Экономико - математическая модель межотраслевого баланса "Затраты - Выпуск"

Используя коэффициенты вложений и коэффициенты прямых материальных затрат    ,   уравнение распределения продукции можно записать

               (3.17)

Если  прирост валовой продукции определен  в сравнении с (t-1) периодом, а объемы валовой и конечной продукции относятся к некоторому моменту времени t, то .

Отсюда 

      (3.18)

Решение этой динамической системы позволяет  определить выпуск продукции в последующем  периоде в зависимости от уровня, достигнутого в предыдущем периоде.

Переходя  от дискретного анализа к непрерывному, с учетом (3.16), будем иметь:             

         (3.19)

Для решения этой системы n линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами необходимо знать уровни валового выпуска в начальный момент времени t=0 и закон изменения величины конечного продукта, то есть вид функции . В результате решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений с начальными условиями можно найти уровни (решения) валового выпуска теоретически для любого момента времени. Практически более достоверный результат валовых и конечных выпусков продукции, как функций времени, можно получить для небольших промежутков времени. Таким образом, в основе построения модели в виде динамической системы уравнений лежит математическая зависимость между величиной капитальных вложений и приростом продукции.

Кроме предположений  модели межотраслевого баланса, в динамической модели Леонтьева используются следующие  предположения:

• капитальные вложения выступают единственным источником роста производства, то есть содержательно интерпретировать в модели Леонтьева  можно  только траектории развития с неубывающими по всем отраслям объемами производства. Освободиться от такого требования можно путем включения в модель зависимостей от капитальных вложений не приростов объемов производства, а приростов производственных мощностей, которые ограничивают сверху объемы      производства;
• выбытие основных производственных фондов не учитывается;
• предполагается мгновенность преобразования капитальных  вложений в приросты объемов производства.  В  действительности между моментом осуществления капитальных вложений и приростом выпуска продукции, вызванными этими капитальными вложениями, проходит определенное время  - лаг капитальных вложений;
• экономические величины предполагаются непрерывными во времени, а в реальности многие экономические процессы дискретны, и, кроме того, статистическое отображение экономических процессов дискретно во времени. Единицей отсчета времени обычно выступает год.
• не учитывается технический прогресс.   

Динамическая  модель в матричной форме Неймана  является математическим обобщением ряда динамических моделей, в том числе  и линейная динамическая модель межотраслевая  модель Леонтьева, основанным на математической теории равномерного пропорционального  роста экономики – магистральной  теории. Подробное изложение теории магистралей  [7. С. 754-772].

Таблица 3.2.

Принципиальная  схема динамического баланса

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли
	Межотраслевые потоки текущих затрат				Межотраслевые потоки капитальных вложений				Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	…	n	1	2	…	n
1 2 … n	x11 x21 . xn1	x12 x22 . xn2	… … … …	x1n x2n . xnn	ΔΦ11 ΔΦ21 . ΔΦn1	ΔΦ12 ΔΦ22 . ΔΦn2	… … … …	ΔΦ1n ΔΦ2n . ΔΦnn		X1 X2 . Xn

 

3.4. Матричные модели предприятий, фирм

 

Пусть предприятие  состоит из n цехов. Матрица U,  состоящая из элементов   характеризует внутрипроизводственные связи. Элемент U_ij  показывает,  какое количество продукции i – того цеха необходимо  j – тому цеху для производства продукции j – того цеха.

Обозначим через y матрицу,  состоящую из элементов y_is, т.е.

 

		Потребляющие цеха    1        2        …     n	Конечная продукция
Производящие цеха
Потребляемые ресурсы			Z     IV
		x1        x2        …      xn

Элемент y_is показывает,  какое количество продукции i – того цеха используется s – м способом вне производства, т.е.  на накопление, расчет с поставщиками, экспорт, потребление и т.д.

Матрица 

Элемент v_rj показывает,  какое количество r ресурса необходимо j – тому цеху для производства его продукции.

, где x_j - валовая продукция j – того цеха.

Элемент a_ij показывает, какое количество продукции i – того цеха необходимо j – му цеху для производства единицы продукции j – го цеха.

Матрица A, состоящая из элементов a_ij, называется матрицей прямых производственных затрат.

Матрица A отражает структуру предприятия.

Например,

Количество строк равно количеству цехов предприятия. Цеха изображают на графике в виде кружка, а связи  в виде дуг. Таким образом, получают ориентированный граф (орграф) внутрипроизводственных связей. Рис.3.1.      

 

 

 

 

 

 

Рис.3.1. Внутрипроизводственные связи

Так, первый и четвертый цех нуждаются в своей продукции. Кроме того, 2 – й и 4 цех нуждаются в продукции первого цеха. 3 цеху необходима продукция только 4 цеха.

