Топологические головоломки

Глава 3.

Топологические  головоломки 
(Topological Tomfoolery) 

В предыдущих главах мы рассматривали только такие фокусы, метод показа которых носит математический характер. Мы не занимались фокусами, в  которых только конечный результат  может быть объяснен при помощи математики. Если, например, показывающий, играя в карты, набирает нужное число взяток, заранее расположив карты в колоде соответствующим образом, то этот эффект можно считать математическим в том смысле, что произвольное расположение карт в колоде каким-то непостижимым образом стало упорядоченным, но мы такой фокус все же не будем называть математическим, поскольку показ его основан не на математике, а просто на незаметной подмене одной колоды другой.

Подобный подход мы применим и к отбору фокусов для настоящей главы. Очень многие «таинственные» фокусы можно назвать в широком смысле топологическими, так как при их показе как будто нарушаются элементарные топологические законы. Один из самых старинных фокусов такого рода известен под названием «соединенных колец»: шесть или более больших железных колец таинственным образом сцепляются и расцепляются — явление, кажущееся совершенно невозможным в силу свойств обычных замкнутых кривых линий. Другие фокусы, в которых кольца снимаются или надеваются на веревку или палку, оба конца которой зажаты в руках зрителя, можно было бы объяснить таинственными соединениями или разрывами цепи, поскольку зритель, держащий веревку, представляет собой замкнутую линию, через которую как-то проходит наше кольцо. Однако большинство таких фокусов основано на механических методах, небольшой ловкости рук или других «таинственных» приемах, ничего общего не имеющих с топологией.

Более близок к тому, что может быть названо топологической головоломкой, фокус, который известен под названием «падающее кольцо». Это цепочка колец, связанных друг с другом довольно странным образом. При надлежащих действиях верхнее кольцо как будто падает по цепи, пока, наконец, не оказывается странным образом соединенным с самым нижним кольцом. Этот фокус получается сам собой, и при его показе не возникает никаких затруднений, если не считать того, что кольца должны быть соединены так, чтобы они образовали некоторую сложную и довольно любопытную топологическую структуру. «Падение» кольца в этом фокусе является лишь оптической иллюзией, объясняемой механически и не связанной с топологическими законами.

Весь материал этой главы будет включать в тебя только фокусы, которые по методам показа могут рассматриваться как топологические. Так как топология занимается такими свойствами тел (предметов), которые не изменяются при непрерывных преобразованиях (растяжениях и сжатиях), при показе топологических фокусов (как и естественно ожидать) придется ограничиться почти исключительно таким гибким материалом, как бумага, ткани, нитки, бечевки и резиновые ленты.

Бумажные  кольца

Хорошо всем известный  «лист Мёбиуса», названный по имени  Августа Фердинанда Мёбиуса, немецкого  астронома и пионера-тополога, впервые  описавшего эту поверхность, используется на протяжении последних 75 лет для многих фокусов. В одном из них показывающий вручает зрителю три больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов длинной бумажной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же образом второе кольцо, он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного. Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом.

Результат этого  фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое наше кольцо получилось путем  простого соединения концов ленты без  перекручивания. Второе кольцо (его  называют листом Мёбиуса) получается при соединении концов ленты, перекрученной один раз на 180°. Одним из наиболее любопытных свойств этой поверхности, имеющей только одну сторону и один край, является то, что, разрезая ее вдоль посередине, мы получаем одно большое кольцо, если же разрезать его не посередине, а на расстоянии в одну треть ширины от края, то получается два кольца: одно большое и сцепленное с ним маленькое. Третье кольцо получилось при разрезании ленты, концы которой перекручивались перед склейкой дважды, т.е. на 360°.

В другом варианте фокуса кольцо разрезается на два  отдельных кольца, одно из которых  при разрезании посередине превращается тоже в два отдельных кольца, а  другое — в одно большое. Оригинальный метод приготовления кольца для  такого фокуса показан на рис. 4, а его улучшение — на рис. 5. Для склеивания концов употребляется какой-нибудь быстросохнущий клей.

Способ приготовления  бумажной ленты, при котором после  двух разрезов получается цепочка из трех сцепленных колец, изображен на рис. 6.

Если изготовить кольцо так, как показано на рис. 7, то после первого разрывания (разрезания) получится большое кольцо, размер которого вдвое больше первоначального, а второе разрывание даст кольцо вчетверо длиннее исходного. Другой вариант изображен на рис. 8, первое разрывание дает одно большое кольцо, а второе — два сцепленных.

Можно придумать  и другие комбинации. Например, после  разрывания кольца, изображенного на рис. 9, получаются два отдельных кольца. Разрывание одного из них дает цепочку из трех колец, разрывание другого — одно большое кольцо. Это последнее кольцо можно разрывать еще раз, причем получится еще большее кольцо.

Если трижды перекрученную  ленту продеть сквозь перстень, склеить концы, а затем разрезать или разорвать вдоль посередине, то получится одно большое кольцо с узлом, завязанным вокруг перстня.

ФОКУСЫ  С НОСОВЫМ ПЛАТКОМ

Фокус с перерезыванием пальца

Можно отыскать свыше  десятка современных фокусов  топологического характера с носовыми платками. Вот вариант одного из наиболее старых таких фокусов.

