Основы финансовых вычислений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ 

СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

 

 

 

 

 

 

 

Лабораторная работа № 2

 

 

По дисциплине: Основы финансовых вычислений

 

 

 

 

 

 Выполнила 

 Студентка: 

 Специальность: 

 Группа 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ставрополь, 2013

 

Задача 1. За вексель, учтенный за два года до срока по дисконтной ставке 10 %, заплачено 3,5 тыс. руб. Определить номинальную величину векселя.

Решение. Поскольку Р = 3,5; n = 2; d = 0,1; то из

F =

получим

F =

тыс. руб.

 

Задача 2. На капитал в 17 млн руб. в течение 5 лет осуществляется наращение простыми процентами по учетной ставке 19 %. Найти приращение первоначального капитала за каждый год и общую наращенную сумму.

Решение. Общая наращенная сумма определяется по формуле

F =

= млн руб.

Приращение капитала I_d за пять лет составит величину: I_d =340 – 17= = 323 млн руб.

Приращения за каждый год  равны:

I_d⁽¹⁾ =

млн руб.

I_d⁽²⁾ =

млн руб.

I_d⁽³⁾ =

млн руб.

I_d⁽⁴⁾ =

млн руб.

I_d⁽⁵⁾ =

млн руб.

С целью проверки просуммируем полученные величины: I_d⁽¹⁾ + I_d⁽²⁾ + I_d⁽³⁾ + I_d⁽⁴⁾ + I_d⁽⁵⁾ = 323 млн руб., т. е. как и должно быть, получили I_d.

 

Задача 3. Найти учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке 24 %, при наращении капитала за год.

Решение. Поскольку n = 1, r = 0,24, то по формуле

 

d =

, или d» 19%.

Таким образом, учет за год  по учетной ставке 19 % приносит такой  же доход, как наращение простыми процентами по ставке 24 %.

 

Задача 4. Банк учитывает вексель за 234 дня до срока по учетной ставке 17 %, используя временную базу в 360 дней. Определить доходность такой операции по процентной ставке при временной базе, равной 365.

Решение. Согласно формуле

= или r » 19 %.

 

Задача 5. В банк 6 мая предъявлен для учета вексель на сумму 24 тыс. руб. со сроком погашения 10 июля того же года. Банк учитывает вексель по учетной ставке 45 % годовых, используя способ 365/360. Определите сумму, которую получит векселедержатель от банка, и комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу за предоставленную услугу. За какое время до срока платежа операция учета векселя по учетной ставке 45 % годовых имеет смысл?

Решение:

 

 

Комиссионные удерживаемые банком (дисконт) составят разницу между суммой к погашению и суммой покупки векселя банком, а именно:

Дисконт, полученный банком = 24 – 22,05 = 1,95 тыс. руб.

Задача 6. Вексель на сумму 15 тыс. руб. учитывается по простой учетной ставке за 100 дней до погашения с дисконтом 630 руб. в пользу банка. Определите величину этой годовой учетной ставки при временной базе, равной 360 дней в году.

Решение:

Полагая F = 15 тыс. руб., F - Р = 0,63 тыс. руб., t = 100 дней, Т = 360 дней, получим:

d = 0,63 / (15 • 100) • 360= 0,1512

Таким образом, простая учетная  ставка составляет 15,12% годовых. Для проверки можно определить дисконт в пользу банка (т.е. решаем обратную задачу: по известной учетной ставке определяем дисконт):

F - P = F • t/T • d  = 15 • 100/360 • 0,1512 = 0,63 тыс. руб.

 

Задача 7. Банк 7 июня учел три векселя со сроками погашения в этом же году соответственно 8 августа, 30 августа и 21 сентября. Применяя учетную ставку 25 % годовых, банк удержал комиссионные в размере 2750 руб. Определите номинальную стоимость первых двух векселей, если номинальная стоимость второго векселя в два раза больше первого и третий вексель предъявлен на сумму 20 тыс. руб.

Решение:

Поскольку не определена длительность года, считаем ее равной 360 дням (коммерческий год).

