Анализ временных рядов при решении задач эконометрики

В статистических таблицах  для различных значений числа наблюдений n и уровня значимости  приводятся пороговые значения статистики d: нижнее dн и верхнее dв, такие, что (см. рис. 5):

        При 0≤ d≤ dн гипотеза H0 отвергается (случай положительной автокорреляции).

        При 4-dн ≤ d≤4 H0 отвергается (случай отрицательной автокорреляции).

        При dв ≤ d≤ 4-dв гипотеза H0 принимается.

        При остальных значениях d суждение о справедливости H0 не выносится (d попадает в одну из двух зон неопределенности).

Другим методом выравнивания (сглаживания) временного ряда, т.е. выделения неслучайной компоненты, является метод скользящего среднего.

Метод скользящего среднего (МСС) состоит в замене каждых k последовательных уровней ряда их средним значением. Величина k называется окном усреднения (сглаживания).

Если k нечетно (k=2l+1, где l-целое положительное число), то скользящее среднее ut задается формулой:

.

Таким образом, среднее, вычисленное по k уровням ряда, приписывается к срединному моменту времени окна сглаживания. В приведенной выше формуле  t=l+1, …, n-l. Следовательно, скользящее среднее не определено для l начальных и l конечных моментов времени.

Переход от наблюдений Y к скользящему среднему позволяет «сгладить» ряд и получить значения, более близкие к тренду. Действительно, если разброс значений yt около тренда характеризуется дисперсией 2, то разброс среднего по k уровням ряда будет характеризоваться существенно меньшей дисперсией (2/k – при независимости случайных величин Y(t)). Если ряд содержит цикли­ческую составляющую, то следует брать k равным ее периоду, чтобы отрица­тельные и положительные отклонения от тренда гасили друг друга.

Рассмотрим случай четного k (k=2l). Предположим, что вычислили сред­нее значение для 2l моментов времени, начиная с t0: t0, t0+1, …, t0+l-1, t0+l, …, t0+2l-1. Середина такого интервала находится между t0+l-1 и t0+l; поэтому непо­нятно, к какому моменту привязать значение скользящего среднего. Вы­ход со­стоит в следующем: приписываем среднее любому из этих моментов, напри­мер, меньшему – t0+l-1, а затем полученный ряд еще раз сглаживаем с окном k1=2, так чтобы скользящее среднее было правильно привязано к центру окна.

Сравним два метода оценивания тренда: аналитический и МСС. Первое преимущество МСС состоит в том, что он не требует никаких предположений о характере зависимости T(t); вторым его достоинством явля­ется простота вычислений. Очевидный недостаток МСС состоит в отсутствии оценок тренда для первых и последних наблюдений. Кроме того, МСС дает только оценки тренда для моментов наблюдений, и не дает формулу зависимо­сти T(t).

Если ряд имеет циклическую компоненту, то ее значения можно вычис­лить после определения тренда. Пренебрегая случайными возмущениями, для аддитивной модели ряда получаем:

SY-T,                                                                      {4}

для мультипликативной модели получаем:

SY/T.                                                                      {5}

              Полученные приближенные значения циклической составляющей далее обрабатываются следующим образом:

        усредняются по периодам (так как в идеале значения циклической составляющей от периода к периоду должны повторяться);

        выравниваются таким образом, чтобы среднее значение за цикл для аддитивной модели было равно 0, а для мультипликативной модели –1.

3. Расчет.

задание 1.Постройте график временного ряда. По виду графика выберите модель временного ряда – аддитивную или мультипликативную – и определите период циклической составляющей. Определите также период циклической составляющей с помощью коррелограммы.

Перед построением диаграмм необходимо преобразовать таблицу 4.

Необходимо перейти от 6 столбцов к двум. То есть записать данные об объемах продаж по разным годам в столбик, в соседнем столбце пронумеровать их, а также сделать подписи.(t – нумерация, y – данные об объемах продаж). После этих простых преобразований таблица примет следующий вид:

Таблица 1.Данные об объемах продаж в перерабатывающей промышленности и торговле.

