Контрольная работа по "Эконометрике"

Министерство образования и науки Российской Федерации

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ

ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ВЗФЭИ)

Кафедра «Экономико-математических методов и моделей»

Факультет Учетно-статистический

Специальность БУАиА

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине Эконометрика

                                                             Тема: Вариант №37

                                                                                    Выполнил:                           

                                          Курс                            группа №

              Личное дело №

                                                                                    Преподаватель:  

Москва – 2012

Задания для выполнения контрольной работы

На основании данных:

1. Постройте диаграммы рассеяния, представляющие собой зависимости Y от каждого из факторов Х. Сделайте выводы о характере взаимосвязи переменных.

2. Осуществите двумя способами выбор факторных признаков для построения регрессионной модели:

а) на основе анализа матрицы коэффициентов парной корреляции, включая проверку гипотезы о независимости объясняющих переменных (тест на выявление мультиколлинеарности Фаррара–Глоубера);

б) с помощью пошагового отбора методом исключения.

3. Постройте уравнение множественной регрессии в линейной форме с выбранными факторами. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

4. Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью коэффициентов эластичности, - и -коэффициентов.

5. Рассчитайте параметры линейной парной регрессии для наиболее подходящего фактора Хj.

6. Оцените качество построенной модели с помощью коэффициента детерминации, F-критерия Фишера.

7. Проверьте выполнение условия гомоскедастичности.

8. Используя результаты регрессионного анализа ранжируйте компании по степени эффективности.

9. Осуществите прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора Хj составит 80% от его максимального значения. Представьте на графике фактические данные Y, результаты моделирования, прогнозные оценки и границы доверительного интервала.

10. Составьте уравнения нелинейной регрессии:

а) гиперболической;

б) степенной;

в) показательной.

11. Приведите графики построенных уравнений регрессии.

12. Для нелинейных моделей найдите коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравните модели по этим характеристикам и сделайте вывод о лучшей модели.

Вариант контрольной работы основан на:

Таблица 1. Добыча сырой нефти и природного газа, предоставление услуг в этих областях[1] (данные за 2009 г.)

Задание 1.

Постройте диаграммы рассеяния, представляющие собой зависимости Y от каждого из факторов Х. Сделайте выводы о характере взаимосвязи переменных.

Связь между долгосрочными обязательствами и прибылью (убытками) высокая. =КОРРЕЛ(A5:A54;B5:B54)

Связь между краткосрочными обязательствами и прибылью (убытками) слабая. =КОРРЕЛ(A5:A54;C5:C54)

Связь между оборотными активами и прибылью (убытками) весьма высокая. =КОРРЕЛ(A5:A54;D5:D54)

Задание 2

Осуществите двумя способами выбор факторных признаков для построения регрессионной модели:

а) на основе анализа матрицы коэффициентов парной корреляции, включая проверку гипотезы о независимости объясняющих переменных (тест на выявление мультиколлинеарности Фаррара–Глоубера);

б) с помощью пошагового отбора методом исключения.

Содержательная интерпретация конечной цели задачи – прогнозирования прибыли (убытков):

прогноз прибылей и убытков отражает операционную деятельность фирмы в намеченный период. Цель составления данного прогноза – представить в обобщенной форме результаты деятельности предприятия с точки зрения прибыльности. Прогноз прибылей и убытков показывает, как будет формироваться и изменяться прибыль, и, по существу, является прогнозом финансовых результатов.

1. Выбор факторных признаков для построения регрессионной модели

Корреляционный анализ данных

Прибыль (убыток) – это зависимая переменная Y (тыс. руб.).

В качестве независимых, объясняющих переменных выбраны:

X1 – долгосрочные обязательства;

X2 – Краткосрочные обязательства;

X3 – Оборотные активы;

В этом примере количество наблюдений n = 50, количество объясняющих переменных m = 3.

Для проведения корреляционного анализа используем инструмент Корреляция (надстройка Анализ данных Excel).

В результате будет получена матрица коэффициентов парной корреляции (табл. 2).

а)

Таблица 2. Результат корреляционного анализа

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции начнем с анализа первого столбца матрицы, в котором расположены коэффициенты корреляции, отражающие тесноту связи зависимой переменной Прибыль (убыток) с включенными в анализ факторами. Анализ показывает, что зависимая переменная, то есть прибыль (убыток), имеет тесную связь с оборотными активами (ryx3 = 0,92), с долгосрочными обязательствами (ryx1 = 0,78). Фактор Х2 имеет слабую связь с зависимой переменной и его не рекомендуется включать в модель регрессии.