Используем расчет для  коммерческого (банковского)дисконтирования.

Базовая формула  ,

Где FV – возвращаемая сумма, сумма к погашению, номинальная стоимость (FV₂ = 2*FV₁ (найти оба значения), FV₃ = 20 тыс. рублей);

PV – сумма покупки векселя банком (неизвестно);

Комиссионные банка составили  D = D₁ + D₂+ D₃ = 2750 рублей;

t – количество дней до момента предъявления векселя (при точном расчете дней: первый вексель 220 – 158 = 62 дня, второй вексель 242 – 158 = 84 дня, третий вексель264 – 158 = 106 дней, с использованием таблицы порядковых номеров дней в году);

T – количество дней в году (360 дней);

d – учетная ставка (25 %).

Найдем D₃ = FV₃ -

Получаем D₁₊₂ = D₁+D₂ = D – D₃ = 2750 – 1472,22 = 1277,78 рубля.

Учитывая соотношение  номинальной стоимости первого  и второго векселя получаем тождество:

D₁₊₂ = D₁ + D₂ = FV₁ -

Выполнив математические преобразования получаем:

8000 рублей

16000 рублей

 

Задача 8. В банк 15 февраля предъявлен для учета вексель на сумму 55 тыс. руб. со сроком погашения 30 июня того же года. Банк учитывает вексель по простой учетной ставке 35% годовых. Определите сумму, полученную векселедержателем, и величину дисконта банка, если при учете использовался способ 365/365 и год високосный. Каковы будут определяемые величины при учете по простой учетной ставке 35% и использовании способа 365/360?

Решение:

 

1. Английская практика.

Базовая формула  , где

FV – возвращаемая сумма, сумма к погашению, номинальная стоимость (55 тыс. рублей);

PV – сумма покупки векселя банком (искомое);

t – количество дней до момента предъявления векселя (при точном расчете дней 182 – 46 =136 дней, с использованием таблицы порядковых номеров дней в високосном году);

T – количество дней в году (вариант 1 - 366);

r – процентная ставка (35 %).

Используем формулу расчета  наращения простыми процентами

 

Преобразовываем для вычисления даты покупки 

 

Комиссионные удерживаемые банком (дисконт) составят разницу между суммой к погашению и суммой покупки векселя банком, а именно:

D = FV – PV = 55 – 48,67 =  6,33 тыс. рублей

2. Французская практика

Базовая формула  , где

FV – возвращаемая сумма, сумма к погашению, номинальная стоимость (55 тыс. рублей);

PV – сумма покупки векселя банком (искомое);

t – количество дней до момента предъявления векселя (при точном расчете дней 182 – 46 =136 дней, с использованием таблицы порядковых номеров дней в високосном году);

T – количество дней в году (вариант 2 - 360 дней);

d – учетная ставка (35 %).

Получаем сумму выплаты  векселедержателю

Комиссионные удерживаемые банком (дисконт) составят разницу между суммой к погашению и суммой покупки векселя банком, а именно:

D = FV – PV = 55 – 47,73 = 4,533 тыс. рублей

 

Задача 9. За вексель, учтенный за 5 лет по учетной ставке 18% годовых, заплачено 8 тыс. руб. Определите номинальную величину векселя.

Решение:

. Тогда 

 

 

Задача 10. Найдите учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке 35% годовых, при наращении капитала: а) за год; б) за 150 дней. Временные базы ставок одинаковы.

Решение:

Процентная ставка (норма  прибыли, доходность, рост за время  t) – отношение результативности сделки к исходной сумме r_t = 35%.

Учетная ставка (дисконтная ставка, дисконт за время t) – отношение результативности сделки к возвращаемой сумме.

а) При r_t > 0, 0 < d_t < 1, r_t > d_t справедливы соотношения:

 

б) Анализируем методы расчета  с использованием учетной и процентной ставок для простых процентов (краткосрочные)

Базовая формула 

Базовая формула 

FV – возвращаемая сумма;

PV – сумма покупки векселя банком (примем равной 1);

t – количество дней (150 дней);

T – количество дней в году (360, 365, 366 дней);

d – учетная ставка (искомое);

r –процентная ставка (35%).

