Фактическая оценка i-го критерия по k - му показателю товара t с учетом весовых коэффициентов:

   

(3.6.1)

   Идеальное, т. е. максимальное или наилучшее, значение i-го критерия по k-му показателю товара t с учетом весовых коэффициентов:

   

(3.6.2)

   Значение k-го показателя по товару t , выраженное в процентах, рассчитывается по формуле:

   

(3.6.3)

   Значения  комплексных показателей  попадают в один из интервалов: от 0 до 33, от 33 до 67, от 67 до 100. Вследствие такого разбиения значений показателей на 3 интервала анализируемый товар занимает одно из 27 возможных положений в трехмерной матрице позиционирования товара.

   

   

   Номера  кубиков данной матрицы соответствуют номерам маркетинговых стратегий, которые рекомендуется применять при планировании товарного ассортимента. Выделяются 5 основных стратегий 22 дополнительные, развивающие и конкретизирующие основные стратегии. Они служат для выработки действий предприятия в части изменения рыночной доли, проведения инвестиционной, программной и сбытовой политики в соответствии с занимаемым статусом товара.  

   Маркетинговой стратегии №1 подчиняются товары, пользующиеся повышенным спросом, которые к тому же отличаются превосходным качеством. С целью удовлетворения спроса потребителей фирма выпускает большое количество модификаций продукции. Происходит рост продаж до достижения максимума. Однако все больше предприятий выходит с такими же товарами на рынок. Из-за усиления конкуренции цены падают. Поэтому возрастает роль цены как фактора, определяющего покупку.  

   Маркетинговой стратегии №2 подчиняются товары, подлежащие снятию с производства. Объем реализации этих товаров падает. Фирмы начинают выходить из конкурентной борьбы, количество конкурентов уменьшается. Цены на товары низкие. Прибыль резко сокращается. Эти товары постепенно заменяются новыми, отвечающими требованиям рынка.

   Маркетинговая стратегия №3 применяется к товарам, которые требуют усовершенствования и модернизации. Здесь требуются значительные инвестиции. Товарная политика подвержена жесткой специализации. Такая политика оказывается оптимальной для эффективной деятельности небольшой фирмы или когда фирма периодически меняет специализацию, используя ее для освоения новых рынков или адаптируясь к меняющемуся спросу.  

   Маркетинговой стратегии №4 подчиняются товары "новой волны". Фирма выходит  на рынок с принципиально новым  товаром и обычно занимает исключительное положение на рынке. Конкуренции практически нет. Прибыли пока тоже нет или она еще очень незначительна. Покупатель инертен по отношению к только что появившемуся товару. Необходимо убедить покупателя испытать новый товар. Также данная стратегия рекомендуется для товаров, которые начинают массово продаваться. Растет объем реализации, фирма начинает получать прибыль.  

   Маркетинговая стратегия №5 рекомендуется для  товаров, активно продающихся на рынке. Рынок насыщен данным видом  товара. Уменьшается объем продаж этих товаров. Основной спрос исходит от консервативных покупателей, в то время как новаторы ищут товар-заменитель. Фирма стремится к дальнейшему совершенствованию продукта и ищет для него новые сферы применения. 

   Значения  матрицы выигрышей для игроков  находим как расстояния между точками в трехмерном единичном кубе по формулам:

   

(3.6.4)

   

   Где (x1,x2,x3), (y1,y2,y3) -координаты товаров в кубе, r - расстояние между товарами в кубе. 

   Пусть первый игрок - это << Конкурент >>, а второй - << Фирма >>. Стратегии  игрока 1 расположены по строкам, а игрока 2 - по столбцам матрицы выигрышей. Рассмотрим алгоритм фиктивного разыгрывания на примере игры этих двух игроков (1 - << Конкурент >>, 2 - << Фирма >>) с нулевой суммой с функцией игры: (3.6.5). (3.6.5), (3.6.6)- наборы стратегий игроков.

1. Разыгрывается игра с( ) – матрицей (3.6.7)
2. В первой партии оба игрока выбирают совершенно произвольные чистые стратегии (например, первого столбца и первой строки соответственно). 
   Пусть векторы (3.6.8) - смешанные стратегии игроков 1 и 2 соответственно, тогда можно считать разумным следующее их поведение:
3. Игрок 1 выбирает такую чистую стратегию i из набора своих 10 стратегий x, которая максимизирует его средний выигрыш (3.6.9), при условии, что игрок 2 использует свою смешанную стратегию .
4. Игрок 2 выбирает такую чистую стратегию j из набора своих 10 стратегий y, которая минимизирует его средний проигрыш (3.6.10), при условии, что игрок 1 использует свою смешанную стратегию . Итак, предположим, что за первые k разыгрываний игрок 1 использовал i- ю стратегию , раз , а игрок 2 - j-ю стратегию , раз . Тогда в (k+1)-й стратегии игрок 1 будет использовать -ю стратегию , а 2 – свою - ю стратегию, - значение матричной игры. 
   Значение игры ограничено сверху и снизу: (3.6.11) 
   С помощью этого итеративного процесса находим приближенное решение задачи и .

    = (0,17;0,05;0,11;0,15;0,09;0,11;0,1;0,07;0,03;0,12);

    =(0,22;0,03;0,09;0,17;0,12;0,13;0,07;0,05;0,04;0,08).

