Расчет тарифных ставок в рисковых видах страхования

1. npx=lx+n/lx – вероятность прожить n лет лицо, дожившим до возраста х лет.

2. px=1-qx=1-dx/lx=lx+1/lx – вероятность человеком, дожившим до х лет, прожить еще 1год.

3. nqx=1-npx=(lx-lx+n)/lx – вероятность умереть в интервале возрастов от x лет до n лет.

4. mqx=mpx*qx+m=(lx+m/lx)*(dx+m/lx+m)=dx+m/lx  - вероятность дожить до возраста х лет и умереть в возрасте x+m лет в течении 1 года.

5. m/nqx=mpx*nqx+m=(lx+m/lx)*(lx+m-lx+m+n)/lx+m=(lx+m-lx+m+n)/ lx – вероятность дожить до x+m лет и умереть в возрасте от x+m лет до x+m+n лет.

     Для упрощения  расчетов и сокращения записи  формул в таблицах смертности используются коммутационные функции. Их смысл сложно интерпретировать, поэтому они должны восприниматься как чисто технические вспомогательные средства. Их можно разделить на две группы. В основу первых положены числа доживающих до определенного возраста, вторых – числа умерших.

1. Dx=lx*vx

2.  , где w-предельный возраст, учитываемый в таблице смертности.

- Nx=Nx+1+Dx; Nw=Dw

-  (Nx+1-Nx+2)+(Nx+2-Nx+3)+…+Nx+k-Nx+k+1=Nx+1-Nx+k+1

3. Cx=dx*vx+1; Cx=dx*vx+1=(lx-lx+1)*vx+1=lx*vx*v-lx+1*vx+1=Dx*v-Dx+1

4.  ;

 

 

 

 

2.1 Страхование на дожитие.

 

     Страхователь  и страховщик договариваются  между собой о том, что второй  выплатит первому страховую сумму S, если он доживет до возраста n. В обмен на данные условия страхователь предлагает заплатить страховщику нетто-премию, которая равна произведению страхового тарифа  и размера выплаты (nEx*S). Нетто-премия может уплачиваться единовременно, а может в рассрочку, что ведет к различной методике расчета:

1. Нетто-премия уплачивается единовременно. В этом случае страхователь обязательно ее заплатит, иначе договор не будет заключен. Страховая выплата зависит от того, доживет ли страхуемый до n лет или нет. Поэтому, при ее расчете применяется математическое ожидание от суммы выплаты (S*npx). Страховая выплата произойдет только через n лет после заключения договора, поэтому ее необходимо привести к моменту уплаты нетто-премии (S*npx*vn). Используя принцип финансовой эквивалентности (обязательства должны быть равны), получается:

- nEx*S = S*npx*vn

- nEx= npx*vn= (lx+n/lx)* vn

- nEx= (lx+n*vx+n/lx*vx+n)* vn=Dx+n/Dx

2. Нетто-премия уплачивается в рассрочку. Здесь нетто-премия представляет собой поток платежей от страхователя страховщику, при этом все платежи составляющие нетто-премию в данном виде страхования – суммы фактические, а не вероятные, так как если человек умрет раньше времени, то он не получит страховую сумму, а у страховщика останется часть нетто-премий, которые он никому не должен. Пусть, страховые премии уплачиваются в течении t лет, в начале каждого года. Тогда P1*S – премия уплаченная в первом году, Р2*S – премия уплаченная во втором году и т.д.

- (P1+P2*v+…+Pt*vt-1)*S = S*npx*vn

- Если платежи одинаковы, то P(1+v+v2+…+vt-1)=npx*vn или 

2.2 Страхование жизни.

     Этот  вид страхования называют также  страхованием на случай смерти. Страховая сумма, равная S, выплачивается в случае смерти застрахованного. Страховой договор заключается страхователем в x лет на срок n лет. Здесь также следует рассмотреть два случая:

1. Нетто-премия уплачивается единовременно. Тогда обязательства страхователя равны произведению страхового тарифа и страховой суммы (S*nAx). Нетто-премия – основное условие заключение договора, поэтому ее величина для страховщика реальная, а не вероятная. Если выплаты страховых сумм происходят в конце года, и страхователь умрет в 1-ый год, то страховая сумма будет равна S*qx*v (qx – вероятность умереть в возрасте х лет); если во второй год, то страховщик должен будет заплатить S*2qx*v2=S*v2*dx+1/lx;

- если умрет в третий год – страховая выплата = S*v3*dx+2/lx и так далее.

