Расчет тарифных ставок в рисковых видах страхования

     Так применяя  различные виды аннуитетов, можно  построить различные варианты пенсионных схем. Здесь, как и везде выше, все равенства строятся по принципу финансовой эквивалентности обязательств страхователя и страховщика. Исходя из составленных равенств, можно определить помимо ежегодных взносов, размер ежегодной пенсии и наоборот.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Расчет тарифных ставок в рисковых видах страхования.

     В каждой  страховой компании со временем  накапливается опыт вместе с  которым формируется тарификационная система. Другими словами, каждый страховщик составляет схемы рисков, наподобие таблиц смертности, откуда можно определить вероятность наступления страхового случая, по тем видам страхования, которыми занимается страховая компания.

     Тарификационная  система представляет собой некую  взаимосвязь данных по рисковым  видам страхования. Она выглядит  следующим образом. Все страхуемые  объекты делятся на несколько  крупных категорий, для каждой  из которых рассчитывается базовая тарифная ставка. Кроме того, страховщик описывает факторы риска, которые он учитывает при составлении договора страхования. Каждый фактор риска входит в расчет тарифной ставки в виде поправочного коэффициента.

     При заключении  договора страхования, прежде всего, определяется принадлежность страхуемого объекта к тарификационной группе, на основании чего определяется базовая тарифная ставка. Потом анализируются факторы риска, присущие данному договору страхования, и определяются поправочные коэффициенты.

     Создание тарифных ставок по каждой категории страхуемых объектов, т.е. процесс тарификации, обеспечивает создание страхового фонда, необходимого для выполнения обязательств страховщика, с минимальной долей отклонения от требуемого размера фонда. Например, если использовать одну среднюю тарифную ставку, для формирования страхового фонда, то его размер может сильно отличаться от истинных значений величин ущербов.

     Пусть страховые  события первой группы наступают  с вероятностью q1, страховые события второй группы – с вероятностью q2, а страховые события группы N – с вероятностью qn. Тогда средняя вероятность по данному виду страхования , где ki – число застрахованных по каждой группе. Чем неоднороднее страховые события в группах, чем больше число групп страховых событий, тем сильнее qср отличается от qi.

     Пусть страховой  фонд B1, созданный на основании нетто-премий, которые, в свою очередь, рассчитываются с применением qср, а B2 – с применением qi. Тогда В1 будет тем сильнее отличаться от истинного В2, чем больше разница между qср и qi. Хорошо если после применения нетто-ставок В1>B2, тогда страховщик сможет ответить по обязательствам страхователей, а, если наоборот, то страховая компания понесет убытки.

     Если рассматривать  тарификационную систему с коммерческой точки зрения, то необходимо проанализировать поведение страхователя при выборе страховой услуги, предлагаемой определенным количеством компаний. Пусть эти компании разработали одинаковые страховые продукты. При этом первая половина компаний использует тарифы рассчитанные на основе qi, другая – на основе qср. Существует N групп страховых событий, страхование каждого из них пользуется определенным спросом, который зависит от цен на данный вид страхования (от нетто-премии). Чем больше цена, тем ниже спрос, и наоборот. Если нетто-премия первой группы страховщиков больше чем у второй группы по i-тому виду страхования, то в конкурентной борьбе выигрывает компания, со страховыми тарифами рассчитанными на основании qср, и наоборот.  Все равно, лучше индивидуально рассматривать каждое страховое событие и применять вероятности qi – отдельные для каждого события. Это хотя и затрудняет расчеты, однако позволяет быть уверенным страховщику в своей платежеспособности.

     Факторы  риска – это различные составляющие, влияющие на наступление страхового события. Например, если страховой случай – авария, то факторы риска – водительский стаж, стоимость автомобиля, физическое состояние водителя, время года и т.д.

3.1 Теоретические основы расчета тарифных ставок.

     Расчет  тарифных ставок необходим для  расчета страхового фонда, такого, чтобы ответить по всем договорам страхования, то есть выплатить все причитающиеся страховые суммы. Размер страхового фонда определяется размером страхового тарифа, который нужно определить.

     Для нахождения  нетто-премии необходимо сначала  определить размер страхового фонда. Основное и очевидное условие платежеспособности страховщика - размер фонда должен превышать размер страховых выплат. Зная это, страховая компания заранее задает для себя вероятность того, что величина страхового фонда (В) превысит размер страховых выплат(S), то есть: P(S<B)>=y. Где y – заданная гарантия безопасности. Если число договоров N, а Vi – выплата по каждому договору страхования, то - сумма убытков страховщика.

     Страховой  компании заранее неизвестно  наступит ли событие Vi, так же ему не известен размер наступившего ущерба Vi, который может колебаться в интервале от Vmin до Vmax. Отсюда следует, что Vi – величина случайная, определяемая двумя вероятностями. Как известно из теории вероятностей, сумма случайных величин есть величина случайная. Поэтому S – случайная величина, которая может быть задана законом распределения с помощью функции распределения F(x).