    =134,126

 

4. Метод Брауна-Робинсона решения матричных игр

 

   Часто в практических задачах нет необходимости находить точное решение матричной игры. Достаточно найти приближённое решение, которое даёт средний выигрыш, близкий к цене игры и приближённые оптимальные стратегии игроков.

   Ориентировочное значение цены игры  может дать уже простой анализ матрицы выигрышей и определение нижней и верхней цен игры. Если они близки, то поисками точного решения заниматься не обязательно, так как достаточно выбрать чистые минимаксные стратегии. Если же они не близки, можно получить приемлемое для практики решение с помощью численных методов решения игр, из которых рассмотрим метод итераций.

   Пусть разыгрывается матричная игра с матрицей размера . Идея метода – многократное фиктивное разыгрывание игры с заданной матрицей. Одно разыгрывание игры будем называть партией, число которых неограниченно.

   В 1-ой партии оба игрока выбирают совершенно произвольные чистые стратегии. Пусть  игрок 1 выбрал i-ю стратегию, а игрок 2 – j-ю стратегию. Во второй партии игрок 1 отвечает на ход игрока 2 той своей стратегией, которая даёт ему максимальный  выигрыш. В свою очередь, игрок 2, отвечает на этот ход игрока 1 своей стратегией, которая обращает его проигрыш в минимум. Далее третья партия.

   С ростом числа шагов процесса смешанные стратегии, которые приписываются игрокам, приближаются к их оптимальным стратегиям. Этот процесс приближённого нахождения оптимальных стратегий игроков называется итеративным , а его шаги – итерациями.

   Итак, предположим, что за первые разыгрываний игрок 1 использовал i-ю чистую стратегию раз (4.1), а игрок 2 j-ю чистую стратегию раз (4.2). Тогда их смешанными стратегиями будут векторы (4.3), (4.4).

   Игрок 1 следит за действиями игрока 2 и с  каждым своим ходом желает получить как можно больший выигрыш. Поэтому  в ответ на применение игроком 2 своей  смешанной стратегии , он будет использовать чистую стратегию , которая обеспечит ему лучший результат при разыгрывании (k+1)-ой партии. Игрок 2 поступает аналогично. В худшем случае каждый из  
 
 
 
 

них может  получить:

    (4.5)

   где - наибольшее  значение проигрыша игрока 2 и - наименьшее значение выигрыша игрока 1.

   Рассмотрим  отношения, которые определяют средние  значения проигрыша игрока 2 и выигрыша игрока 1:

   

(4.6)

   Пусть н - цена  матричной игры .  Её  значение будет больше выигрыша игрока 1, но меньше проигрыша игрока 2, т. е.

   

(4.7)

   Таким образом, получен итеративный процесс, позволяющий находить приближённое  решение матричной игры, при этом степень близости приближения к истинному значению игры определяется длиной интервала

   

(4.8)

   Пример. Найти приближённое решение игры с матрицей

А=

.(4.9)

   Пусть игру начнёт игрок 2. Он произвольно  выбирает одну из своих чистых стратегий. Предположим, что он выбрал свою 1-ю стратегию, а игрок 1 отвечает своей 2-й стратегией. Занесём данные в таблицу. 

   Таблица 1. Выбранные игроками стратегии и их выигрыши при них на первом шаге. 

   В столбце u находится наибольший средний выигрыш 4 игрока 1, полученный им в первой партии; в столбце w стоит наименьший средний проигрыш 1, полученный игроком 2 в первой партии; в столбце n находится среднее арифметическое n=(u+w)/2=5/2(4.10), т. е. приближенное значение цены игры, полученное в результате проигрывания одной партии.

Так как  игрок 1 выбрал 2-ю стратегию, то игрок 2 может проиграть:

• 4, если применит свою 1-ю стратегию;
• 1, если применит свою 2-ю стратегию;

• 2, если  применит свою 3-ю стратегию.

   Поскольку он желает проиграть как можно  меньше, то в ответ применит свою 2-ю стратегию.

   Тогда первый игрок получит выигрыш  равный 3, 1, 0 соответственно при своих 1-й, 2-й, 3-й стратегиях, а его суммарный выигрыш за две партии составит:

• 0+3=3 при его 1-й стратегии;
• 4+1=5 при его 2-й стратегии;
• 2+0=2 при его 3-й стратегии.

   Из  всех суммарных выигрышей наибольшим является 5, который получается при 2-й стратегии игрока 1. Значит, в этой партии он должен выбрать именно эту стратегию.

   При 1-й стратегии игрока 1 игрок 2 проигрывает 4, 1, 2 соответственно 1-й, 2-й, 3-й его  стратегиям, а суммарный проигрыш за обе партии составит:

• 4+4=8 при его 1-й стратегии;
• 1+1=2 при его 2-й стратегии;
• 2+2=4 при его 3-й стратегии.

   Все полученные данные занесём в таблицу. В столбец u ставится наибольший суммарный выигрыш игрока 1 за две партии, деленный на число партий, т. е. 5/2; в столбец w ставится наименьший суммарный проигрыш игрока 2, деленный на число партий, т. е. 2/2; в столбец n ставится среднее арифметическое этих значений, т. е. 7/2.