с начальными условиями  . Приближенные значения     вычисляются последовательно по формулам:

                                                                       (13)

     

    где                       

                       

                                ,

    

 

     

 

2.4.Метод  Рунге-Кутта

    наиболее  известный и широко используемый метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера можно рассматривать в качестве простейших представителей метода Рунге-Кутта или как упрощенные его варианты.

    Согласно  метода Рунге-Кутта, приближенные значения   искомого решения    определяются по формулам:

                                                                        (14)

                                                        (15)

                                                                (16)

Значение  приближенного решения дифференциального уравнения (6) определяется в усредненном по формуле (15) направлении, составляющими которого  являются четыре направления, определяемые углами , для которых ,                        ( ),

        ( ),   ,

что значительно  повышает точность метода Рунге-Кутта. 

     Для сравнения: в методе Эйлера вычисляется в направлении, определяемом углом , для которого   (рис.1); в модифицированном методе Эйлера  вычисляется в уже подправленном с помощью средней точки текущего отрезка [] направлении, определяемом углом , для которого    (рис.2).

    Метод Рунге-Кутта имеет порядок точности   на всем отрезке []. Эффективная оценка погрешности метода очень затруднительна. Грубую оценку погрешности можно получить с помощью двойного просчета по формуле

    

  ,

где  - значение точного решения уравнения (1) в точке  , а   - приближенные значения, полученные с шагом   и .

    Для определения правильности выбора шага  на практике применяют двойной просчет  с шагом  и шагом . Если расхождение полученных значений не превышает допустимой погрешности, то шаг  для следующей точки удваивается, в противном случае берут половинный шаг.

    Метод Рунге-Кутта обладает значительной точностью и, несмотря на свою трудоемкость, очень широко используется при численных  решениях дифференциальных уравнений на ЭВМ. Важным преимуществом этого метода является возможность на любом этапе вычисления изменить шаг интегрирования, при условии выполнения заданной точности.

    Распространим метод Рунге-Кутта на нормальную систему дифференциальных уравнений (3). Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений первого порядка:

    

 

с начальными условиями  . Приближенные значения  вычисляются последовательно по формулам:

                                                               (17)

     

где                              

                                 ),

     

                               

                              ,

                              

                              ,

                                

                                 ,

                               

                                  

     

     

 

 

3. Вывод

 

     Уравнение называется обыкновенным дифференциальным n-го порядка, если F определена и непрерывна в некоторой области и, во всяком случае, зависит от х Его решением является любая функция u(x), которая этому уравнению удовлетворяет при всех x в определённом конечном или бесконечном интервале. Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно старшей производной имеет вид

     Решением  этого уравнения на интервале I=[a,b] называется функция u(x)  

     Решить  дифференциальное уравнение у/=f(x,y) численным методом – это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя  функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,…, уn, что уi=F(xi)(i=1,2,…,    n)    и F(x0)=y0.

     Таким образом, численные методы позволяют  вместо нахождения функции y=F(x) (3) получить таблицу значений этой функции для  заданной последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1 называется шагом интегрирования.

     Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы  приближенных значений искомой функции  у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для  ориентировочных расчетов.

     Однако  идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

     Метод Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений используется для решений  многих задач естествознания в качестве математической модели. Например задачи электродинамики системы взаимодействующих  тел (в модели материальных точек), задачи химической кинетики, электрических цепей. Ряд важных уравнений в частных производных в случаях, допускающих разделение переменных, приводит к задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений – это, как правило, краевые задачи (задачи о собственных колебаниях упругих балок и пластин, определение спектра собственных значений энергии частицы в сферически-симметричных полях и многое другое).