Затем перейдем к анализу остальных столбцов матрицы с целью выявления коллинеарности. Факторы Х1 и Х3 тесно связаны между собой (= 0,71), что свидетельствует о наличии коллинеарности. Из этих двух переменных оставим Х3 – оборотные активы, так как rx1y = 0,78< rx5y = 0,92.

Таким образом, на основе анализа только корреляционной матрицы остается один фактор – Оборотные активы (n = 50, k =1).

Одним из условий классической регрессионной модели является предположение о независимости объясняющих переменных.

В нашем примере из двух тесно связанных друг с другом факторов Х1 и Х3 ( = 0, 71) один, Х1, был исключен.

Для выявления мультиколлинеарности оставшихся факторов выполняем тест Фаррара–Глоубера по факторам Х2, Х3.

1. Проверка наличия мультиколлинеарности всего массива переменных

1. Построим матрицу межфакторных корреляций R1 (табл. 3) и найдем ее определитель с помощью функции МОПРЕД.

Таблица 3. Матрица R1

2. Вычислим наблюдаемое значение статистики Фаррара–Глоубера по следующей формуле:

где n = 50 – количество наблюдений;

k = 3 – количество факторов.

Фактическое значение этого критерия FGнабл сравниваем с табличным значением χ2 при  степенях свободы и уровне значимости α = 0,05. Табличное значение χ2 можно найти с помощью функции ХИ2.ОБР.ПХ (рис. 1).

Рисунок 1. Получение табличного значения χ2

Так как FGнабл > FGкрит (44,89> 7,815), то в массиве объясняющих переменных существует мультиколлинеарность.

2. Проверка наличия мультиколлинеарности каждой переменной с другими переменными

1. Вычислим обратную матрицу

Рисунок 2

2. Вычислим F-критерии , где cjj – диагональные элементы матрицы C:

              Рисунок 3

3. Фактические значения F-критериев сравниваем с табличным значением Fтабл = 2,807 при 1 =k = 3 и 2 = (n – k – 1) = 46 степенях свободы и уровне значимости α = 0,05, где k – количество факторов.

Рисунок 4

4. Так как F1 > Fтабл , F2 > Fтабл и F3 > Fтабл, то все независимые переменные мультиколлинеарны с другими.

3. Проверка наличия мультиколлинеарности каждой пары переменных

1. Вычислим частные коэффициенты корреляции по формуле , где cjj – элементы матрицы C и t-критерии по формуле :

Рисунок 5

Рисунок 6

Получаем:

Рисунок 7

Вывод: При проведении теста Фаррара-Глоубера и при применении пошагового метода отбора, мы получаем одинаковые уравнения регрессии зависимости краткосрочных обязательств от оборотных активов:

Y=341092,08-0,24х2+0,31х3

,а значит не надо делать тест на выбор длинной и короткой регрессии.

Задание 3

Постройте уравнение множественной регрессии в линейной форме с выбранными факторами. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

Рисунок 8

Вывод: коэффициент регрессии j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную xj увеличить на единицу измерения, то есть j является нормативным коэффициентом.

В нашей задаче величина, равная -0,236 (коэффициент при х2), показывает, что при уменьшении краткосрочных обязательств на 1000 руб. прибыль уменьшится на 0,236 тыс. руб., а если на 1000руб. увеличатся оборотные активы, то прибыль увеличится на 0,307 тыс. руб.

Расчетные значения Y определяются путем последовательной подстановки в эту модель значений факторов, взятых для каждого наблюдения, или из последней таблицы регрессионного анализа Вывод остатка (столбец Предсказанное Y).

Рисунок 9

Задание 4

Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью коэффициентов эластичности, - и -коэффициентов.

Рисунок 10

Задание 5

Рассчитайте параметры линейной парной регрессии для наиболее подходящего фактора Хj.

Исходя из матрицы коэффициентов парной корреляции выбираю фактор X3, который наиболее тесно связан с Y и для него с помощью Пакета анализ данных в Excel построю модель регрессии.

Рисунок 11. Параметры линейной парной регрессии

Задание 6

Оцените качество построенной модели с помощью коэффициента детерминации, F-критерия Фишера.

а) коэффициент детерминации:

Для оценки качества модели множественной регрессии вычисляют коэффициент детерминации R2 и коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции) R. Чем ближе к 1 значение этих характеристик, тем выше качество модели.

