Автор работы: Пользователь скрыл имя, 24 Ноября 2011 в 07:59, дипломная работа
Целью дипломной работы являются обобщение и анализ моделей оценки инвестиционных рисков, изучение теоретической концепции и методологии управления рисков для использования в банковской практике.
Для реализации поставленной цели в дипломной работе будут решены следующие задачи:
изучение основных видов инвестиционных рисков и их классификации в инвестиционном анализе;
анализ классических методов оценки риска;
исследование VaR моделей в оценке инвестиционных рисков,
разработка методологии управления рисками финансовых активов для применения в российской банковской практике;
рассмотрение метода по страхованию рисков с помощью хеджирования позиций.
Чтобы ответить на перечисленные вопросы, нужно как бы отстраниться от всего достигнутого в опционной теории и посмотреть на проблему совсем с другой стороны – а именно так, так, как на нее смотрит классический инвестор. А он задается простым вопросом: если я покупаю по известной цене один опцион или некоторую опционную комбинацию, на какой эффект с точки зрения доходности и риска своих вложений я могу рассчитывать?
Умея рассчитывать доходность и риск одного или группы опционов, можно перейти к оценке того же для опционных портфелей.
Введем следующие обозначения, которые будем употреблять в дальнейшем:
Входные данные (дано):
T
– расчетное время (срок жизни
портфеля или время до
S0 – стартовая цена подлежащего опционам актива;
zc – цена приобретения опциона call;
zp – цена приобретения опциона put;
xc - цена исполнения опциона call;
xp - цена исполнения опциона put;
ST – финальная цена подлежащего опционам актива в момент Т (случайная величина);
rT – текущая доходность подлежащего актива, измеренная в момент времени T по отношению к стартовому моменту времени 0 (случайная величина);
- среднеожидаемая доходность подлежащего актива;
sr – среднеквадратическое отклонение (СКО) доходности подлежащего актива;
Выходные данные (найти):
IT – доход (убыток) по опциону (комбинации), случайная величина;
RT – текущая доходность опциона (комбинации), измеренная в момент времени T по отношению к стартовому моменту времени 0 (случайная величина);
- среднеожидаемая доходность опциона (комбинации);
sR – СКО доходности опциона (комбинации);
QT – риск опциона (комбинации).
Далее по тексту работы все введенные обозначения будут комментироваться в ходе их использования.
Также
мы дополнительно оговариваем
Общепринятым
модельным допущением к процессу
ценового поведения акций является
то, что процесс изменения
Посмотрим на винеровский ценовой процесс c постоянными параметрами m (коэффициент сноса, по смыслу – предельная курсовая доходность) и s (коэффикциент диффузии, по смыслу – стандартное уклонение от среднего значения предельной доходности). Аналитическое описание винеровского процесса:
(3.48)
где z(t) – стандартный винеровский процесс (броуновское движение, случайное блуждание) с коэффициентом сноса, равным нулю и коэффициентом диффузии, равным единице.
Если принять, что начальное состояние процесса известно и равно S0, то мы можем, исходя из (2.1), построить вероятностное распределение цены ST в момент T. Эта величина, согласно свойств винеровского процесса как процесса с независимыми приращениями, имеет нормальное распределение со следующими параметрами:
; (3.49)
(3.50)
В принципе, для моих последующих построений вид вероятностного распределения цены подлежащего актива несущественен. Но здесь и далее, для определенности, мы остановимся на нормальном распределении. Его плотность обозначим как
(3.51)
Примерный вид плотности
Рис. 3.2.2. Примерный вид плотности нормального распределения
Теперь, сделав все базовые допущения к математической модели, мы можем переходить непосредственно к процессу вероятностного моделирования опционов и их комбинаций.
Приобретая опцион call, инвестор рассчитывает получить премию как разницу между финальной ценой подлежащего актива ST и ценой исполнения опциона xc. Если эта разница перекрывает цену приобретения опциона zc, то владелец опциона получает прибыль. В противном случае имеют место убытки.
Случайная величина дохода по опциону связана со случайной величиной финальной цены подлежащего актива соотношением 3.49.
