 х₂   + 13,46х₃ + 7,17х₄ + 0х₅ + 0х₆ →max

    ограничения:

    413,2х₁ + 245,09х₂ + х₅ = 8000

    265,95х₃ + 130,54 х₄ + х₅ = 6200  (1)

    х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆ ≥ 0

    В результате получаем математическую модель (1), представляющую общую задачу программирования.

    Решим задачу симплекс-методом. Этапы решения задачи оформлены в вице симплекс-таблиц 3.2-3.5: