Описание и программирование матричных игр

   

(3.2.4)

   Матрица игры:

   

(3.2.5)

 

   

3.3. Существование равновесия

 

   Рассмотрим  вопрос о существовании равновесия. В качестве примера рассмотрим игру в пальцы:

   

(3.3.1)

   Гарантированные результаты для первого игрока есть , гарантирующая стратегия есть . Для второго: , гарантирующие стратегии - .

  Рассмотрим  исход  . Первому игроку выгоднее воспользоваться третьей стратегий, второму игроку — второй стратегией. Таким образом, не является равновесным исходом игры. Аналогичным образом приходим к выводу, что и не является равновесным исходом игры.

   В связи с этим возникает вопрос: как играть игрокам и как определить, существует ли равновесный исход.

   Из  примеров видно, что существует антагонистические  игры с равновесным исходом и  без него. Поэтому, все антагонистические  игры можно разбить на два класса: в одном классе игры имеют равновесный исход, в другом не имеют.

   Формально определим все используемые определения. Имеется множество D стратегий первого игрока, множество G стратегий второго игрока, первый игрок выбирает стратегию , второй игрок выбирает стратегию , и определяется исход игры . На множестве исходов игры задается функция выигрыша первого игрока (3.3.2), которая определяет выигрыш первого игрока, который равен проигрышу второго игрока.

   Далее, определяется функция  гарантированного результата первого игрока при выборе им :

   

(3.3.3)

   Гарантированный результат  первого игрока:

   

(3.3.4)

   И гарантированный  результат  первого игрока:

   

(3.3.5)

   Аналогично, для второго игрока определим  функцию гарантированного результата , его гарантированный результат и гарантирующую стратегию :

   Значение  называется максимином функции , — максиминная стратегия, a — минимакс, и — минимаксная стратегия.

   Определим ситуацию равновесия в игре следующим образом:

   

(3.3.6)

   Это определение равновесной ситуации имеет тот смысл, что ни одному из игроков не выгодно менять стратегию, если другой игрок не меняет свою.

   

   Эти неравенства соответствуют в седловой точке функции . Т.е., пара является ситуацией равновесия тогда и только тогда, когда - седловая точка.

   Стратегии игроков, соответствующие ситуации равновесия, называют равновесными стратегиями.

   Нетрудно  заметить, что для обоих игроков  в антагонистической игре соответствующие  стратегии являются оптимальными. 

   Лемма 1. Для любой антагонистической игры всегда имеет место , или (3.3.7), если соответствующие минимумы и максимумы достигаются. Т.е., в антагонистической игре гарантированный выигрыш одного игрока не может быть больше гарантированного проигрыша другого игрока.

   Доказательство: Пусть - гарантирующая стратегия первого игрока, - гарантирующая стратегия второго игрока, гарантированные результаты есть и , и пусть они достигаются на исходах и :

   

(3.3.8)

   Заметим, что:

   

(3.3.9)

   (из условия, что - гарантированный результат первого игрока, т.е )(3.3.9)

   

(3.3.10)

   (так,  как  , и минимум берется по всем ) 

   Аналогичным образом, получаем:

   

(3.3.11)

   Совмещая  эти два неравенства, получаем:

   

(3.3.12)

   Ранее было дано определение положения  равновесия через седловую точку. Это определение не является конструктивным. Чтобы получить конструктивное определение, сформулируем следующее утверждение. 

   Лемма 2. Исход игры является ситуацией равновесия тогда и только тогда, когда (3.3.13)

   Замечание 1. Эта лемма задает определение положения равновесия, эквивалентное определению положению равновесия через седловую точку:

   

(3.3.14)

   Замечание 2. Лемма дает конструктивное определение положения равновесия.

   

   

   Если  в игре есть равновесный исход, то гарантирующая стратегия является оптимальной.

   Для матричной игры с матрицей условие существования равновесия есть:

   

(3.3.15)

   В случае игры в пальцы и , т.е., нет положения равновесия. Но игрокам надо как-то сделать выбор. Например, использовав механизм случайности.

 

   

3.4. Механизм случайности

 

   Зададим для первого игрока вектор (3.4.1), где — вероятность выбора первым игроком I - ой стратегии, и (3.4.2), (3.4.3)- Игрок, применяя механизм случайного выбора, выбирает стратегию .

   Стратегии в исходной игре будем называть чистыми стратегиями. Если в игре нет равновесных стратегий среди чистых, то можно применить вероятностный подход — рандомизацию. Обозначим P — множество смешанных стратегий первого игрока:

   

(3.4.4)

— стандартный  симплекс в m-мерном пространстве. 

   Второму игроку также надо сделать свой выбор. Пусть второй игрок выбирает смешанную стратегию (3.4.5), где — вероятность выбора вторым игроком своей -й чистой стратегии, Q — множество смешанных стратегий второго игрока, (3.4.6).

