Решение функциональных и вычислительных задач средствами программы MathCAD

Присвоим вектору Х  функцию submatrix (в скобках указывается через запятую: имя матрицы, номер начальной строки, номер конечной строки, номер начального столбца, номер конечного столбца), которая из матрицы Ar вырезает матрицу, состоящую из заданных строк и столбцов. Наш вектор равен последнему столбцу, с нулевой строки по вторую, только третий столбец (нумерация строк и столбцов начинается с нуля).

 

 

 

 

 

6. Полученные разными методами значения совпадают, значит решение верно.

 

4.Интерполирование. Аппроксимация.

 

1.

Функция linterp (x,y,xd) – значение в точке xd, вычисленное при линейной интерполяции данных с точками, координаты которых хранятся в векторах х и у.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Сплайн – гибкий металлический стержень, концы которого закреплены на концах наблюдаемого интервала.

В программе Mathcad возможны виды сплайновой интерполяции: линейная, параболическая, кубическая.

Для интерполяции необходимо вычислить вектор коэффициентов  сплайна для интервалов:

                                             кубический сплайн: kсs:=cspline (x,y).

 

 

 

 

 

 

 

3.

Для m=1 аппроксимирующий полином имеет вид: . В программе Mathcad для вычисления коэффициентов полинома имеется набор встроенных функций.

Intercept (x, y) – функция возвращает значение  свободного члена линейной функции.

Slope (x, y) – угловой коэффициент линейной функции.

Исходные табличные данные запишем в виде векторов столбцов, при этом ORIGIN=0 (переменная, которая хранит начальный номер элементов в матрице),  n – количество узловых точек.

 

 

Определим коэффициенты сглаживающего полинома:

 

 

Сглаживающая формула:

 

Среднее квадратическое отклонение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Для m=2 полином имеет вид:

Для нахождения коэффициентов  необходимо задать и решить СЛАУ:

 

 

 

 

 

 

 

Решим СЛАУ методом обратной матрицы

 

 

 

 

Задаем  полином 2-го порядка:

 

 

Затем находим  среднее квадратическое отклонение и строим график.

 

 

 

 

 

 

 

 

При m 2 матрица коэффициентов становится громоздкой. В этом случае, для примера 1 векторы можно сформировать по формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Полиномиальная регрессия означает приближение данных (x_i,y_i) полиномом k-й степени A(x)=a+bx+cx²+dx³+.. .+hx^k. При k=i полином является прямой линией, при k=2 – параболой, при k=3 – кубической параболой и т. д. Как правило, на практике применяются k<5.

В Mathcad полиномиальная регрессия осуществляется комбинацией встроенной функции regress и полиномиальной интерполяции:

• regress (х, у, k) – вектор коэффициентов для построения полиномиальной регрессии данных;
• interp(s, x, y, t) – результат полиномиальной регрессии:

x – вектор действительных данных аргумента, элементы которого расположены в порядке возрастания;

у – вектор действительных данных значений того же размера;

k – степень полинома регрессии (целое положительное число);

t – значение аргумента полинома регрессии;

s – вектор коэффициентов для построения полиномиальной регрессии.

 

 

 

 

 

 

 

 

Length(z) – длина вектора z, kf – коэффициенты полинома.

 

Для построения графика полиномиальной регрессии  используем  функцию interp:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.мы познакомились с различными методами аппроксимации и интерполирования.

7.

5.Решение дифференциальных уравнений

Рассмотрим  решение дифференциальных уравнений  с помощью функций rkfixed и odesolve.

Rkfixed(y, x1, x2, n, F) – возвращает матрицу решений дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта с начальными условиями в векторе у, правые части которых записаны в символьном векторе F на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов n. 

Odesolve(х, b, n) – возвращает решение дифференциальных уравнений , описанных в блоке Given, при заданных начальных условиях и конце интервала интегрирования b. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 способ…

Задаем начальные условия.

 

 

 

 

 

Затем в блоке Given производной присваиваем функцию f(x,y(x)) c помощью булево равно и для начального значения х₀ присваиваем значение у₀. Затем используем функцию odesolve для нахождения решения дифференциального уравнения

 

 

 

 

 

 

 

Находим решение исходного  дифференциального уравнения в  нескольких точках указанного интервала.

 

 

 

 

 

Построим график решения  заданного дифференциального уравнения

 

 

6.Математическое моделирование установившихся процессов в электрических цепях.

Чтобы выполнить моделирование  установившихся процессов в электрических  цепях, необходимо составить СЛАУ для  электрической цепи, руководствуясь законами Кирхгофа.

I закон Кирхгофа:

Для любого узла электрической  цепи сумма входящих токов в него равна сумме выходящих токов  из него.

II Закон Кирхгофа:

Сумма падений напряжений любого контура равна сумме ЭДС в любом контуре.

 

 

1.полученная СЛАУ                                             2.символьное решение

 

 

 

 

3. Определим закон изменения тока на участке АВ в зависимости от величины сопротивления RR:

 

 

 

4. Представляем график полученной функции

 

 

 

 

7.Математическое моделирование переходных процессов в электрических цепях.

 

1. Укажем все исходные данные:

 

 

 

2.Получим математическое описание внешнего возмущения.

Начальное время:

Конечное время:

 

 

 

 

 

Количество узловых точек:

Шаг:

 

Значение t в узловых точках:

Формирование входного напряжения:

 

 

 

Построим график:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Решим систему дифференциальных уравнений.

 

 

 

 

Далее вектор частей системы дифференциальных уравнений  с учетом замены переменных:

 

Решение системы  дифференциальных уравнений с помощью функцииrkfixed.

 

 

Таблица решения в узлах  сетки:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Время:

Переменная  ТТ должна совпадать с напряжением на конденсаторе Т:

 

Ток на индуктивность:

 

Напряжение выходное Y(T):

4. Графики входного напряжения и результатов моделирования

 

 

 

 

 

Заключение

 

В данной работе мы научились  в системе MathCad решать системы нелинейных и линейных алгебраических уравнений, познакомились с такими приемами как интерполирование и аппроксимация, также решали дифференциальные уравнения, научились математически моделировать установившиеся и переходные процессы в электрических цепях. Полученные знания безусловно помогут нам в дальнейшем обучении.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1.Симонович С.В. « Информатика  базовый курс».

2. Дьяконов В. « Mathcad 2000». 

3.Плис А.И. Сливина Н.А.  «Mathcad 2000 математический практикум»

4. Максфилд Б. «Mathcad в инженерных расчетах»

5. Шушкевич Г.Ч., Шушкевич С.В. «Компьютерные технологии в математике. Система Mathcad 14»

6. Охорзин В.А.  «Прикладная математика в системе MATHCAD

7. Макаров Е. Г. Mathcad. Учебный курс»

8. Щепетов А.Г.  «Автоматизация инженерных расчетов в среде Mathcad»

9. Беленкова И.В., Поршнев  С.В. «Численные методы на базе Mathcad»

10. Макаров Е.Г.  «Сопротивление материалов на базе Mathcad»

11. Очков В.Ф. «Mathcad 14 для студентов и инженеров: русская версия»

12. Воскобойников Ю.Е.  «Регрессионный анализ данных в пакете Mathcad»

13. Очков В. «Mathcad 12 для студентов и инженеров»

14. Очков В. «Mathcad 13 для  студентов и инженеров»

15. Васильев А.Н.  «Mathcad 13 на примерах»