Технологию  производства предприятия характеризует  нормативная матрица N.

; обозначим элементы матрицы   N  через N_rj,   тогда N_rj,    показывает,  какое количество ресурса    r– го вида необходимо j – ому цеху на производство одной единицы продукции.

Основные свойства матричной модели предприятия: 

1. В балансовой  модели сумма элементов i – той строки равна сумме элементов i – го столбца. Действительно, просуммируем в матричной модели  элементы по строкам.

                    (3.16)

Получаем  в стоимостном выражении стоимость  валовой продукции i- го цеха.

Просуммируем  элементы по столбцам:

                      (3.17)

Получаем  затраты на производство продукции  j - того цеха в стоимостном выражении.

Просуммируем  равенство (3.16) по , а равенство (3.17) по и сравним.

              (3.18)

Отбрасывая  равные  первые слагаемые левой  и правой части равенства, получим  второе свойство:

2. Сумма  элементов второго  квадранта  равна сумме элементов третьего  квадранта в матричной балансовой  модели промфинплана.

3.  В  матричной балансовой модели  промфинплана  сумма элементов r - той строки третьего  квадранта равна сумме элементов той же строки четвертого  квадранта в стоимостном выражении (предлагается доказать самостоятельно).

Эти же свойства наблюдаются в моделях межотраслевого баланса.

 

3.5. Вопросы для самоконтроля

 

1. Сущность  балансовой модели.

2. Виды балансовых  моделей.

3. Принципиальная  схема МОБ.

4. В чем  отличие открытой и замкнутой  модели Леонтьева?

5. Матричные  модели, их основные свойства.

6. Методы  расчета матричных моделей. 

7. Экономическая  интерпретация результатов расчета  матричных моделей.

8. Принципиальная  схема динамического межотраслевого  баланса.

9. Понятие  A, (E-A)^-1 коэффициентов прямых и полных материальных затрат.

10. Что характеризует  структуру предприятия?

11. Продуктивность  матрицы прямых материальных  затрат А.

12. Основные  свойства балансовых моделей.

13. Что характеризует  технологию производства?

14. Как определить  объем конечной продукции предприятия?

15. Понятие  условно-чистой продукции.

 

3.6. Тесты. Балансовые модели

 

1. Величину валовой продукции каждой отрасли вычисляют по формуле:

а) X=Ax+y;

б) y=(E-A)x;

в) y=Ax+B;

г). Х = (Е - А)^-1У

2. В основе моделирования экономических процессов лежит балансовый метод, т.е. метод

а) взаимного  сопоставления;

б) взаимного  исключения;

в) взаимного  дополнения;

г) взаимного  обмена.

3. Модель Леонтьева имеет вид:

а) ;

б) y=Ax+B;

в) X=Ax+y;

г) .

4. Все главные миноры матрицы (E-A) в продуктивной модели межотраслевого баланса

а) любые  по знаку;   б) положительны;

в) отрицательны;       г) от 0 до 1.

5. Матрицы прямых производственных затрат балансовых моделей фирмы

а) ;   б) ;

в) ;   г)

продуктивны:

1) а, б; 2) а, г; 3) в, г; 4) б, г.

 

6. Максимальное значение неизвестного элемента, при котором матрица МОБ остается продуктивной

A=

а) 0,5; б) 0,6; в) 0,2; г) 0,3.

7. Матрица прямых производственных затрат экономической системы из 2-ух отраслей

 

Отрасль	Потребление		Чистая продукция
	I	II
I	60	100	140
II	90	140	20

 

равна:

  а) ;                         б) ;    

  в) ;                         г) .

8. Максимальное значение неизвестного элемента, при котором матрица МОБ остается продуктивной, равно

а) 0,8; б) 0,2; в) 0,5; г) 0,7.

9. Коэффициент прямых материальных затрат показывает какое количество

а) продукции  i – той отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты для производства единицы продукции j – той отрасли;

б) продукции  i – той отрасли необходимо для производства единицы конечной продукции j – той отрасли;

в) продукции  i – той отрасли необходимо для производства продукции j – той отрасли;

г) продукции  j – той отрасли для производства единицы продукции I – той отрасли.

10. Конечная продукция вычисляется по формуле:

а) ;   б) ;

в) ;             г) .

11. Наибольшее по модулю собственное значение продуктивной матрицы A

а) строго больше 1;               б) строго меньше 1;

в) не меньше 1;                      г) не больше 1.

12. Оценкой общего уровня коэффициентов матрицы прямых производственных затрат может служить:

а) норма  матрицы A;