Международный университет природы, общества и  человека «Дубна»

Кафедра системного анализа и управления 
 
 
 
 

Курсовая  работа по  математическим методам принятия управленческих решений на тему: 

Распределение инвестиций методом динамического  программирования 
 
 
 
 
 

Выполнила: студентка гр.8101 Сергеюк Е.Н. 
 
 
 

Дубна, 2011

Оглавление

Введение 3

1. Теоретическая часть 4

1.1.Сетевая  модель 4

1.2. Метод прямой прогонки 4

1.3. Решение ЗДП при  помощи принципа  оптимальности Беллмана 4

2. Практическая часть 6

2.1. Постановка задачи 6

2.2. Оптимальный набор решений 10

Заключение 10

Литература 12

 

 

Введение

    Динамическое  программирование представляет собой  математический аппарат, разработанный  для эффективного решения некоторого класса задач математического программирования. Этот класс характеризуется возможностью естественного (а иногда и искусственного) разбиения всей операции на ряд взаимосвязанных  этапов. Термин «динамическое» в названии метода возник, видимо, потому что этапы предполагаются разделенными во времени. Однако этапами могут быть элементы операции, никак не связанные друг с другом показателем времени. Тем не менее, метод решения подобных многоэтапных задач применяется один и тот же, и его название стало общепринятым, хотя в некоторых источниках его называют многоэтапным программированием.

    Модели  динамического программирования могут  применяться при разработке правил управления запасами, устанавливающими момент пополнения запасов и размер пополняющего заказа; при разработке принципов календарного планирования производства и выравнивания занятости  в условиях колеблющегося спроса на продукцию; при распределении  инвестиций между новыми направлениями  их использования; при составлении  календарных планов текущего и капитального ремонта сложного оборудования и  его замены; при разработке долгосрочных правил замены выбывающих из эксплуатации основных фондов и т.д.

    В своей работе я решила разобрать  метод динамического программирования при распределение инвестиций. Т.к. проблема распределения инвестиций относится к разряду «вечных»: инвестиции, в отличие от потребностей, всегда ограничены. Их, так или иначе, приходится распределять на различные нужды постоянно и на всех уровнях. Динамическое программирование является одним из наиболее эффективных методов решения подобных задач, чем и объясняется актуальность данной работы.  

 

1. Теоретическая часть

1.1.Сетевая модель

      Общая постановка задачи: совет директоров фирмы изучает предложение по наращиванию мощностей 3-x принадлежащих ей предприятий. Для расширения всех трех предприятий фирма выделяет 5 млн. $. Каждое предприятие представляет на рассмотрение проекты, которые характеризуются величинами в млн. $ суммарных затрат (C) и доходов (R), связанных с реализацией каждого проекта

      Цель  фирмы является получение max дохода от инвестиций

1.2. Метод прямой прогонки

                ;

                                           ;

                 ; 

              .

1.3. Решение ЗДП при  помощи принципа  оптимальности Беллмана

    Принцип оптимальности Беллмана — важнейшее  положение динамического программирования, которое гласит: оптимальное поведение  в задачах динамического программирования обладает тем свойством, что каковы бы ни были первоначальное состояние  и решение, последующие решения  должны составлять оптимальное поведение  относительно состояния, получающегося  в результате первого решения. Этот принцип можно выразить и рассуждая  от противного: если не использовать наилучшим  образом то, чем мы располагаем  сейчас, то и в дальнейшем не удастся  наилучшим образом распорядиться  тем, что мы могли бы иметь.

    Следовательно, если имеется оптимальная траектория, то и любой ее участок представляет собой оптимальную траекторию. Этот принцип позволяет сформулировать эффективный метод решения широкого класса многошаговых задач.  

    Если  выполняются оба принципа, то работает принцип оптимальности Беллмана:

• Принцип отсутствия последействия

              .

      Каждый следующий шаг зависит  только от

      предыдущего

• Принцип аддитивности целевой функции

    

                         .

    

     Пусть                                 — вектор оптимальных управлений, который переводит систему из состояния        в состояние          за n шагов:                       

                 так, чтобы целевая функция (1) достигла своего максимального значения.

        Каково бы ни было состояние  системы перед очередным шагом,  выбирать управление на этом  шаге нужно так, чтобы выигрыш  на данном шаге плюс оптимальный  выигрыш на всех последующих  шагах был оптимальным. 
 

 

2. Практическая часть

    Решение задачи методом обратной прогонки.

    В основе метода лежит принцип оптимальности  Беллмана:

    Управление  на каждом шаге нужно выбирать так, чтобы сумма выигрыша на данном шаге и оптимального выигрыша на всех последующих  шагах была максимальна.

2.1. Постановка задачи

    Иностранный капитал в экономике Москвы составил 9 млрд. долл. Правительство планирует  инвестировать их в «Оптовую и  розничную торговлю»(1), «Обрабатывающее  производство»(2), «Транспорт и связь»(3),  «Операции с недвижимым имуществом»(4), «Финансовую деятельность»(5). Каждая отрасль представляет на рассмотрение проекты, кот. Характеризуются величинами (в млрд. долл.) суммарных затрат (С) и доходов (R), связанных с реализацией  каждого из проектов. Соответствующие  данные приведены в таблице, в  которую включены также проекты  с нулевыми затратами. Это позволяет  учесть возможность отказа от расширения какого-либо предприятия. Цель фирмы - получение максимального дохода от инвестиций в объеме 9 млрд. долл. Найти оптимальный способ инвестирования.

    Для составления математической модели исходим из предположений:

    1) прибыль от каждой организации не зависит от вложения средств в другие предприятия;

    2) прибыль от каждой организации выражается в одних условных единицах;

    3) суммарная прибыль равна сумме прибылей, полученных от каждой организации.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Данная  постановка является упрощенной моделью  реального процесса распределения  инвестиций, и в "чистом" виде не встречается, так как не учитывает  некоторые факторы, а именно:

    1) наличие «неформальных» критериев, т.е. тех, которые невозможно измерить количественно (например, согласованность проекта с общей стратегией предприятия, его социальный либо экологический характер и т.д.), в связи с чем проекты могут иметь различный приоритет;

    2) уровень риска проектов;

    3) другие факторы.