- В силу финансовой эквивалентности:

S*nAx=S*dx/lx*v+ S*dx+1/lx*v2+S*dx+2/lx*v3+…+S*dx+n-1/lx*vn

- Умножим и разделим данное выражение на vx, тогда: 

nAx=(dx/Dx)*vx+1+(dx+1/Dx)*vx+2+(dx+2/Dx)*vx+3+…+(dx+n-1/Dx)*vx+n=1/Dx *(Cx+Cx+1+…+Cx+n-1)

Mx=Cx+Cx+1+…+Cx+n-1+Cx+n+Cx+n+1+…+Cw

Mx+n= Cx+n+Cx+n+1+…+Cw

Mx-Mx+n= Cx+Cx+1+…+Cx+n-1

nAx= 1/Dx *(Mx-Mx+n)

- Если страхование пожизненное, то nAx= Mx/Dx

2. Нетто-премия вносится в рассрочку. Пусть рассрочка осуществляется посредством равных платежей (P) пренумерандо (в начале года) в течении t лет. В данном случае нетто-премия представляет собой поток платежей, ограниченный периодом t. При этом каждый член этого потока, является случайной величиной, так как при наступлении страхового случая платежи прекратятся, а страховщик должен будет уплатить всю страховую сумму страхователю. Наступление каждого последующего платежа не определено, так как неизвестно наступит ли страховой случай. Страховщик должен учитывать, что если он произойдет, то он потеряет не только страховую сумму, но и премии.

- Исходя из принципа финансовой эквивалентности можно записать следующие выражение:

S*(P+P*px*v+P*2px*v2+P*3px*v3+…+P*t-1pxvt-1) = S*dx/lx*v+ S*dx+1/lx*v2+S*dx+2/lx*v3+…+S*dx+n-1/lx*vn

P*(1+lx+1/lx*v+lx+2/lx*v2+lx+3/lx*v3+…+lx+t-1/lx*vt-1)= (Mx-Mx+n)/Dx

P*( 1+lx+1/lx*v+lx+2/lx*v2+lx+3/lx*v3+…+lx+t-1/lx*vt-1)* (vx/vx)= (Mx-Mx+n)/Dx

 

     Страховые выплаты, а иногда и страховые премии представляют собой поток платежей, что в финансовой математике называется аннуитетом (страховой рентой). Стоимость страхового аннуитета, по сути, является отправным моментом в актуарной математике. Как известно, платежи могут вносится в начале года – пренумерандо,  и в конце года - постнумерандо. В зависимости от этого различаются и виды аннуитетов. Кроме этого в страховании ренты делятся в зависимости от интервала времени, в котором производятся платежи. Аннуитет уже применялся в приведенных выше расчетах. Далее он будет рассмотрен более подробно, так как широко используется в пенсионном и других видах страхования, о которых речь пойдет ниже.

2.3 Виды страховых аннуитетов.

Пояснение						Формула
Постнумерандо.
Аннуитет пожизненный, немедленный – лицу, начиная с возраста х лет пожизненно в конце года выплачивается по 1 рублю.
Аннуитет отложенный на n лет, пожизненный – уплачивается пожизненно лицу в возрасте x+n лет по одному рублю в конце каждого года.
Аннуитет немедленный, ограниченный – выплачивается лицу в возрасте x лет в течение t лет, по 1 рублю, в конце каждого года.
Аннуитет отложенный на n лет, ограниченный – лицу, в конце каждого года выплачивается по 1 рублю, начиная с возраста n лет, до возраста t лет.
Пренумерандо.
Аннуитет пожизненный, немедленный		Выплаты производятся  в начале года.
Аннуитет отложенный на n лет, пожизненный
Аннуитет немедленный, ограниченный
Аннуитет отложенный на n лет, ограниченный
Соотношения
Рента уплачиваемая  k раз в год.
Для ограниченной ренты
Для пожизненной ренты.

 

 

2.4 Пенсионное страхование.

 

     С экономической  точки зрения обеспечение пенсиями  по старости на базе негосударственных пенсионных фондов – это долгосрочный инвестиционный процесс, на первом этапе которого осуществляются вложения (пенсионные взносы) и последовательное наращение вложенных сумм за счет инвестиций свободных денежных средств, на втором – получение отдачи от накоплений в виде периодических пенсий.

     Пенсионное  страхование делится на два  вида:

1. Нефондируемые – выплата пенсий осуществляется из текущих поступлений. В этом случае страховые тарифы не рассчитываются.
2. Накопительные – для выплаты пенсий создаются специализированные фонды. Они в свою очередь делятся также на три вида схем страховых выплат:

• Сберегательные – данная схема не учитывает вероятность дожития каждого участника фонда, предусматривается наследование накоплений, отсутствует солидарность участников в обеспечении выплат (при смерти одного из участников его вклад не идет на выплату пенсий), оговаривается конкретный срок выплат.

• Страховые – участники солидарны между собой, учитывается вероятность дожития застрахованных, нет наследования накоплений.
• Смешанные сберегательно-страховые – здесь предусматривается последовательное использование описанных выше схем, то есть, например, в период накопления применяется сберегательная схема, а в период выплат – страховая.

