Анализ математических методов используемых используемых для моделирования процессов управления

Развитие систем измерения, анализа и управления денежными потоками, полученными  от лояльности, может привести организацию  к инвестициям, которые в дальнейшем обеспечат рост количества покупателей  и организации в целом. 

Итак, модель лояльности подробно обоснована на словесном уровне [2]. В этом обосновании упоминалось математическое и компьютерное обеспечение. Однако для принятия первоначальных решений их использование не требуется. 

1.2.Математические модели при принятии решений. При более тщательном анализе ситуации словесных моделей, как правило, не достаточно. Необходимо применение достаточно сложных математических моделей. Так, при принятии решений в менеджменте производственных систем используются: 
-         модели технологических процессов (прежде всего модели контроля и управления); 
-         модели обеспечения качества продукции (в частности, модели оценки и контроля надежности); 
-         модели массового обслуживания; 
-         модели управления запасами (модели логистики); 
-         имитационные и эконометрические модели деятельности предприятия в целом, и др.  

В процессе подготовки и принятия решений часто используют имитационные модели и системы. Имитационная модель позволяет отвечать на вопрос: "Что будет, если…" Имитационная система - это совокупность моделей, имитирующих протекание изучаемого процесса, объединенная со специальной системой вспомогательных программ и информационной базой, позволяющих достаточно просто и оперативно реализовать вариантные расчеты .  
 

2.Основные термины математического моделирования. 

Прежде чем  начать рассматривать конкретные математические модели процессов управления, необходимо вспомнить определения основных терминов, такие, как: 
- компоненты системы - части системы, которые могут быть вычленены из нее и рассмотрены отдельно; 
- независимые переменные – они могут изменяться, но это внешние величины, не зависящие от проходящих в системе процессов; 
- зависимые переменные - значения этих переменных есть результат (функция) воздействия на систему независимых внешних переменных; 
- управляемые (управляющие) переменные - те, значения которых могут изменяться исследователем; 
- эндогенные переменные – их значения определяются в ходе деятельности компонент системы (т.е. «внутри» системы); 
- экзогенные переменные - определяются либо исследователем, либо извне, т.е. в любом случае действуют на систему извне.  

При построении любой модели процесса управления желательно придерживаться следующего плана действий: 
1) Сформулировать цели изучения системы;  
2) Выбрать те факторы, компоненты и переменные, которые являются наиболее существенными для данной задачи;  
3) Учесть тем или иным способом посторонние, не включенные в модель факторы; 
4) Осуществить оценку результатов, проверку модели, оценку полноты модели. 

Модели можно делить на следующие виды: 

1) Функциональные  модели - выражают прямые зависимости  между эндогенными и экзогенными  переменными. 

2) Модели, выраженные  с помощью систем уравнений  относительно эндогенных величин.  Выражают балансовые соотношения  между различными экономическими показателями (например, модель межотраслевого баланса).  

3) Модели оптимизационного  типа. Основная часть модели - система  уравнений относительно эндогенных  переменных. Но цель - найти оптимальное  решение для некоторого экономического  показателя (например, найти такие величины ставок налогов, чтобы обеспечить максимальный приток средств в бюджет за заданный промежуток времени). 

4) Имитационные  модели - весьма точное отображение  экономического явления. Математические  уравнения при этом могут содержать сложные, нелинейные, стохастические зависимости.  

С другой стороны, модели можно делить на управляемые  и прогнозные. Управляемые модели отвечают на вопрос: “Что будет, если ...?”; “Как достичь желаемого?”, и содержат три группы переменных: 1) переменные, характеризующие текущее состояние объекта; 2) управляющие воздействия - переменные, влияющие на изменение этого состояния и поддающиеся целенаправленному выбору; 3) исходные данные и внешние воздействия, т.е. параметры, задаваемые извне, и начальные параметры. 

В прогнозных моделях  управление не выделено явно. Они отвечают на вопросы: “Что будет, если все останется  по-старому?”  

Далее, модели можно  делить по способу измерения времени  на непрерывные и дискретные. В  любом случае, если в модели присутствует время, то модель называется динамической. Чаще всего в моделях используется дискретное время, т.к. информация поступает дискретно: отчеты, балансы и иные документы составляются периодически. Но с формальной точки зрения непрерывная модель может оказаться более простой для изучения. Отметим, что в физической науке продолжается дискуссия о том, является ли реальное физическое время непрерывным или дискретным. 

Обычно в достаточно крупные социально-экономические  модели входят материальный, финансовый и социальный разделы. Материальный раздел - балансы продуктов, производственных мощностей, трудовых, природных ресурсов. Это раздел, описывающий основополагающие процессы, это уровень, обычно слабо подвластный управлению, особенно быстрому, поскольку весьма инерционен. 

Финансовый раздел содержит балансы денежных потоков, правила формирования и использования  фондов, правила ценообразования  и.т.п. На этом уровне можно выделить много управляемых переменных. Они  могут быть регуляторами. Социальный раздел содержит сведения о поведении людей. Этот раздел вносит в модели принятия решений много неопределенностей, поскольку трудно точно правильно учесть такие факторы как трудоотдача, структура потребления, мотивация и.т.п. 

При построении моделей, использующих дискретное время, часто применяют методы эконометрики. Среди них популярны регрессионные уравнения и их системы. Различные системы регрессионных уравнений, построенные для решения практически важных задач, рассмотрены в . Часто используют лаги (запаздывания в реакции). Для систем, нелинейных по параметрам, применение метода наименьших квадратов встречает трудности . Четвертая часть учебника посвящена краткому обзору моделей, применяющихся наиболее часто. Большое количество конкретных эконометрических и математических моделей принятия решений рассмотрено в . Обратим внимание, что популярные в настоящее время подходы к процессам бизнес-реинжиниринга основаны на активном использовании математических и информационных моделей .