Получаем следующее тождество:

 

Поскольку PV = 1 получаем:

 

Откуда получаем

0,3057 = 30.57%

0,3059 = 30,59%

0,3067 = 30,67%

 

 

Погашение кредита  и амортизационные отчисления.

 

Задача 1. Вкладчик поместил в банк 36 тыс. руб. на следующих условиях: в первый год процентная ставка равна 17 % годовых, каждые последующие полгода ставка повышается на 5 %. Найти наращенную сумму за два года, если проценты начисляются только на первоначальную сумму вклада.

Решение. Поскольку P = 36, n₁ = 1, n₂ = n ₃= (периоды начисления измеряем в годах), i₁ = 0,17, i₂ = 0,22, i₃ = 0,27, то по формуле

F = P + P n₁ i₁ + P n₂ i₂ + . . . + P n_m i_m =

= P(1 + n₁ i₁ + n₂ i₂ + . . . + n_m i_m) = P(1 +

получим

F =

тыс. руб.

Такую же наращенную сумму  можно получить, если простые проценты начисляются за два года (n = 2) по ставке

или 70,75 % годовых.

 

Задача 2. Найти наращенную сумму за два года, если в предыдущем примере с изменением ставки происходит одновременно и капитализация процентного дохода.

Решение. В тех же обозначениях из формулы

F = F_m = F_m-1(1+ n_m i_m) = P(1+ n₁ i₁)(1+ n₂ i₂). . . (1+ n_m i_m) =

=

следует

F =

тыс. руб.

Получили большую наращенную сумму, чем в предыдущем примере, так как после каждого периода  начисления осуществлялась операция реинвестирования.

 

Задача 3. Господин К поместил в банк 23 тыс. руб. на следующих условиях: в первые полгода процентная ставка равна 25 % годовых, каждый последующий квартал ставка повышается на 4 %. Найдите наращенную сумму за полтора года, если проценты начисляются только на первоначальную сумму вклада. При какой постоянной процентной ставке можно получить такую же наращенную сумму? Найдите наращенную сумму за полтора года, если с изменением ставки происходит одновременно и капитализация процентного дохода.

Решение:

Пусть в начале проценты начисляются только на первоначальную сумму вклада. Рассмотрим отдельно периоды, в течение которых ставка была постоянной. Поскольку на первый период длительностью n₁ = 0,5 года установлена процентная ставка i₁ = 0,25, то приращение капитала (в тыс. руб.) за этот период равно величине На второй период длительностью n₂ = 0,25 года (квартал) установлена процентная ставка i₂ = 0,25 + 0,04 = 0,29, и, следовательно, приращение капитала за этот период равно величине Аналогичным образом на периоды n₃, n₄, n₅, каждый из которых равен 0,25 года, установлены соответственно ставки i₃ = 0,33, i₄ = 0,37, i₅ = 0,41, доставляющие приращения капитала ; ; . Суммируя первоначальный капитал и все его приращения, получим наращенную сумму за полтора года (общий множитель всех слагаемых 23 вынесем за скобки):

F =

тыс. руб.

Такую же наращенную сумму  можно получить, если простые проценты начисляются за полтора года по ставке

Действительно, по формуле 

F = P(1+n^’i)^m

F =

тыс. руб.

Если же с изменением ставки происходит одновременно и капитализация  процентного дохода (т. е. наращенная сумма вкладывается вновь под  измененную простую процентную ставку), то за полтора года наращенная сумма  составит:

F =

тыс. руб.

Естественно, получили сумму, превышающую 36,1831 тыс. руб., поскольку  в этом случае за каждый период проценты начисляются не только на первоначальную сумму вклада, но и на проценты, начисленные  за предыдущий период.

 

Задача 4. Товар ценой в 7 тыс. руб. продается в кредит на 2,5 года под 15 % годовых с равными ежеквартальными погасительными платежами, причем начисляются простые проценты. Определить долг с процентами, проценты и величину разового погасительного платежа.