     Расчет  тарифных ставок в пенсионном страховании основывается на принципе финансовой эквивалентности (равенстве обязательств). С практической точки зрения основа всех расчетов –  страховые аннуитеты. При применении любой из пенсионных схем с использованием специализированного фонда необходимо решить две задачи:

1. Определение размера пенсии по величине установленных взносов ( расчет величины взносов по заданным размерам пенсии)
2. Расчет страховых резервов.

Условные  обозначения, используемые в расчетах.

Переменная	Описание.
-R-	Годовая сумма пенсии
-E-	Размер единовременного  взноса
-A-	Сумма, накопленная на индивидуальном счете, на начало выплат пенсий.
-x-	Возраст застрахованного  в момент заключения договора.
-L-	Возраст выхода на пенсию.
-w-	Возраст в момент окончания  действия контракта.
-n-	Срок накопления, n=L-x
-t-	Срок выплат пенсий, t=w-L

Сберегательные  схемы.

     В данном  случае пенсия представляет собой  финансовый аннуитет, в котором  не учитываются вероятности дожития  до определенного возраста, то  есть,  что человек вкладывает, то он и получает, с учетом доходности на вложенные средства. Рассчитывать пенсии можно двумя методами:

1. Взносы уплачиваются единовременно. Данная схема отображена на графике. Видно, что после уплаты в фонд первоначальной суммы, она накапливается с годами (срок n лет), пропорционально норме доходности до момента начала выплат пенсий. После чего накопленные в фонде средства постепенно расходуются, до тех пор, пока не кончатся совсем (срок t лет). В силу финансовой эквивалентности,   некоторые из приведенных на графике обозначений можно объединить следующи выражением:  

 

2. Премия уплачивается в рассрочку. Здесь схема похожа на предыдущую, это подтверждает график, нарисованный справа. Разделенные на равные части премии представляют собой поток платежей, поэтому накопление происходит медленнее, чем в первом случае, при прочих равных условиях. Период выплат такой же, как и в первом случае. Математически данную схему можно отобразить следующим выражением:

    Преобразовывая приведенные выше равенства, не составит труда определить как размер требуемой пенсии, та к и размер необходимой величины премии, которую нужно внести в пенсионный фонд для обеспечения себя нужной пенсией. Кроме этого, можно определить срок , в который необходимо внести платеж, для обеспечения заданной величины пенсии, или срок в течении которого будет уплачиваться накопленная в фонде пенсия.

Страховые схемы.

     По сути  дела пенсионное страхование  является одним из видов страхования  на дожитие. Если бы пенсия выплачивалась разовой выплатой, то эти два вида страхования были бы полностью одинаковыми. Существенным отличием здесь является то, что пенсия представляет собой страховой аннуитет. То есть каждая последующая выплата зависит от вероятности дожития лица до следующей выплаты. Кроме этого, все платежи приводятся здесь к начальному моменту времени (момент вклада первого взноса).

     Нетто-премия  в данном виде страхования  может быть определена при  двух условиях, когда она вносится  единовременно и когда платежи вносятся в рассрочку. Система определения нетто-тарифов основывается на принципе финансовой эквивалентности обязательств страховщика и страхователя, поэтому, приведенные ниже тождества отличаются от предыдущих лишь некоторыми нюансами.

1. Нетто-премия вносится единовременно. Здесь нетто тариф равен стоимости аннуитета , соответствующего условиям выплат пенсии, а нетто-премия – произведению нетто-тарифа на размер пенсии. Условия выплат, в данном случае, влияют на применяемый в расчетах вид аннуитета. Рассмотрим некоторые из них:

• Пенсия буде выплачиваться с возраста x лет пожизненно, в начале года:  

• Пенсия будет выплачиваться с возраста x+n лет пожизненно, в начале года:

Зная формулы для  определения аннуитетов, можно определить размер пенсии и размер нетто-премий для любого варианта пенсионного обеспечения.

2. Нетто-премия вносится в рассрочку. Для обеспечения себя достаточной пенсией нужно вносить в пенсионный фонд большую сумму средств, которой мы не всегда располагаем, или достаточно большим интервалом времени до момента выплат пенсий, что чревато риском развала страховой компании и прочими рисками, связанными с нестабильностью политических  и экономических систем. Удобным вариантом вложения средств является данная схема, которая позволяет не в ущерб себе и близким вносить часть доходов в пенсионный фонд, обеспечив себя в будущем должной пенсией. Платежи можно вносить как ежемесячно, так и раз в год. Здесь буде рассмотрен 2-ой вариант. В данном случае, как размер пенсии, так и вкладываемые средства зависят от вероятности дожития, поэтому, в приведенных ниже уравнениях финансовой эквивалентности, как слева, так и справа используются страховые аннуитеты. Например, взносы делаются раз в год начиная с возраста x лет до возраста  x+t лет, а пенсия выплачивается с возраста x+n лет, пожизненно. Как взносы, так и пенсии уплачиваются в конце каждого года: . Если взносы производятся в начале года, то в данном случае применяется аннуитет пренумерандо: .