Топологические головоломки

Теперь зритель  ставит палец и держит его прижатым в любом месте узора. Вопрос состоит  в следующем: если убрать одну из газет  и потянуть наружу за какую-нибудь часть шнура, бывшую под газетой, будет при этом палец зрителя захвачен шнуром или же он останется свободным? Принимая во внимание сложность узора, а также то, что границы его скрыты под газетой, кажется совершенно невозможным угадать, какие места на ковре будут внутренними по отношению к замкнутой кривой, обозначенной шнуром, а какие внешними. Тем не менее всякий раз показывающий может безошибочно установить, будет палец захвачен шнуром или нет.

Для другого варианта этой головоломки нужна дюжина или более простых булавок. Показывающий быстро и, как кажется, совсем наугад располагает их в различных местах видимой части узора, пока ими не будет утыкан весь прямоугольник. Затем шнур стягивается с ковра и все булавки остаются свободными. Можно взять одну булавку, отличающуюся по своему цвету (или размеру) от остальных, и поместить ее на узоре так, что после стягивания шнура с ковра она останется единственной захваченной в петлю, в то время как все остальные будут свободны. Можно предложить еще один вариант, когда все булавки размещаются внутри замкнутой кривой. В этом случае стягиваемый шнур образует петлю, окружающую все булавки.

Все эти головоломки  основаны на нескольких простых правилах. Если какие-нибудь две точки лежат  внутри кривой, образуемой шнуром, то соединяющая их воображаемая линия пересекает эту кривую четное число раз. То же самое справедливо и в случае, когда обе точки лежат вне кривой. Но если одна точка лежит внутри, а другая вне кривой, то соединительная линия всегда дает нечетное число пересечений.

Перед тем как  будут положены газеты, выделите мысленно на узоре вблизи его середины какую-нибудь точку, внешнюю по отношению к  кривой. Это нетрудно сделать, проведя, например, воображаемую линию от какой-нибудь точки вне узора по направлению к середине. Вы можете, например, запомнить точку А на рис. 27. Теперь, даже при закрытых газетами границах узора, для вас не составит труда определить, будет интересующая вас точка внутренней или внешней. Для этого нужно лишь провести воображаемую линию (она не обязательно должна быть прямой, хотя, конечно, прямую линию представить легче всего) от требуемого места к точке, о которой вы знаете, что она внешняя, и заметить, будет число пересечений четным или нечетным.

Метод демонстрации всех вариантов, описанных выше, прост. Дюжину булавок можно быстро разместить вне замкнутой кривой следующим образом. Первую булавку воткните в заранее известное место, затем дважды пересеките кривую и воткните следующую, еще раз дважды пересеките кривую и воткните третью булавку и т.д. Если же вы захотите захватить какую-нибудь одну отмеченную булавку, то, прежде чем воткнуть ее в ковер, пересеките кривую один раз, отправляясь от любой уже воткнутой булавки. Конечно, вы можете с такой же быстротой воткнуть все булавки и внутри замкнутой кривой.

Аналогичный фокус  можно показать с карандашом и  бумагой. Попросите кого-нибудь начертить  на бумаге сколь угодно сложную замкнутую кривую (конечно, без самопересечений) и отогнуть назад все четыре стороны листа так, чтобы осталась видимой только внутренняя прямоугольная часть (рис. 28). Пусть зритель, далее, поставит на узоре несколько крестиков. Вы берете карандаш и, не задумываясь, обводите ряд крестиков, говоря, что все они лежат внутри кривой. После этого стороны листа отгибаются обратно и все могут проверить, что вы не ошиблись.

Другие  фокусы со шнуром

Существует еще  одна категория топологических головоломок  со шнурами: все они начинаются со связывания кистей рук одним куском шнура (рис. 29). Можно, например, проделать со шнуром такие манипуляции, что на нем появится узел; он может быть обыкновенным или типа восьмерки. Можно надеть на шнур резиновое кольцо, а затем снять его со шнура, не развязывая и не разрывая при этом шнура. Если два человека соединены зацепленными шнурами, как это показано на рис. 30, то можно манипулировать со шнурами так, чтобы освободить их от связки.

