Управление инвестиционными рисками

               (3.8)

     Обозначим  t = T_I + k * D и применим к расчету рыночной цены бумаги формулы (3.6) и (3.7). Это дает:

      ,       (3.9)

            (3.10)

     Предельный  переход в (3.9) и (3.10) при D ® 0 дает:

            (3.11)

               (3.12)

      Рис. 3.1.1. Функция  справедливой цены дисконтной облигации

     Это и есть соотношение для справедливой цены дисконтной бумаги для непрерывного времени. Качественный вид функции (3.10) представлен на рис. 3.1.1.

     Сделаем предположение о характере шума цены. Для этого построим частную  производную цены по показателю внутренней нормы доходности бумаги:

           (3.13)

     Видно, что чувствительность цены к колебаниям процентной ставки имеет нестационарный вид и убывает до нуля по мере приближения срока погашения бумаги. Таким образом, резонно искать среднеквадратичное отклонение (СКО) шума как функцию вида:

           (3.14)

     Ожидаемый вид СКО представлен на рис. 3.1.2.

     С практической точки зрения это означает следующее. Мы наблюдаем случайный процесс цен на бумаги, который можно обозначить H(t). Тогда шум процесса имеет вид

              (3.15)

     где C(t) – тренд цены - определяется по (6.6).

     Рис. 3.1.2. Ожидаемый вид функции СКО

     Перейдем  от нестационарного шума к стационарному  введением корректирующего делителя

      .    (3.16)

     Тогда процесс e^*(t) является стационарным, и в его сечении находится случайная величина с матожиданием 0 и с СКО s₀. И определение фактического значения параметра s₀ этого процесса может производиться стандартными методами.

     Теперь  посмотрим, что делается со случайной  величиной доходности долгового  инструмента, в процентах годовых:

         (3.17)

     где Т - период владения долговым инструментом.

     Заметим здесь, что рыночная цена H(t), измеренная в момент t, не рассматривается нами как случайная величина, так как  ее значение в этот момент известно. Эта же цена неизвестна в будущем  времени (t + T) и является случайной  величиной, которая имеет нормальное распределение с матожиданием С(t + T)  и СКО s (t + T) (эти функции вычисляются по формулам (3.11) и (3.14)).

     Cлучайный  процесс доходности на интервале  [t, t+T] в сечении имеет  параметры:

          (3.18)

            (3.19)

     Рассмотрим  пример анализа доходности дисконтной облигации.

     Облигация номиналом N = 1000$  выпускается в  обращение в момент времени      T_I = 0 (далее все измерения времени идут в годах) сроком на 2 года c дисконтом 30%, то есть по эмиссионной цене N₀ = 700$. Инвестор намеревается приобрести бумагу в момент времени t =1. В этот момент текущая цена бумаги на рынке составляет H(1) =  820$. Для проведения статистического анализа доступна история сделок с бумагой за истекший год ее обращения. Требуется идентифицировать доходность облигации R(t=1, T) на протяжении оставшегося года владения ( T Î [0, 1] ) как случайный процесс и определить  параметры этого процесса.

     Согласно (3.11), (3.12), внутренняя норма доходности нашей облигации составляет

     r = ln(1000/700) = 35.67% годовых,      (3.20)

     а справедливая цена

     С(t) = 1000*exp(-(2-t)*0.3567/2),    t Î [0, 2].   (3.21)

     Далее следует этап анализа истории  цены за истекший год. СКО шума цены, согласно (3.14), имеет вид

           (3.22)

     где s₀ определяется на основе анализа истории скорректированного шума цены вида (3.16).

     Теперь  бумага полностью идентифицирована. Случайный процесс ее доходности имеет параметры, которые определяются по формулам (3.18), (3.19). В частности, на момент погашения бумаги Т = 1, C(2) = 1000$, s(1+1) = 0, e(1+1) = 0, и R(1,1) = (1000-820)/(820*1) = 21.95% годовых – неслучайная величина.

     Оценим  процесс количественно через  Т = 0.5 лет владения бумагой, задавшись  параметром СКО шума s₀ = 20$. Тогда

     C(1.5) = 1000*exp(-(2-1.5)*0.3567/2) = 914.7$,     (3.23)

         (3.24)

          (3.25)

          (3.26) 

     Пусть бумага данного вида эмиттирована в  момент времени T_I по цене N₀, причем эта цена может быть как выше, так и ниже номинала (это обусловлено соотношением объявленной купонной ставки и среднерыночной ставки заимствования, с учетом периодичности платежей). Обозначим размер купона DN, а число равномерных купонных выплат длительностью Dt за период обращения обозначим за K, причем для общности установим, что платеж по последнему купону совпадает с моментом погашения бумаги.

     Тогда временная последовательность купонных платежей может быть отображена вектором на оси времени с координатами

           (3.27)

     Формула для справедливой цены процентного  долгового инструмента имеет  вид:

             (3.28)

     где -     (3.29)

     номер интервала, которому принадлежит рассматриваемый  момент t,

            (3.30)

      ,    (3.31)

     моменты t_i определяются соотношением (3.27), а внутренняя норма доходности долгового инструмента r отыскивается как корень трансцендентного уравнения вида

     С(T_I) = N₀.         (3.32)

     Если  купон по процентной бумаге нулевой, то переходим к рассмотренному выше случаю дисконтной бумаги.