Построим график зависимости y(t). Для этого выделяем преобразованную таблицу, вызываем мастер диаграмм и выбираем точечную диаграмму с соединительными линиями.

Рис.1. График зависимости y(t)

По графику очень сложно определить чему равна циклическая составляющая, так как график не является строго периодичным. Тем не менее, на некоторых промежутках Тп=12.

Нельзя сказать, что амплитуда колебаний изменяется в соответствии с трендом, что необходимо для использования мультипликативной модели. Кроме того, амплитуда колебаний зависит от времени, следовательно, аддитивная модель также не является идеальной для описания данного временного ряда. Таким образом, в данной работе будут рассмотрены обе модели, а затем проведено сравнение между ними.

Рассчитав с помощью функции КОРРЕЛ выборочный коэффициент автокорреляции r(1,) (см. таблицу 2) и построив коррелограмму (с помощью мастера диаграмм – см. рис.2), получаем, что максимум коэффициента автокорреляции имеет место при значении =12; это подтверждает что Tп=12. Окно сглаживания следует выбрать равным периоду циклической составляющей: k=Tп=12. Тогда результатом сглаживания будет являться приближенный тренд (за период положительные и отрицательные значения циклической составляющей будут компенсировать друг друга).

Таблица 2.Коэффициент автокорреляции.

Рис.2. Коррелограмма

значение r(12), превышает значения r для других лагов, это значит, что можно предположить, что ряд содержит циклическую составляющую с периодом 12.

Мультипликативная модель.

Рассмотрим мультипликативную модель.

Таблица 3. Расчет тренда и циклической составляющей

В третьем столбце таблицы 3 приведены результаты расчета скользящего среднего u1(t) для k=12. Средняя точка tср окна сглаживания находится между вторым и третьим моментом времени окна. Так, например, для первого окна (содержащего моменты времени t=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) tср=6,5; такого момента времени в наших данных нет, и мы приписываем среднее значение наблюдений по окну моменту t=6. Для второго окна tср=7,5, и среднее значение наблюдений по второму окну будет приписано моменту t=7. Аналогично, среднее значение наблюдений для каждого следующего скользящего окна мы будем приписывать второму моменту времени этого окна.

Для установки соответствия между средним значением наблюдений по окну и серединой окна tср необходимо применить к u1(t) метод скользящего среднего с окном сглаживания, равным двум: u2(t)=[u1(t-1)+u1(t)]/2. Результаты расчета приведены в таблице 3 (четвертый столбец). Напомним, что расчет u2 нужен только в случае четного k. Для нечетного k средняя точка окна сглаживания tср совпадает с одним из имеющихся в таблице моментов времени.

задание 2.Выделите трендовую, циклическую и случайную компоненты ряда. Постройте их графики. Оцените качество модели, анализируя абсолютную ошибку. Дайте прогноз товарооборота на следующий год.

В данном случае мы рассматриваем мультипликативную модель, поэтому для расчетов будем использовать формулы, описанные ниже. По формуле(5) {SY/T} (учитывая, что Tu2) рассчитываем S1 – первое приближение циклической компоненты ряда.

Значения S2 получены усреднением S1 по периодам. Так как среднее значение циклической компоненты за период для мультипликативной модели ряда должно равняться единице, то выравниваем значения S2: S3= S2/S2 ср, где через S2 ср обозначено среднее значение S2. Значения циклической компоненты S получены копированием S3 по всем периодам.

Получив циклическую компоненту, вычислим следующее приближение тренда в предположении, что тренд линеен. Рассчитаем зашумленные значения тренда: TE=Y/S (см. формулу (2)). Применив к этим значениям МНК (с помощью функции ЛИНЕЙН), получим следующую формулу: T(t)=1,753t+451,498(см. таб. 4). По этой формуле вычислим значения тренда, а затем, учитывая, что E=Y/(ST), – значения случайной компоненты E.

Абсо­лютная погрешность модели рассчитывается по формуле: Eabs=Y-TS

Таблица 4.