Получается  нелинейная система из M + 1 уравнения с 2(N + 1) неизвестными c_i, х_i. Отсюда следует, что максимальное значение M есть 2N + 1. Решение этой системы или исследование на его существование и единственность в общем случае затруднительны. Гаусс решил эту задачу более простым (в смысле реализации, но не решения) способом, доказав следующую теорему:

     Если  в качестве узлов  х_i, i = 0, ..., N в квадратурной формуле используются нули полиномов Лежандра q_{N + 1}(х), а веса c_i вычисляются по формулам , то квадратурная формула точна для полиномов степени 2N + 1.

     Полиномы  Лежандра образуют ортогональную систему функций на отрезке [- 1; 1]: при и при

     Первые  несколько полиномов Лежандра:

     Рекуррентная и общая формулы полиномов Лежандра имеют вид:

     Погрешность квадратурной формулы Гаусса на отрезке будет

     при этом . Если формула остаточного члена будет

       причем коэффициент  быстро убывает с ростом N. Здесь

     Формулы Гаусса обеспечивают высокую точность уже при небольшом количестве узлов (от 4 до 10). Так , , . В практических же вычислениях число узлов составляет от нескольких сотен до нескольких тысяч. Важно также, что веса квадратур Гаусса всегда положительны, что обеспечивает устойчивость алгоритма вычисления.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Березин, И. С. Методы вычислений / И. С. Березин, Н. П. Жидков. — М. : Гос. изд. физ.-мат лит., 1962.
2. Гусак А. А. Справочник по высшей матемтаике / А. А. Гусак, Г. М. Гусак, Е. А. Бричикова. — Мн. : ТетраСистемс, 1999.
3. Волков, Е. А. Численные методы : учеб. пособие для вузов / Е. А. Волков. — 3-е изд., испр. — СПб : Лань, 2004..
4. Лапчик, М. П., Численные методы : учеб. пособие для студентов вузов / М. П. Лапчик, М. И. Рагулина, Е. Е. Хеннер; под ред. М. П. Лапчика. — М. : «Академия», 2004.
5. Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей математики / Л. И. Бородич [и др.]. — М. : Высш. шк., 1986.