Обработка опытных данных методом МНК

      Для перехода к линейной функции достаточно выполнить подстановку 

      Отсюда  следует, что для нахождения значений a и b нужно прологарифмировать значения аргумента в исходной таблице 1 и для новой таблицы 4 найти приближающую функцию в виде линейной y=at+b. Коэффициенты a и b найденной функции подставить в формулу 2.14. 

 
 

      Окончательно  получим: 

                                                                      (13)

 

 

Рисунок 4 График логарифмической функции 

    4. Метод наименьших квадратов

 

    Запишем сумму квадратов отклонений для  всех точек х₀, х_1,…,х_m

           (3)

    Параметры а₀, а_1,…,а_m эмпирической формулы будем находить из условия минимума функции S= S(а₀, а_1,…,а_m ). В этом состоит метод наименьших квадратов.

    В теории вероятностей доказывается, что  полученные таким методом значения параметров наиболее вероятны.

    Поскольку здесь параметры а₀, а_1,…,а_m выступают в роли независимых переменных функции S, то ее минимум найдем, приравнивая нулю частные производные по этим переменным:

       

     (4)

    Полученные  соотношения – система уравнений  для определения параметров а₀, а_1,…,а_m

    Рассмотрим  применение метода наименьших квадратов  для частного случая, широко используемого  на практике. В качестве эмпирической функции рассмотрим многочлен:

       φ(х)= а₀+а₁х+ а₂х²+…+ а_mх^m               (5)

    Формула (9) для определения суммы квадратов  отклонений S примет вид

              (6)

    Для составления уравнений (4) найдем частные  производные функции S= S(а₀, а_1,…,а_m):

         

             

    Приравнивая эти выражения нулю в соответствии с уравнениями (4) и собирая коэффициенты при неизвестных а₀, а_1,…,а_m получаем следующую систему уравнений:

         

         

                …………………………………………. 

   

    Решая эту систему линейных уравнений, получаем коэффициенты

       а₀, а_1,…,а_m многочлена (5), которые являются искомыми параметрами эмпирической формулы. 
 

     5. БЛОК-СХЕМА решения задач   

 

 
 
 

 

 
 

 

 

 
 
 

 

 
 
 

 

 
 

    6 .Решение задачи в MathCAD

 

    Для решения поставленной задачи необходимо подобрать эмпирическую формулу  такую, которая наилучшим образом  отражала бы заданное экспериментальное  распределение точек (таблица исходных данных). Для этого воспользуемся  графическими возможностями программы MathCad.

    На  рис.4 представлено точечное распределение экспериментальных данных, задания курсовой работы.

    

    

    

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Рисунок 4 – Распределение точек

      С помощью программы Mathcad подберем функцию, максимально близко проходящую к данным точкам, либо проходящую через них. Т.е. определим функциональную зависимость y от х. Для этого воспользуемся методом перебора возможных вариантов: сначала оценим погрешность аппроксимации линейной, степенной и логарифмической функций. Оптимальной будем считать ту аппроксимирующую функцию, которая позволяет достичь минимального среднеквадратического отклонения 

    Рассмотрим  линейную функцию

    

 

    Для того, чтобы провести график данной функции и оценить погрешность  аппроксимации, необходимо найти коэффициенты a и b. Воспользуемся встроенными

     

Аппроксимация прямой

     

     

     

     

аппроксимирующая  функция

     

     

     

     

 
 
     

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 5 – Линейная функция 

Среднеквадратическое  отклонение функции : 

 
 
 

Таким образом, среднеквадратическое отклонение значений функции от значений распределения полученных данных достаточно велико, следовательно, данная функция не является оптимальной

            Рассмотрим теперь аппроксимацию полиномом. Степень  полинома не может превышать 9, т.к. всего  точек в распределении данных - 10. Будем изменять значение параметра n - степени полинома, выберем два разных полинома со степенями, например 2 и 3 и сравним погрешность такой аппроксимации

            

            

степень полинома

            

            

            

            

            

            

            

            

 
 
 
            

            

 
 
 
 
 
 
 

       Результаты  аппроксимации данных полученными полиномами poly и poly2 представлены на рис. 6

       

 
 

    Рисунок 6– График степенной функции 

    Оценим  погрешность данного способа аппроксимации для функции F(x) = -10479.791+ 5480.598*x  -( -943.828)*x² + 53.93*x³:

    

    

 
 

    Для функции F(x) = -1617.748+ 598.477*x – (-52.578)*x²:

    

    

 
 

    Рассмотрим  логарифмическую функцию. 

    Будем располагать точки на различных  графиках

    

 
 
 
 

Рисунок 7 – Экспериментальные данные в полулогарифмической шкале (lnу)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 8 - Экспериментальные данные в полулогарифмической шкале (lnx)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Рисунок 9 – Логарифмические шкалы по обеим осям 
 

Можно заметить что на рисунке 7 точки приближенно  укладываются в прямую линию. Это  означает что подбираемую функцию  можно линеаризовать, если заменить вектор у на ln(у). 

В уравнении  ln(у) = а*х + ln(b) заменим ln(у) на у1, а заменим на а0, ln(b) y на b0.

Применили линейную аппроксимацию для расчета  коэффициентов а и ln(b), а затем А и В.

Получим у =  В*е^Ах

Аппроксимация прямой

аппроксимирующая  функция

Аппроксимация прямой

аппроксимирующая  функция

 
 
 
 
 

Оценим погрешность  данного способа аппроксимации  для функции 

 
 
 

Все линии отобразим на одном графике

    7. Вывод

 

Для описания табличных  данных были исследованы три типа зависимостей: линейная, степенная, и логарифмическая. Также были определены

коэффициенты  в уравнениях этих зависимостей и  суммы квадратов отклонений от всех точек до искомой кривой.  

         :

    

    

 
 

    F(x) = -10479.791+ 5480.598*x  -( -943.828)*x² + 53.93*x³:

    

    

    F(x) = -1617.748+ 598.477*x – (-52.578)*x²:

    

    

 
 

           

 

 
 

Затем была выбрана наиболее подходящая для  заданных опытных данных функциональная зависимость. Она соответствует  наименьшей сумме квадратов отклонений. Наименьшую сумму квадратов отклонений Q1 имеет степенная зависимость. Следовательно, наилучшая для заданных опытных значений функциональная модель – степенная со следующим уравнением: F(x) = -10479.791+ 5480.598*x  -( -943.828)*x² + 53.93*x^3. Таким образом, метод наименьших квадратов позволяет обработать полученные опытные данные и определить тип зависимости между ними.

 

  8. Список литературы

 

1. В. М. Заварыкин, В. Г. Житомирский, М. П. Лапчик. Численные  методы: Учеб. пособие для студентов  физ.-мат. спец. пед. ин-тов. - М.: Просвещение. 1990. - 176 с.
2. Бахвалов Н. С. Численные методы. - М.: Наука 1973.
3. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1970.
4. Иванова Т. П., Пухова Г. В. Программирование и вычислительная математика. -М.: Просвещение. 1978.
5. Плис А. И. Сливина Н. A. MathCAD: Математический практикум для экономистов и инженеров. - М.: финансы и статистика, 2000. 656 с.
6. В. Д. Лисица, Г. И. Севодина. Расчеты в системе MathCAD: лабораторный практикум по курсу информатики и вычислительной математики для студентов  технологических и экономических специальностей. - Бийск: Изл-во Алт. гос. техн. ун-та. 2002. - 62 с.