Анализ математических методов используемых используемых для моделирования процессов управления

Метод, используемый в рамках определенной математической модели - это уже во многом, если не в основном, дело математиков. В эконометрических моделях речь идет, например, о методе оценивания, о методе проверки гипотезы, о методе доказательства той или иной теоремы, и т.д. В первых двух случаях алгоритмы разрабатываются и исследуются математиками, но используются прикладниками, в то время как метод доказательства касается лишь самих математиков.

Ясно, что для  решения той или иной задачи в  рамках одной и той же принятой исследователем модели может быть предложено много методов. Приведем примеры. Для  специалистов по теории вероятностей и математической статистике наиболее хорошо известна история Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей. Предельный нормальный закон был получен многими разными методами, из которых напомним теорему Муавра-Лапласа, метод моментов Чебышева, метод характеристических функций Ляпунова, завершающие эпопею методы, примененные Линдебергом и Феллером. В настоящее время для решения практически важных задач могут быть использованы современные информационные технологии на основе метода статистических испытаний и соответствующих датчиков псевдослучайных чисел. Они уже заметно потеснили асимптотические методы математической статистики. В рассмотренной выше проблеме однородности для проверки одной и той же гипотезы совпадения функций распределения могут быть применены самые разные методы – Смирнова, Лемана - Розенблатта, Вилкоксона и др.  Наконец, рассмотрим последний элемент четверки - условия применимости. Он - полностью внутриматематический. С точки зрения математика замена условия (кусочной) дифференцируемости некоторой функции на условие ее непрерывности может представляться существенным научным достижением, в то время как прикладник оценить это достижение не сможет. Для него, как и во времена Ньютона и Лейбница, непрерывные функции мало отличаются от (кусочно) дифференцируемых. Точнее, они одинаково хорошо (или одинаково плохо) могут быть использованы для описания реальной действительности.Методологический анализ - первый этап моделирования процессов управления, да и вообще любого исследования. Он определяет исходные постановки для теоретической проработки, а потому во многом и успех всего исследования. Анализ динамики развития методов моделирования позволяет выделить наиболее перспективные методы. В частности, при вероятностно-статистическом моделировании наиболее перспективными оказались методы нечисловой статистики .

2.3. Модель управления обучением 

В качестве примера  конкретной модели процесса управления рассмотрим модель распределения времени  между овладением знаниями и развитием  умений . 

Любое знание состоит  частично из «информации» («чистое  знание») и частично из «умения» («знаю как»). Умение – это мастерство, это способность использовать имеющиеся у вас сведения для достижения своих целей; умение можно еще охарактеризовать как совокупность определенных навыков, в конечном счете, умение – это способность методически работать.  

Пусть x(t) – объем сведений, накопленных учащимся к моменту времени t («чистое знание»), y(t) – объем накопленных умений: умений рассуждать, решать задачи, разбираться в излагаемом преподавателем материале; u(t) – доля времени, отведенного на накопление знаний в промежутке времени (t; t+dt).  

Естественно считать, что увеличение x(t+dt) – x(t) объема знаний учащегося пропорционально потраченному на это времени u(t)dt и накопленным умениям y(t). Следовательно,

 , (1)

где коэффициент k₁ > 0 зависит от индивидуальных особенностей учащегося. 

Увеличение знаний за то же время пропорционально потраченному на это времени (1 - u(t))dt, имеющимся умениямy(t) и знаниям x(t). Следовательно,

 . (2)

Коэффициент k₂ > 0 также зависит от индивидуальности. Учащийся тем быстрее приобретает умения, чем больше он уже знает и умеет. Тем быстрее усваивает знания, чем больше умеет. Но нельзя считать, что чем больше они запомнил, тем быстрее запоминает. На правую часть уравнения (1) влияют только приобретенные в прошлом активные знания, примененные при решении задач и перешедшие в умения. Отметим, что модель (1) – (2) имеет смысл применять на таких интервалах времени, чтобы, например, пять минут можно было считать бесконечно малой величиной. 

Можно управлять  процессом обучения, выбирая при  каждом t значение функции u(t) из отрезка [0; 1]. Рассмотрим две задачи.  

1. Как возможно  быстрее достигнуть заданного  уровня знаний x₁ и умений y₁? Другими словами, как за кратчайшее время перейти из точки фазовой плоскости (x₀; y₀) в точку (x₁; y₁)? 

2. Как быстрее  достичь заданного объема знаний, т.е. выйти на прямую x = x₁? 

Двойственная  задача: за заданное время достигнуть как можно большего объема знаний. Оптимальные траектории движения для  второй задачи и двойственной к ней  совпадают (двойственность понимается в обычном для математического программирования смысле ). 

С помощью замены переменных z = k₂x, w = k₁k₂y перейдем от системы (1) – (2) к более простой системе дифференциальных уравнений, не содержащей неизвестных коэффициентов:

 . (3)

(Описанная линейная  замена переменных эквивалентна  переходу к другим единицам  измерения знаний и умений, своим  для каждого учащегося.) 

