Сетевое планирование и управление

с' – индекс события (вместо i) в формуле (2), предшествующего событию i, для которого определяется Тpi.

с – индекс события I в формуле (2,а), для которого определяется Тpi.

Поздний срок наступления события Tпi – это такое время наступления события i,  превышение которого вызовет аналогичную задержку наступления завершающего события сети. Поздний срок наступления любого события равен разности между продолжительностью критического пути и наибольшей из продолжительности путей, следующих за событием i. Поздние сроки свершения событий рассчитываются от текущего к завершающему событию. Для завершающего события , для всех остальных событий (рис. 4).

                          или                                                            (3)

                          ,                                                          (3,а)

где - продолжительность критического пути;

        с – текущее значение события i, для которого определяется поздний срок наступления события;

         k – завершающее событие;

         j – событие, последующее за событием i.

Резерв времени наступления события Ri – это такой промежуток времени, на который может быть отсрочено наступление события i без нарушения сроков завершения проекта в целом. Начальные и конечные события критических работ имеют нулевые резервы событий.

                                                                                                      (4)

Рассчитанные численные значения временных параметров событий допустимо записывать прямо в вершине сетевого графика (рис. 5).

Системные характеристики работ

Rij – полный резерв работы показывает, на какое время может быть увеличена продолжительность tij отдельной работы  ij , чтобы при этом - длина максимального из путей, проходящих через эту работу не превысила бы длины критического пути;

                                                      ,                                                 (5)

- свободный резерв времени работы ij – это та часть полного резерва, которая сохраняется у нее при условии, что конечное событие работы совершится в самый ранний срок, т.е. это резерв времени только данной работы, позволяющий увеличить ее продолжительность, не вызвав изменений ранних сроков совершения начального и конечного события остальных работ:

                                                  ;                                           (6)

Свободный резерв времени используются как вспомогательный параметр при необходимости более детального анализа конкретных ситуаций, возникающих в ходе выполнения работ;

- частный резерв времени работы ij – это максимальный запас времени, на который можно задержать начало работы или (если она началась в ранний срок) увеличить ее продолжительность, не изменяя ранних сроков начала последующих работ:

                                                ;                                                   (7)

- независимый резерв времени работы ij – это запас времени, при котором все предшествующие работы заканчиваются в поздний срок, а все последующие – начинаются в ранние сроки. Использование этого резерва не влияет на величину резервов времени других работ:

                                              ;                                               (8)

Работы, лежащие на критическом пути, резервов времени не имеют;

- резерв трудовых ресурсов (исполнителей работ):

                                           .                                           (9)

Характеристики путей сетевой модели

Продолжительность пути является временной характеристикой и отражает сумму времени на выполнение всех работ, принадлежащих этому пути, между конкретными событиями.

Для полного пути общая продолжительность работ равна

                                  ; ,                                   (10)

где n – номер полного пути;

      I – начальное событие для всего комплекса работ;

      J – конечное событие – окончание работ всего комплекса.

Для частного пути (предшествующего событию, следующего за событием или между событиями):

                                                   ,                                                  (11)

где iн – событие начала частного пути;

      jк – событие конечное частного пути.

Для критического пути продолжительность пути максимальная:

                                                                                            (12)

Для ненагруженных путей существует характеристика напряженности или сложности количественного выражения как коэффициент напряженности:

                                             ,                                               (13)

Где - величина отрезка исследуемого пути, совпадающая с критическим путем;

        - продолжительность критического пути;

         - продолжительность максимального, но не критического пути, проходящего через данную работу.

Чем выше , тем сложнее выполнить данную группу работ в установленные сроки; чем меньше , тем большими резервами обладает этот путь в сети.

Пример построения и оптимизации сетевой модели

Определение исходной длительности работ для определения исходной продолжительности работ пользуемся формулой (1)

Результаты расчетов в часах следующие

Определение и анализ системных характеристик исходной сетевой модели. Определим все возможные полные пути сетевой модели (рис. 1), которые представим как цепочки событий от начального до конечного события:

Путь L1 : 0 – 1 – 5 – 10 – 13 – 14;

Путь L2 : 0 – 1 – 5 – 13 – 14;

Путь L3 : 0 – 1 – 6 – 11 – 13 – 14;

Путь L4 : 0 – 2 – 7 – 11 – 13 – 14;

Путь L5 : 0 – 3 – 7 – 11 – 13 – 14;

Путь L6 : 0 – 4 – 8 – 3 – 7 – 11 – 13 – 14;

Путь L7 : 0 – 4 – 9 – 12 – 14;

Возможных путей семь. Произведем расчеты, с помощью которых вычислим продолжительности каждого пути. Для этого воспользуемся формулой (10)

, где ti-j – продолжительности работ данного пути (в часах).

= 4,29 + 4 + 4 + 4 + 10 = 26,29 часов

= 4,29 + 4 + 4 +10 = 22,29 часа

= 4,29 + 2 + 30 + 20 +10 = 66,29 часа

= 30 + 0 + 20 + 20 + 10 = 80 часов

= 4 + 2 + 20 + 20 + 10 = 56 часов

= 3,5 + 4,29 + 0 + 2 + 20 +20 + 10 = 59,79 часа

= 3,5 + 3 + 4 + 4 = 14,5 часов

Путь с наибольшей продолжительностью по времени будет являться критическим. Это путь L4 с продолжительностью ТL4 = 80 часов.

Найдем среднее значение продолжительности пути . Для этого воспользуемся формулой , где n – количество путей. Тогда TLcp=325,16/7=46,45 (часов).

С помощью величины TLcp  рассчитаем резерв времени RLi для каждого пути Li. Резерв времени вычисляется по формуле RL = TLcp-TLi. Данные о продолжительности путей и резервах времени по путям приведены в таблице.

Таблица 2

Исходные продолжительности и резервы пути.

Рассчитаем характеристики событий. При определении ранних сроков наступления событий Тpi двигаемся по сетевому графику слева направо и используем форму (2) при определении поздних сроков наступления событии Тпi  двигаемся по сетевому графику справа налево и используем формулы (3) или (3, а).

Вычисленные характеристики представлены в таблице 3

Таблица 3

Ранние и поздние сроки наступления событий