Значение коэффициентов детерминации и множественной корреляции можно найти в таблице Регрессионная статистика (см. рис. 12) в строке R-квадрат

Рисунок 12

Коэффициент детерминации (0,91) показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 91% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием факторов, включенных в модель;

б) Проверку значимости уравнения регрессии произведем на основе F-критерия Фишера

Значение F-критерия Фишера можно найти в таблице Дисперсионный анализ протокола Еxcel (см. рис. 13).

Рисунок 13

Табличное значение F-критерия считаем с помощью формулы FРАСПРОБР при доверительной вероятности α = 0,95 и числе степеней свободы, равном ν1 = k = 2 и ν2 = n – k – 1= 50 – 2 – 1 = 47 составляет 3,20.

Поскольку Fрасч > Fтабл, уравнение регрессии следует признать значимым, то есть его можно использовать для анализа и прогнозирования.

Оценку значимости коэффициентов полученной модели, используя результаты отчета Excel, можно осуществить тремя способами.

Коэффициент уравнения регрессии признается значимым в том случае, если:

1) наблюдаемое значение t-статистики Стьюдента для этого коэффициента больше, чем критическое (табличное) значение статистики Стьюдента (для заданного уровня значимости, например, α = 0,05 и числа степеней свободы df = n – k – 1, где n – число наблюдений, а k – число факторов в модели);

2) Р-значение t-статистики Стьюдента для этого коэффициента меньше, чем уровень значимости, например, α = 0,05;

3) доверительный интервал для этого коэффициента, вычисленный с некоторой доверительной вероятностью (например, 95%), не содержит ноль внутри себя, то есть если нижняя 95% и верхняя 95% границы доверительного интервала имеют одинаковые знаки.

Значимость коэффициентов и проверим по второму и третьему способам, используя данные рис. 13:

Р-значение () = 0,00 < 0,01 < 0,05.

Р-значение () = 0,00 < 0,01 < 0,05.

Следовательно, коэффициенты и значимы при 1%-ном уровне, а тем более при 5%-ном уровне значимости.

Нижние и верхние 95% границы доверительного интервала имеют одинаковые знаки (см. рис. 13), следовательно, коэффициенты и значимы.

Задание 7

Проверьте выполнение условия гомоскедастичности.

Для двухфакторной модели нашего примера графики остатков относительно каждого из двух факторов имеют вид, представленный на рис. 14 (эти графики легко получить в отчете, который формируется в результате использования инструмента Регрессия в пакете Анализ данных).

Рисунок 14. Графики остатков по каждому из факторов двухфакторной модели

Из графиков на рис. 14 видно, что дисперсия остатков более всего нарушена по отношению к фактору Оборотные активы

Проверим наличие гомоскедастичности в остатках двухфакторной модели на основе теста Гольдфельда–Квандта.

1. Упорядочим переменные Y и по возрастанию фактора (в Excel для этого можно использовать команду Данные – Сортировка – по возрастанию Х4):

Исходные данные

Данные, отсортированные по возрастанию Х3

2. Уберем из середины упорядоченной совокупности С = 1/4 · n = 1/4 · 50= 12 значения. В результате получим две совокупности соответственно с малыми и большими значениями Х3.

3. Для каждой совокупности выполним расчеты:

Рисунок 15

Рисунок 16

4. Найдем отношение полученных остаточных сумм квадратов

F=1.758/3.439=0.051

5. Вывод о наличии гомоскедастичности остатков делаем с помощью F-критерия Фишера с уровнем значимости α = 0,05 и двумя одинаковыми степенями свободы , где р – число параметров уравнении регрессии:

Так как , то подтверждается гомоскедастичность в остатках двухфакторной регрессии.

Задание 8

Используя результаты регрессионного анализа ранжируйте компании по степени эффективности.

Для определения лучшей компании при его прибыли лучше делать ранжирование по остаткам.

Рисунок 17.Ранжирование по остаткам

Вывод: При ранжировании мы можем определить прибыльную компанию и убыточную. Т.о. мы видим, что убыточная компания №44, а прибыльная №49 - при ожидании от этой компании (7086298,01316051), в итоге ее деятельности получилось, что эта компания принесла (2904597,98683949) прибыли.

Задание 9

Осуществите прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора Хj составит 80% (о,8) от его максимального значения. Представьте на графике фактические данные Y, результаты моделирования, прогнозные оценки и границы доверительного интервала.

Задание 10,11

. Составьте уравнения нелинейной регрессии:

а) гиперболической;

б) степенной;

в) показательной.

А)

Б)

В)

Задание 12

Для нелинейных моделей найдите коэффициенты детерминации. Сравните модели по этим характеристикам и сделайте вывод о лучшей модели.