Решение всех перечисленных  головоломок основано на том, что  кольцо, образованное шнуром, руками и  корпусом зрителя, на самом деле не сплошное, а имеет на кистях разрывы. Чтобы завязать на шнуре узел, нужно проделать следующее: образовать на нем петлю, пропустить ее изнутри под кольцо, завязанное на кисти, перекрутить один раз (т.е. на 180°) и протащить над рукой обратно, пропустить снаружи под кольцо и протащить над рукой вперед.

При этом образуется обыкновенный узел. Узел в виде восьмерки  получится точно таким же путем, но петлю нужно перекрутить дважды (на 360°). Резиновое кольцо надевают на шнур следующим образом: его натягивают на запястье и сдвигают немного далее на кисть, пропуская под веревочным кольцом, а затем перетягивают через руку и опускают на шнур. Производя эти манипуляции в обратном порядке, можно, конечно, снять кольцо. Два зрителя, связанных друг с другом так, как это было описано выше, освобождаются так: середина шнура, которым связаны руки одного зрителя, пропускается изнутри под кольцо, образованное шнуром на запястье другого зрителя, перетягивается через руку, а затем пропускается обратно под кольцом.

Очень старый фокус  с тремя бусинами, нанизанными  на две сложенные вместе нитки, известен под названием «бабушкиного ожерелья». (Идея этого фокуса используется также  во многих других фокусах с лентами  и шнурами.) Фокус начинают с демонстрации бусин, нанизанных на две сложенные вместе нити. Затем, когда зритель потянет за концы, бусины падают с нитей в руки показывающему.

На рис. 31 показано в разрезе, как должны нанизываться бусины. Хотя и кажется, что обе нити продеты сквозь все три бусины, в действительности же каждая из нитей «возвращается обратно», складываясь сама с собой. Концы нитей скрещиваются, как показано на рис. 32. Если теперь потянуть за них, (рис. 33), бусины спадут с нитей.

С топологией связано  много методов разрезывания и  «склеивания» шнуров, а также ряд  остроумных способов завязывания и  развязывания узлов на шнурах, концы  которых во время демонстрации держат зажатыми.

Типичным узлом  среди многих любопытных ложных узлов  является следующий. Его начинают завязывать как обыкновенный двойной узел (рис. 34), а затем продевают один из концов шнура в нижнее, а затем в верхнее кольцо, как показано на рис. 35. Если теперь потянуть за концы, узел сразу развяжется.

ОДЕЖДА

Три занимательных  фокуса топологического характера  для небольшой аудитории можно  показать, пользуясь костюмными жилетами. С точки зрения топологии жилет можно рассматривать как двустороннюю поверхность с тремя не сцепленными краями, каждый из которых является обыкновенной замкнутой кривой. Застегнутый жилет является двусторонней поверхностью с четырьмя краями.

Загадочная петля

Зрителя, носящего жилет, просят снять пиджак. Ему надевают на руку петлю, а затем просят заложить большой палец в нижний карман жилета, как показано на рис. 36. Теперь можно предложить присутствующим снять петлю с руки, не трогая большого пальца зрителя с места. Разгадка такова: петлю нужно протащить в жилетное отверстие для рукава, перебросить через голову зрителя, вытащить через второе отверстие для рукава и перенести под вторую руку. В результате этих действий петля окажется под жилетом, окружая собой грудь. Опускайте ее, пока она не покажется из-под жилета, а затем дайте упасть на пол.