Показывающий берет  носовой платок за противоположные  углы и вращает его как детскую  скакалку, пока он как следует не перекрутится. Скрученный платок вешается на вытянутый указательный палец правой руки зрителя, как это показано на рис. 10. Обернув платок вокруг пальца, показывающий просит зрителя положить левый указательный палец на правый, после чего платок плотно обтягивается вокруг обоих пальцев (см. далее рис. 11—16). Затем показывающий, удерживая указательный палецправой руки зрителя за кончик (рис. 17), просит его вытянуть из платка другой (верхний) указательный палец. После этого показывающий тянет концы платка вверх и платок свободно стягивается с оставшегося в нем пальца, как бы перерезая его.

Объяснение. Хотя в этом фокусе и кажется, что платок надежно стягивает оба пальца, в действительности же при таком способе обвязывания правый указательный палец остается вне петли, образуемой платком. Делается это так.

1. Скрестите концы  платка под пальцем (рис. 11). Заметьте, что конец, помеченный буквой  А, расположен (в точке скрещивания)  ближе к вам, чем конец B. Так должно быть и при всех дальнейших операциях, иначе фокус не получится.

2. Переведите концы  платка вверх (рис. 12) и скрестите  их там. 

3. Попросите зрителя  положить указательный палец  левой руки на пересечение  (рис. 13).

4. Скрестите сверху  концы платка, следя за тем,  чтобы конец А был ближе  к вам (рис. 14).

5. Переведите концы  вниз и скрестите их там  (рис. 15).

6. Переведите снова  концы вверх и возьмите их в левую руку (рис. 16). Теперь будет казаться, что пальцы надежно стянуты.

7. Зажмите конец  нижнего указательного пальца. Попросите  зрителя вытянуть другой указательный  палец. Потяните платок вверх,  и он свободно сойдет с оставшегося в нем пальца (рис. 17).

Фокус со сцепленными платками

Два платка, желательно контрастных цветов, крепко скручивают и берут в левую руку так, как  изображено на рис. 18.

Правая рука подводится под темный платок, зажимает конец  А светлого платка и обертывает его  один раз вокруг темного платка (рис. 19).

Конец В темного  платка проносится за светлый платок, а затем выносится вперед, как  это показано на рис. 20.

Концы В и С  соединяются друг с другом внизу  и берутся в правую руку. Концы  А и В соединяются наверху  и берутся в левую руку (рис. 21).

Зрителям будет  казаться, что платки надежно связаны, но стоит только потянуть за концы, как они легко разъединяются. Большие шелковые платки можно дважды обертывать друг около друга и затем все же легко разъединять.

Оба эти фокуса основаны на следующем принципе: одна серия  «завертываний» как бы уничтожается другой серией «развертываний». Этот же принцип встречается в ряде фокусов со шнурками, которые можно обкрутить вокруг ноги, стержня или палки, а затем свободно снять, как бы разрезая эти предметы.

Проблема  завязывания узлов

Вот еще одна довольно известная головоломка топологического  характера: как завязать на платке узел, не выпуская из рук его концов. Это  можно сделать так. Скрутите платок жгутом и положите его на стол. Скрестите  руки на груди. Продолжая держать их в этом положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу платка каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине платка сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и носовой платок образуют замкнутую кривую в виде «трехлистного» узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок.

Занимательный вариант  этой головоломки можно демонстрировать  с помощью шнура, шарфа или  галстука. Уложите, например, галстук на столе так, как это изображено на рис. 22. Возьмите конец В правой рукой и попросите зрителя внимательно следить за тем, как вы завязываете узел. Пропустите теперь левую руку под конец В ладонью вниз (рис.23), а затем выверните ее назад, как это показано на рис. 24, и подберите конец А. После того как вы разведете руки, на галстуке получится узел. Как ни странно, но такие движения довольно трудно воспроизвести. Вы можете снова и снова показывать фокус присутствующим, но когда они попытаются проделать его сами, узлы завязываться не будут.

ШНУРЫ И БЕЧЕВКИ

Фокусы  со шнуром или бечевкой

Показывающий раскладывает на столе шнур замысловатым образом, а зритель пытается поставить  внутрь одной из образовавшихся петель свой палец так, чтобы он оказался захваченным, когда фокусник начнет стягивать шнур со стола. Существует много остроумных способов укладки шнура, позволяющих фокуснику быть хозяином в этой игре, т.е. либо захватывать палец зрителя, либо оставлять его свободным, независимо от того, куда зритель поставит его. На рис. 25 дан простейший вариант с двумя петлями. Независимо оттого, какую из них, А или В, изберет зритель, показывающий может дать ему выиграть или проиграть, собирая тем или иным способом концы шнура. На рис. 25 эти два способа указаны соответственно стрелками С и D. Этот фокус удобно показывать также при помощи пояса, который сначала складывается вдвое, а затем скручивается в спираль вокруг большого и указательного пальцев (один из которых предварительно вставляется в петлю). Зритель обыкновенно старается уследить за петлей, в которую вначале был поставлен палец показывающего. Однако в какое бы место зритель ни поставил затем свой палец, считая, что он ставит его в петлю, показывающий может стянуть пояс беспрепятственно. Здесь, как и в случае со шнуром, показывающий по желанию может либо свободно стянуть пояс с пальца, либо оставить палец захваченным.

Для показа другого  занимательного фокуса нужен шнур и  бечевка длиной не менее 6 м. Концы этого шнура связывают узлом, чтобы получилась замкнутая кривая, и кого-нибудь из присутствующих просят уложить шнур на ковре так, чтобы образовался сколь угодно сложный узор (рис. 26), но с условием, чтобы в нем не было самопересечений. Затем по краям узора укладывают газеты, так что видимой остается лишь его внутренняя прямоугольная часть (рис. 27).