(3.52)
В правой части (3.52) все параметры являются известными и постоянными величинами, за исключением ST, которая является случайной величиной с плотностью распределения (3.51).
А текущую доходность по опциону call мы определим формулой
(3.53)
Представление (3.49), когда стартовая и финальная цены актива связаны экспоненциальным множителем, является неудобным для моделирования. Аналогичные неудобства вызывает представление доходности на основе степенной зависимости. Именно поэтому мы оперируем категорией текущей доходности как линейной функции дохода и финальной цены. Предполагая нормальность распределения финальной цены актива (что соответствует винеровскому описанию ценового процесса), мы автоматически таким образом приходим к нормальному распределению текущей доходности. Построенная линейная связь текущей доходности и цены является полезной особенностью, которая потом может быть удачно использована в ходе вероятностного моделирования.
Определим плотность jI(y) распределения дохода IT по опциону как функции случайной величины ST. Воспользуемся известной формулой. Если исходная случайная величина X имеет плотность распределения jX(x), а случайная величина Y связана с X функционально как Y=Y(X), и при этом существует обратная функция X=X(Y), тогда плотность распределения случайной величины Y имеет вид
. (3.54)
В нашем случае, исходя из (3.52),
(3.55)
dST/dIT = 1, IT > -zc. (3.56)
Мы видим, что в точке IT = -zc плотность jI(y) приобретает вид дельта-функции. Необходимо определить множитель при дельта-функции. Это можно сделать косвенным образом. На участке, где функция ST(IT) дифференцируема, в силу (3.54)-( 3.58) выполняется
IT > -zc. (3.57)
В силу нормирующего условия справедливо
(3.58)
откуда, в силу (2.10), искомый множитель K есть
(3.59)
Множитель K есть, таким образом, не что иное как вероятность события ST < xc. При наступлении такого события говорят, что опцион call оказался не в деньгах. Это событие – условие отказа от исполнения call-опциона и прямые убытки в форме затрат на приобретение опциона.
Наконец, итоговое выражение для jI(y)
(3.60)
где
(3.61)
На рис. 3.2.2 представлен примерный вид плотности вида (3.60).
Рис. 3.2.2. Примерный вид плотности усеченного распределения
Видно, что мы перешли от нормального распределения цен к усеченному нормальному распределению доходов. Но это не классическое усеченное распределение, а распределение, функция которого претерпевает разрыв первого рода в точке с бесконечной плотностью.
Теперь нетрудно перейти к распределению доходности jR(v), пользуясь (3.53), (3.54) и (3.60):
(3.62)
Плотности вида (3.60) и (3.62) – бимодальные функции.
Теперь оценим риск инвестиций в call опцион. Мне думается, что правильное понимание риска инвестиций сопряжено с категорией неприемлемой доходности, когда она по результатам финальной оценки оказывается ниже предельного значения, например, уровня инфляции в 4% годовых. Это значение близко к текущей доходности государственных облигаций, и тогда ясно, что обладая сопоставимой с облигациями доходностью, опционный инструмент значительно опережает последние по уровню риска прямых убытков (отрицательной доходности).
Поэтому риск инвестиций в опцион call может быть определен как вероятность неприемлемой доходности по формуле
(3.63)
где jR(v) определяется по (3.62).
Среднеожидаемая доходность вложений в опцион определяется стандартно, как первый начальный момент распределения:
(3.64)
Среднеквадратическое отклонение доходности call опциона от среднего значения также определяется стандартно, как второй центральный момент распределения
(3.65)
Рассмотрим важные асимптотические следствия полученных вероятностных форм. Для этого установим связь между доходностями call опциона и подлежащего актива, с учетом (3.52) и (3.53):
, (3.66)
где
(3.67)
Видим, что доходность опциона call и подлежащего актива связаны кусочно-линейным соотношением, причем на участке прямой пропорциональности это происходит с коэффициентом g, который собственно, и характеризует фактор финансового рычага (левериджа). Участок прямой пропорциональности соответствует той ситуации, когда опцион оказывается в деньгах. Поэтому, с приближением вероятности K вида (3.49) к нулю, выполняются следующие соотношения
(3.68)