     Если x – действительное число, Х – случайная величина, а F(x) – вероятность того, что X<x, тогда F(x)=P(X<x). Пусть S=x, а В – страховой фонд (сумма нетто премий), тогда F(B)=P(S<B)>=y, или F(B)>=y. То есть, функция распределения случайной величины должна принимать значения большие или равные y. В свою очередь плотность распределения определяется следующим образом: f(x)=F’(x) => f(B)=F’(B).

     Для того, чтобы определить размер фонда,  который бы с вероятностью y обеспечивал финансовую устойчивость страховщика, необходимо найти такую величину В, при которой функция распределения F(B) случайной величины S будет больше или равна y. Для этого необходимо:

1. Найти закон распределения случайной величины S.
2. Решить приведенное выше неравенство, относительно В.
3. Вычислить отдельную нетто-премию (страховой тариф.

Допустим:

1. Что наступление одного события не зависит от наступления другого, тогда все события ведущие к страховым выплатам (убыткам) – события независимые.
2. Что в массовых рисковых видах страхования ущербы по рискам не сильно отличаются друг от друга, поэтому можно предположить, что рассеяние выплат по ущербам не будет велико, а, следовательно, наиболее вероятные размеры выплат не будут сильно отличаться друг от друга. Тогда, числовые характеристики ущербов (Vi) будут одинаковы:

• Математическое ожидание выплат: mv = mv1=mv2=…=mvN.

• Среднее квадратическое отклонение выплат:

     Случайная  величина S представляет собой сумму очень большого числа других случайных величин (Vi), влияние каждой из которой не оказывает сильного влияния на S. Тогда согласно центральной предельной теореме (Ляпунова) величина S распределена по нормальному закону:

1. Математическое ожидание случайной величины S:
2. Cреднее квадратическое отклонение случайной величины S:
3. По определению, нормальное распределение описывается плотностью:
4. Так как дифференцирование – действие обратное интегрированию, то функция распределения задается формулой:
5. Для того, чтобы можно было решить приведенное выше неравенство, необходимо привести функцию распределения S к другому виду, что позволит пользоваться табличными значениями. Для этого введем новую переменную z.
7. Тогда,
8. Табличная функция Лапласа:
9. В итоге получим:
10. Можно предположить, что
11. По определению функция распределения является неубывающей, поэтому: , значение g определяется из таблицы значений Ф(g). Однако, предварительно необходимо найти Ф(-M/s), задать y,  и определить M b s.
12. Убыток страховщика по i-тому договору представляет собой случайную величину Vi, которая распределена следующим образом:

• Если страховой случай не наступил (вероятность такого события равна 1-q), тогда выплата по договору i  равна 0.

• Если страховой случай наступил (вероятность такого события равна q), то выплата по данному договору может принять любое значение из интервала (0,Vi), в зависимости от тяжести ущерба.  Для массовых рисковых видов страхования наступление мелких ущербов чаще, чем наступление крупных, то есть величина ущерба Vi описывается плотностью вероятности f(Vi)=k*e^-kVi (показательное распределение), где k- постоянная положительная величина, задающая определенный уровень ущербов. Если величина ущербов распределена по данному закону, математические характеристики ущербов определяются так:
• - математическое ожидание величины ущерба.
• - дисперсия и среднее квдратическое отклонение, соответственно.

13. Ущерб Vi характеризуется двумя вероятностями, следовательно, он задается двумя законами распределения. Каждая величина ущерба имеет свое математическое ожидание (наиболее вероятное значение) и среднее квадратическое отклонение, которые у всех ущербов одинаковые, так как застрахованные объекты достаточно однородны. Кроме этого наступление страхового случая – величина также случайная. Поэтому математическое ожидание того, что случай ущерба Vi не наступит определяется так: mv=q*hi, где hi-математическое ожидание величины ущерба Vi. А среднее квадратическое отклонение:

14. Для общей суммы ущерба математические характеристики вычисляются по формулам:

• .

15. Размер страхового фонда определяется неравенством - . Подставим сюда известные значения:

16. Зная минимальный размер страхового фонда можно определить минимальную нетто-премию или страховой тариф. Логика данного заявления следующая;

• Страховой фонд состоит из страховых премий по всем N договорам =>

• Страховая премия определяется как произведение страхового тарифа на страховую сумму по данному договору:
• Страховой тариф одинаков по всем договорам, поэтому:
• Вместо отдельных страховых сумм по каждому договору удобнее использовать среднее ее значение, что позволяет однородность рисковых событий, тогда:
• Откуда: , где , а
• Условно можно предположить, что U1 –основная часть нетто-ставки, а U2 – рисковая надбавка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы.

 

1. Четыркин Е.М. «Финансовая математика».

2. Т.А. Федорова «Основы страховой деятельности».

3. В.В. Ковалев «Курс финансовых вычислений»

4. В.Г. Гмурман «Теория вероятностей и математическая статистика»