Решения задач 1 и 2, т.е. наилучший вид управления u(t), находятся с помощью математических методов оптимального управления, а именно, с помощью принципа максимума Л.С.Понтрягина . В задаче 1 для системы (3) из этого принципа следует, что быстрейшее движение может происходить либо по горизонтальным (u = 1) и вертикальным (u = 0) прямым, либо по особому решению - параболе w = z² (u = 1/3). При    движение начинается по вертикальной прямой, при    - по горизонтальной,  при    - по параболе. По каждой из областей {z² > w} и {z² < w} проходит не более одного вертикального и одного горизонтального отрезка оптимальной траектории. 

Используя теорему  о регулярном синтезе , можно показать, что оптимальная траектория выглядит следующим образом. Сначала надо выйти на «магистраль» - добраться  до параболы w = z² по вертикальной (u = 0) или горизонтальной (u = 1) прямой. Затем пройти основную часть пути по магистрали (u = 1/3). Если конечная точка лежит под параболой, добраться до нее по горизонтали, сойдя с магистрали. Если она лежит над параболой, заключительный участок траектории является вертикальным отрезком. В частности, в случае   оптимальная траектория такова. Сначала надо выйти на магистраль – добраться по вертикальной (u = 0) прямой до параболы. Затем двигаться по магистрали (u = 1/3) от точки    до точки   . Наконец, по горизонтали (u= 1) выйти в конечную точку. 

В задаче 2 из семейства  оптимальных траекторий, ведущих  из начальной точки (z₀; w₀) в точки луча (z₁; w₁), w₀ < w₁< +∞, выбирается траектория, требующая минимального времени. При z₁ < 2z₀ оптимально w₁ = z₀ (z₁ – z₀), траектория состоит из вертикального и горизонтального отрезков. При z₁ > 2z₀ оптимально   , траектория проходит по магистрали w = z² от точки   до точки   . Чем большим объемом знаний z₁ надо овладеть, тем большую долю времени надо двигаться по магистрали, отдавая при этом 2/3 времени увеличению умений и 1/3 времени – накоплению знаний. 

Полученное для  основного участка траектории оптимального обучения значение u = 1/3 можно интерпретировать приблизительно так: на одну лекцию должно приходиться два семинара, на 15 мин. объяснения 30 мин. решения задач. Результаты, полученные в математической модели, вполне соответствуют эмпирическим представлениям об оптимальной организации учебного процесса. Кроме того, модель определяет численные значения доли времени (1/3), идущей на повышение знаний, и доли материала (1/2), излагаемого на заключительных лекциях (без проработки на семинарах). 

При движении по магистрали, т.е. в течение основного  периода учебного процесса, оптимальное распределение времени между объяснениями и решением задач одно и то же для всех учащихся, независимо от индивидуальных коэффициентов k₁ и k₂. Этот факт устойчивости оптимального решения показывает возможность организации обучения, оптимального одновременно для всех учащихся. При этом время движения до выхода на магистраль зависит, естественно, от начального положения (x₀; y₀) и индивидуальных коэффициентов k₁ и k₂.  

Таким образом, модель процесса управления обучением (1) – (2) позволила получить ряд практически полезных рекомендаций, в том числе выраженных в числовой форме. При этом не понадобилось уточнять способы измерения объемов знаний и умений, имеющихся у учащегося. Достаточно было согласиться с тем, что эти величины удовлетворяют качественным соотношениям, приводящим к уравнениям (1) и (2). 

Многочисленные  модели процессов управления описаны  в литературе . Их практическим использованием обычно занимаются информационно-аналитические  подразделения, службы контроллинга, качества и надежности, маркетинга и др. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Литература

1. Неуймин Я.Г.  Модели в науке и технике.  История, теория, практика. - Л.: Наука, 1984. - 190 с. 
2. Жданова Г.А. Эффект лояльности как базисный элемент работы с покупателями. - Предприятия России в транзитивной экономике. Материалы международной научно-практической конференции. Часть I. - Ярославль: Концерн «Подати», 2002. 
3. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. - М.: Наука, 1981. - 488 с. 
4. Орлов А.И. Эконометрика. – М.: Экзамен, 2003. – 576 с. 
5. Нейлор Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем. - М.: Мир, 1975. - 500 с. 
6. Математическая экономика на персональном компьютере. Пер. с яп./ М. Кубонива, М. Табата, С.Табата, Ю. Хасэбэ; Под ред. М. Кубонива. - М.: Финансы и статистика, 1991. - 304 с. 
7. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979. -296 с. 
8. Бизнес-процесс реинжиниринг и проектирование информационных систем. Материалы семинара. - М.:МГУЭСИ - РосНИИ ИТСАП, 1996. - 100 с. 
9. Гнеденко Б.В. Математика и контроль качества продукции.- М.: Знание, 1978. – 64 с. 
10. Багриновский К.А., Бусыгин В.П. Математика плановых решений. - М.: Наука, 1980. 
11. Нейман Дж.фон, Моргенштейн О. Теория игр и экономическое поведение. - М.: Наука, 1970. 
12. Орлов А.И. Математические модели отдельных сторон обучения математике. – В: «Сб. научно-методических статей по математике. (Проблемы преподавания математики в вузах.)» Вып.7. - М.: Высшая школа, 1978. С.28-34. 
13. Пойа Д. Математическое открытие. – М.: Наука, 1970. 
14. Гольштейн Е.Г. Выпуклое программирование (элементы теории). – М.: Наука, 1970. 
15. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. – М.: Наука, 1969. 
16. Орлов А.И. Теория принятия решений. – М.: Экзамен, 2003 (в печати)