Вывертывание  жилета наизнанку

Зритель, носящий  жилет, снимает пиджак и, соединив пальцы, вытягивает руки вперед. Можно ли вывернуть жилет наизнанку, не разнимая зрителю пальцев? Оказывается, можно. Для этого нужно расстегнуть жилет, поднять его над головой так, чтобы он повис на руках, вывернуть там наизнанку, просовывая через одно из отверстий для рукавов, и, наконец, надеть снова. Поразительно, что то же самое можно проделать и не расстегивая жилета, причем единственное затруднение будет в том, что застегнутый жилет слишком узок, чтобы его можно было стащить через голову. Однако этот фокус легко демонстрировать, заменив жилет свитером. Манипуляции со свитером должны быть точно такими же, как и с жилетом. Нетрудно демонстрировать этот фокус и на самом себе, для чего нужно соединить шнуром кисти рук, оставляя между ними сантиметров 50, чтобы обеспечить свободу движений. Вы сами можете убедиться, что стянуть свитер через голову, вывернуть его наизнанку через один из рукавов и снова надеть на себя совсем нетрудно,

Можно вывернуть  жилет наизнанку со связанными руками, даже не снимая предварительно пиджака. Для этого нужно поднять пиджак кверху, пронести его над головой и оставить повисшим на руках. Затем поднять над головой жилет, через одно из его рукавных отверстий пропустить пиджак и вывернуть жилет наизнанку так, как это описывалось выше.

Снятие  жилета

Оказывается, что  жилет можно снять, не снимая пиджака. Проще всего это сделать так. Расстегнув сначала жилет, заложите левую полу пиджака зрителя на левое рукавное отверстие жилета с внешней стороны. Переведите затем это отверстие назад через левое плечо зрителя и далее вниз по его левой руке. Теперь отверстие охватывает пиджак за левым плечом. Продолжайте передвигать отверстие по пиджаку дальше вокруг корпуса, переведите его через правое плечо и руку и, наконец, пропустите сквозь него правую половину пиджака. Таким образом, рукавное отверстие совершило почти полный оборот вокруг, корпуса.

Жилет теперь висит  под пиджаком на правом плече. Спустите его наполовину вниз сквозь правый рукав пиджака. Подверните обшлаг, захватите из-под него жилет и вытяните сквозь рукав наружу.

РЕЗИНОВЫЕ КОЛЬЦА

Вот два фокуса топологического  характера с резиновыми кольцами.

Скачущее  кольцо

Повесьте резиновое  кольцо на свой указательный палец (рис. 37). Заведите вторую половину кольца за средний палец (рис. 38) и зацепите снова за указательный, как показано на рис. 39. Убедитесь в том, что кольцо охватывает пальцы точно так, как на рисунке.

Попросите кого-нибудь взяться за кончик указательного  пальца. Теперь согните средний палец, как на рис. 40. Если кольцо было надето правильно, то часть его соскользнет  с конца среднего пальца. Вследствие этого и все кольцо свободно соскочит с указательного пальца и повиснет на среднем, как это показано на рис. 40.

Перекрученное кольцо

Для показа другого  фокуса нужно широкое резиновое  кольцо, которое вначале держится, как показано на рис. 41. Затем оно  дважды перекручивается; делается это  при помощи большого и указательного пальцев, которые нужно двигать в направлениях, показанных на рис. 42 стрелками.

Попросите кого-нибудь снять с вашего пальца кольцо, захватив его точно таким же образом, как держали вы, т.е. так, чтобы правые большой и указательный пальцы удерживали кольцо за верхний конец, тогда как левые большой и указательный пальцы за нижний. Теперь предложите распрямить кольцо (т.е. избавиться от перекручиваний), меняя положение рук, но, конечно, не разжимая при этом пальцев. Сколько бы зритель ни двигал руками, в конце концов, он должен будет признать, что не может этого сделать. Тогда вы аккуратно снимаете кольцо с его рук, взяв его точно так же, как держали первоначально. Затем очень медленно опускаете правую руку и поднимаете левую, как это показано на рис. 43. Когда вы это делаете, перекручивания чудесным образом исчезают на глазах.

Секрет этого  фокуса можно объяснить топологически. Перекрученное кольцо вместе с вашими руками и телом образуют некоторую топологическую структуру. Когда кольцо берет зритель, получается «левый вариант» этой структуры, топологически существенно отличный от вашего. В этом случае от перекручивания избавиться невозможно.  

¹