Обработка опытных данных методом МНК

 

 
Содержание 
 

1 Постановка задачи и исходные данные 4

2 .Аппроксимация функций 4

3. Подбор эмпирических формул 5

3.1. Степенная зависимость  (геометрическая  регрессия) 5

3.2. Показательная зависимость 7

3.3. Логарифмическая функция 8

4. Метод наименьших квадратов 9

5. БЛОК-СХЕМА для МНК 11

6 .Решение задачи в MathCAD 12

Подбор эмпирической формулы 12

Расчет 13

7. Вывод 16

8. Список литературы 17 
 
 
 

 

Введение

    1 Постановка задачи  и исходные данные

 

    Имеются экспериментальные данные в виде таблицы: 

 

    Необходимо обработать опытные данные путем нахождения аппроксимирующих зависимостей. Для расчета параметров аппроксимирующей функции применять метод наименьших квадратов

    2 .Аппроксимация функций

 

    Пусть величина y является функцией аргумента x. Это означает, что любому значению x из области определения поставлено в соответствие значение y. Вместе с тем на практике часто неизвестна связь между y и x, т.е. невозможно записать эту связь в виде некоторой зависимости y=f(x). В некоторых случаях даже при известной зависимости y=f(x) она настолько громоздка, что ее использование в практических расчетах затруднительно.

    Этой  цели и служит задача о приближении (аппроксимации) функций: данную функцию  f(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией φ(х), так чтобы отклонение φ(х) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция φ(х) при этом называется аппроксимирующей.

    Мерой отклонения φ(х) от заданной функции  f(x) на множестве точек (х_i, y_i) (i=0,1,…,n) при среднеквадратическом приближении является величина S, равная сумме квадратов разностей между значениями многочлена и функции в данных точках:

             (1)

    Надо  подобрать такую функцию φ(х), чтобы величина S была наименьшей. В этом и состоит метод наименьших квадратов. 

    3. Подбор эмпирических  формул

 

    Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость между у и х, мы в результате серии экспериментов  произвели ряд измерений этих величин и получили таблицу значений 

 

    Задача  состоит в том, чтобы найти  приближенную зависимость

    y=f(x),           (2)

    значения  которой при х= х_i          (i=0,1,…,n) мало отличается от опытных данных y_i. Приближенная функциональная зависимость (2), полученная на основании экспериментальных данных, называется эмпирической формулой.

    Задача  построения эмпирической формулы отличается от задачи интерполирования. График эмпирической зависимости не проходит через заданные точки (х_i, y_i), как в случае интерполяции.

    Простейшей  эмпирической формулой является линейная зависимость

    Y=ax+b    

    Другой  простейшей эмпирической формулой является квадратный трехчлен –парабола или  кубическая парабола.

    Y=ax²+bx+c      

    Y=ax³+bx²+cх+d   

    Также за эмпирическую формулу можно взять  любой полином Y = P_n(x), обратную степенную функцию Y=1/Q_n(x) или логарифмическую Y = aln(bx) + c.

Ниже  приведены наиболее употребимые  формулы и соответствующие им графики.

3.1. Степенная зависимость (геометрическая регрессия)

 

      Степенная зависимость имеет вид

                                                                                                        (3)

      Во  всех случаях  при При в точке кривая касается оси абсцисс. В этом случае, чем больше , тем ближе подходит кривая к оси абсцисс при и тем быстрее она возрастает при

      При в точке кривая касается оси ординат. При кривая ближе подходит к оси ординат, чем к оси абсцисс, при наоборот. 

      

      Рисунок 1

      График  степенной зависимости 

     Покажем, как нахождение приближающей функции  в виде геометрической регрессии  может быть сведено к нахождению параметров линейной функции. Предполагая, что в исходной таблице 1 значения аргумента и функции положительны, прологарифмируем равенство (3) при условии

                        (4)

      Введем  новую переменную тогда будет функцией от t . Обозначим тогда равенство (4) примет вид:

                        

т.е. задача свелась к отысканию приближающей функции в виде линейной.

      Практически для нахождения приближающей функции  в виде степенной (при сделанных  выше предположениях) необходимо проделать  следующие операции:

1) по  данной таблице 1 составить новую  таблицу 2, прологарифмировав

                        Таблица 1      Таблица 2

2) по  новой таблице 2 найти параметры и приближающей функции вида

      3) используя примененные обозначения,  найти значения параметров  и и подставить их в выражение (3). 

      Окончательно  получаем:

                      (5)

3.2. Показательная зависимость

 

      Показательная зависимость имеет вид

                                (6)

      Во  всех случаях  при . Если то при кривая растет с увеличением тем быстрее, чем больше При она приближается к оси абсцисс с возрастанием тем быстрее, чем больше абсолютная величина

      Если  найденная на опыте зависимость  от является показательной, то график зависимости от представляет собой прямую линию, тангенс угла наклона которой равен параметру Если значение при неизвестно, то величину параметра можно найти по формуле для ряда значений а затем взять среднее.

Рисунок 2 График показательной функции

Найдем  коэффициенты и   для исходной таблицы 1, если известно, что приближающую функцию целесообразно искать в виде показательной функции (6).

         Прологарифмируем равенство (6) :

                                                                                           (7)

приняв  обозначения  перепишем (7) в виде:

                                                                                           (8)

      Таким образом приближающая показательная  функция нехитрыми преобразованиями сведена к линейной, следовательно, для определения коэффициентов  и показательной функции можно воспользоваться выведенной для линейной функции формулой

        (9) 

      Итак, для нахождения приближающей функции в виде (6) нужно прологарифмировать значения функции в исходной таблице 1 и, рассматривая их совместно с исходными значениями аргумента, построить для новой таблицы 3 приближающую функцию вида (8). 

Таблица 1      Таблица 3 

 
 
 

Окончательно  получаем:

                                                 (9)

 

     Рисунок 3 – График логарифмической функции 

      Замечание: формулам

                                                                   (10)

                                                     (11)

соответствуют кривые, изображенные на рисунках 1 и 2, сдвинутые вверх или вниз на величину . Например, кривая, изображенная на рисунке 3, соответствует формуле при и Чтобы найти параметры этих формул, следует сначала определить значение Иногда величину можно легко найти по значению, к которому стремится при возрастании (при ) или по значению при (для формулы 10 при ). Можно также воспользоваться формулой

где и — ординаты произвольных (но достаточно далеких) точек с абсциссами , , а ордината соответствует абсциссе в случае формулы (10) и абсциссе в случае формулы (11). 

      3.3. Логарифмическая функция

      Будем искать приближающую функцию в виде

                                                                               (12)