2.1. Математическое моделирование процессов управления 

Математическое  моделирование экономических явлений  и процессов с целью оптимизации  процессов управления - область научно-практической деятельности, получившая мощный стимул к развитию во время и сразу  после второй мировой войны. Эта тематика развивалась в рамках интеллектуального движения, связанного с терминами "кибернетика", "исследование операций", а позже - "системный анализ", "информатика".  

Впрочем, имелась  и вполне практическая задача - контроль качества боеприпасов, вышедшая на первый план именно в годы второй мировой войны. Методы статистического контроля качества приносят (по западной оценке, обсуждаемой в , и по нашему мнению, основанному на опыте СССР и России, в частности, анализе организационно-экономических результатов работы служб технического контроля на промышленных предприятиях) наибольший экономический эффект среди всех экономико-математических методов управления. Только дополнительный доход от их применения в промышленности США оценивается как 0,8 % валового национального продукта США, т.е. 24 миллиардов долларов (в ценах 2003 г.)

      Важная проблема - учет неопределенности. Основное место она занимает в вероятностно-статистических моделях экономических и социально-экономических явлений и процессов. Особое место занимают имитационные системы, позволяющие отвечать на вопросы типа: "Что будет, если...?" (Как подчеркнуто в [3, с.212], «любая модель, в принципе, имитационная, ибо она имитирует реальность».) Основа имитации (смысл которой мы будем понимать как анализ экономического явления с помощью вариантных расчетов) - это математическая модель. Согласно [3, с.213] имитационная система - это совокупность моделей, имитирующих протекание изучаемого процесса, объединенная со специальной системой вспомогательных программ и информационной базой, позволяющих достаточно просто и оперативно реализовать вариантные расчеты. Таким образом, под имитацией понимается численный метод проведения машинных экспериментов с математическими моделями, описывающими поведение сложных систем в течение продолжительных периодов времени, при этом имитационный эксперимент состоит из следующих шести этапов: 
1) формулировка задачи, 
2) построение математической модели, 
3) составление программы для ЭВМ, 
4) оценка пригодности модели, 
5) планирование эксперимента, 
6) обработка результатов эксперимента.

Несколько иной (более подробный) список этапов дан  в . Имитационное моделирование (simulation modelling) широко применяется в различных областях, в том числе в экономике . 

Экономико-математические методы управления можно разделить на несколько групп: 
- методы оптимизации . 
- методы, учитывающие неопределенность, прежде всего вероятностно-статистические . 
- методы построения и анализа имитационных моделей, 
- методы анализа конфликтных ситуаций (теории игр).

Во всех этих группах можно выделить статическую  и динамическую постановки. При наличии  фактора времени используют дифференциальные уравнения и разностные методы. Теория игр (более подходящее название - теория конфликта, или теория конфликтных ситуаций) зародилась как теория рационального поведения двух игроков с противоположными интересами. Она наиболее проста, когда каждый из них стремится минимизировать свой средний проигрыш, т.е. максимизировать свой средний выигрыш. Отсюда ясно, что теория игр склонна излишне упрощать реальное поведение в ситуации конфликта. Участники конфликта могут оценивать свой риск по иным критериям. В случае нескольких игроков возможны коалиции. Большое значение имеет устойчивость точек равновесия и коалиций. В экономике еще 150 лет назад теория дуополии (конкуренции двух фирм) О.Курно была развита на основе соображений, которые мы сейчас относим к теории игр. Новый толчок дан классической монографией Дж. фон Неймана и О.Моргенштейна, вышедшей вскоре после второй мировой войны.

В учебниках  по экономике обычно разбирается "дилемма  заключенного" и точка равновесия по Нэшу (ему присуждена Нобелевская  премия по экономике за 1994 г.). 
 
 
 

2.2. О методологии моделирования 

Моделирование процессов управления предполагает последовательное осуществление трех этапов исследования. Первый - от исходной практической проблемы до теоретической чисто математической задачи. Второй – внутриматематическое изучение и решение этой задачи. Третий – переход от математических выводов обратно к практической проблеме. 

В области моделирования  процессов управления, как, впрочем, и в иных областях применения математики, целесообразно выделять четверки составляющих:

ЗАДАЧА –  МОДЕЛЬ - МЕТОД - УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ.

Обсудим каждую из только что выделенных составляющих.  

Задача, как правило, порождена потребностями той  или иной прикладной области. Вполне понятно, что при этом происходит одна из возможных математических формализаций реальной ситуации. Например, при изучении предпочтений потребителей у экономистов - маркетологов возникает вопрос: различаются ли мнения двух групп потребителей. При математической формализации мнения потребителей в каждой группе обычно моделируются как независимые случайные выборки, т.е. как совокупности независимых одинаково распределенных случайных величин, а вопрос маркетологов переформулируется в рамках этой модели как вопрос о проверке той или иной статистической гипотезы однородности. Речь может идти об однородности характеристик, например, о проверке равенства математических ожиданий, или о полной (абсолютной однородности), т.е. о совпадении функций распределения, соответствующих двух совокупностям .  

Задача может  быть порождена также обобщением потребностей ряда прикладных областей. Приведенный выше пример иллюстрирует эту ситуацию: к необходимости проверки гипотезы однородности приходят и медики при сравнении двух групп пациентов, и инженеры при сопоставлении результатов обработки деталей двумя способами, и т.д. Таким образом, одна и та же математическая модель может применяться для решения самых разных по своей прикладной сущности задач.  

Важно подчеркнуть, что выделение перечня задач  находится вне математики. Выражаясь  инженерным языком, этот перечень является сутью технического задания, которое  специалисты различных областей деятельности дают специалистам по математическому моделированию.