   Таким образом, до применения случайных механизмов имеем смешанный исход игры . Поскольку применяется случайные механизмы, исход и результат игры получаются случайными величинами.

   Определим математические ожидания выигрышей  игроков при применении их смешанных  стратегий.

   Пусть матрица выигрышей при чистых стратегиях есть:

   

(3.4.7)

   Тогда вероятность чистого исхода есть:

   

(3.4.8)

   Так как  и независимы. Тогда математическое ожидание выигрыша первого игрока есть

   

(3.4.9)

   Полученная  игра с выбором смешанных стратегий  и математическим ожиданием выигрыша в качестве функции выигрыша первого игрока называется смешанным расширением игры.

   Одна  из особенностей рандомизации — игрок  может получить самый худший вариант, которого он мог избежать, применяя чистые стратегии.

   Другая  особенность — замена выигрыша математическим ожиданием выигрыша.

     

3.5. Нахождение равновесного решения.

 

   Разберем  простой случай — игра, где у  каждого игрока есть по две стратегии. Матрица игры имеет вид:

   

(3.5.1)

   Если  имеется ситуация равновесия, то она достигается применением гарантирующей стратегии. Пусть ситуации равновесия не существует.

   Можно показать, что у каждого из игроков  спектр его равновесной смешанной  стратегии содержит обе чистые стратегии. Таким образом, если (3.5.2) - равновесная стратегия одного из игрока, то (3.5.3).

   

(3.5.4)

   Приравнивая ожидания, получаем:

   

(3.5.5)

   Далее, .

   

(3.5.6)

   Аналогично, для второго игрока:

   

(3.5.7)

 

   

3.6. Игровые методы в планировании товарного ассортимента фирмы.

 

   Одно  из ключевых мест в маркетинге занимает товарная политика. Главная цель товарной политики - это определение набора товарных групп, наиболее предпочтительного для успешной работы на рынке и обеспечивающего эффективную деятельность фирмы. В маркетинге разработаны свои методы и модели для управления товарной политикой фирмы. К ним относится матрица Бостонской Консалтинговой Группы (БКГ). Результат этой модели представлен в виде набора словесных рекомендаций по каждой группе товара.

   Фирма выпускает 10 наименований косметических  средств. Обозначим:

• Шампунь
• бальзам для волос
• молочко для снятия макияжа
• крем для лица
• лосьон-тоник
• маска для лица
• скарб для тела
• крем для рук
• пенка для умывания
• молочко для тела

   При анализе стратегических позиций  фирмы на рынке должны быть выявлены основные направления деятельности в прошлый период и в настоящее  время, главные стратегические установки  и их изменения за весь период функционирования фирмы, а также стратегические задачи на будущее. Поэтому одно из ключевых мест в маркетинге занимает товарная политика. Ее осуществление предполагает проведение систематических исследований на всех этапах разработки и совершенствования товара: от выбора концепции нового изделия и конструирования до его финансирования, производства, установления цены, рекламирования, сбыта и технического обслуживания. Товарная политика включает в себя меры по повышению конкурентоспособности изделия, созданию новых видов товаров, оптимизации инновационной деятельности и ассортимента выпускаемых изделий с учетом их жизненного цикла и спроса потребителей. Сейчас практически не существует предприятий, производящих всего один товар. В связи с этим сущность управления ассортиментом заключается в предложении товаров, которые покупатель желает приобрести. При планировании ассортимента продукции применяется матрица Бостонской консультационной группы (БКГ).

   Матрица БКГ - это трехмерная матрица, координатами которой служат комплексные показатели: "привлекательность рынка товара", " конкурентная позиция предприятия " и "конкурентоспособность товара ". Критерии, оценки и источники информации выбраны исходя из основных направлений маркетинговых исследований при формировании товарной политики. Это исследование возможностей предприятия и конкурентной среды, изучение рынка и учет влияния внешних факторов. Оценка "конкурентной позиции предприятия" осуществляется на основе анализа собственных возможностей по сравнению с конкурентами. Расчет показателя "привлекательность рынка" требует данных о динамике рынка товаров. При этом учитываются внешние факторы, а именно государственная политика, риск и др. Показатель "конкурентоспособность товара" оценивается с помощью технико-экономических показателей собственных товаров и товаров-конкурентов. Методика расчета комплексных показателей основана на бальных оценках критериев и их коэффициентах значимости, устанавливаемых экспертами. В качестве экспертов могут выступать специалисты службы перспективного развития, отдела маркетинга и руководства фирмы. Бальные оценки, проставляемые экспертами, принимают значения от 1 до 10.

   Введем  следующие обозначения: - количество товаров, рассматриваемых в ассортиментной политике; - индекс товара( ); - номер комплексного показателя ; - количество критериев, используемых для расчета - го показателя; - номер критерия( ); - вес критерия по - му показателю( ); - значение i- го критерия по -му показателю товара t (бальная оценка).