     Анализ  соотношений (3.30) и (3.31) показывает, что  шум цены, тренд которой имеет  вид (3.28), является нелинейно затухающей кусочной функцией на каждом интервале  накопления купонного дохода, причем шум получает как бы две составляющих: глобальную – для всего периода обращения бумаги, и локальную – на соответствующем моменту t интервале накопления купонного дохода.

     Исследуем характер шума цены процентной бумаги:

              (3.33)

     где C(t) – тренд цены - определяется по (3.28).

     Руководствуясь  соображениями, изложенными в предыдущем примере дисконтных бумаг, будем  отыскивать СКО шума цены в виде:

                (3.34)

       где                                                                              (3.35)

     а i определяется по (3.29). Соотношение (3.35) является частной производной справедливой цены (3.28) по показателю внутренней нормы  доходности бумаги с точностью до постоянного множителя.

     Аналогично  предыдущему примеру, мы можем получить нормировочный делитель для шума цены процентной бумаги. Переход от нестационарного шума к стационарному  будет иметь вид:

      ,        (3.36)

     где определяется по (3.35). При уменьшении величины купона до нуля соотношение (3.34) переходит в (3.14), что косвенно подтверждает правоту наших выкладок.

      На рис. 3.1.3 приведен примерный вид тренда цены процентной бумаги, а на рис. 3.1.4 – примерный вид СКО такой бумаги.

     Рис. 3.1.3. Функция справедливой цены процентной бумаги

      Рис. 3.1.4. Функция СКО процентной бумаги

     Что касается доходности процентных инструментов, то формулы (3.17) – (3.18) получают поправку в виде проплаченного за время Т купонного дохода:

          (3.37)

     где m – число оплаченных купонов  процентной бумаги за период T.

     Вывод о том, что  случайный процесс  имеет в своем сечении нормальную величину, сохраняется без изменений. Параметры этой случайной величины:

           (3.38)

             (3.39)

     Рассмотрим  расчетный пример.

     Облигация номиналом N = 1000$  выпускается в  обращение в момент времени      T_I = 0 (далее все измерения времени идут в годах) сроком на 3 года c дисконтом 10%, то есть по эмиссионной цене N₀ = 900$. По бумаге объявлено три годовых купона по ставке 20% годовых, то есть размером DN = 200$. Инвестор намеревается приобрести бумагу в момент времени t =1 сразу после первого купонного платежа. В этот момент текущая цена бумаги на рынке составляет H(1) =  940$. Для проведения статистического анализа доступна история сделок с бумагой за истекший год ее обращения. Требуется идентифицировать доходность облигации R(t=1, T) на протяжении оставшихся двух лет владения ( T Î [0, 2] ) как случайный процесс и определить  параметры этого процесса.

     Определим внутреннюю норму доходности нашей  процентной бумаги, итеративно решив  уравнение (3.32). Тогда, согласно (3.28), это  уравнение приобретает вид:

     (1000 + 200) * exp(-r) + 200*(exp(-r/3) + exp(-2r/3)) = 900,  (3.40)

     откуда  методом итераций получаем r = 67.2% годовых.

       Выражение для справедливой цены приобретает вид:

       (3.41)

     Далее следует этап анализа истории  цены за истекший год. СКО шума цены, согласно (3.34) – (3.35), имеет вид

              (3.42)

     где

      (3.43)

     а s₀ определяется на основе анализа истории скорректированного шума цены вида (3.36).

     Теперь  бумага полностью идентифицирована. Случайный процесс ее доходности имеет параметры, которые определяются по формулам (3.18), (3.19). В частности, на момент погашения бумаги Т = 2, C(3) = 1200$, s(1+2) = 0, e(1+2) = 0, и R(1,2) = (1200-940)/(940*2) = 13.83% годовых – неслучайная величина.

     Оценим  процесс количественно через  Т = 1 год владения бумагой непосредственно перед получением дохода по второму купону, задавшись параметром СКО шума  s₀ = 20$. Тогда

     C(2-0) = 1200*exp(-(3-2)*0.672/3) + 200 = 1159.2$,  (3.44)

      ,   (3.45)

         (3.46)

          (3.47) 

     Обладая квазистатистикой ценового поведения  облигации, мы можем оценить СКО  шума цены (3.14) и (3.34) как треугольную  нечеткую функцию фактора времени. И все соответствующие вероятностные распределения приобретают вид нечетких функций, а случайные процессы приобретают постоянные нечеткие параметры.

           Мы получили вероятностную  интерпретацию цены долгового инструмента. Зная матожидание и дисперсию  цены, мы можем оценивать то же для текущей доходности. И тогда мы можем решать задачу Марковица, отыскивая максимум доходности портфеля при фиксированном СКО портфеля.

     Если  квазистатистики по отдельной долговой бумаге нет, можно воспользоваться  статистикой квазистатистикой ведущих  индексов по долговым обязательствам (например, индексами доходности по 10-летним или 30-летним государственным долговым обязательствам, анализируемыми в пределах последнего года). Параметры случайных процессов для этих индексов могут быть взяты за основу при моделировании ценовых случайных процессов для индивидуальных долговых обязательств, при этом мера уверенности эксперта в оценке параметров будет находиться в обратной зависимости от ширины расчетного коридора, формируемого соответствующими нечеткими числами и вероятностными распределениями с нечеткими параметрами.