УЧРЕЖДЕНИЕ  ОБРАЗОВАНИЯ 

«БЕЛОРУССКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Методы  численного интегрирования: Симпсона, Гаусса-Кристоффеля  
 
 

Реферат 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2008 
СОДЕРЖАНИЕ 

 

ВВЕДЕНИЕ

     Задачи приближенного вычисления определенного интеграла (на отрезке или по многомерной области) фактически разбивается на два самостоятельных класса задач.

     К первому классу задач относятся задачи интегрирования таблично заданных функций (полученных, например, при проведении лабораторного эксперимента). В таком случае информация о гладкости подынтегральных функций отсутствует, и возможности в выборе узлов интегрирования очень ограничены. Для решения задач этого класса наиболее эффективными будут квадратурные формулы интерполяционного типа, а для оценки погрешности удобно пользоваться правилом Рунге.

     Ко  второму классу относятся задачи вычисления значения определенного интеграла от известной функции. При этом самая ресурсоемкая операция с точки зрения вычислений — подсчет значений функции. При решении задач этого класса желательно использовать численные методы, позволяющие получать как можно более высокую точность при наименьшем количестве вычислений, при этом выбор узлов квадратурных формул целиком в руках вычислителя. В этом случае наиболее эффективными окажутся квадратурные формулы типа Гаусса-Кристоффеля.

     В реферате рассмотрено общее семейство  квадратурных формул Ньютона-Котеса, частным случаем которого является метод Симпсона и формулы Гаусса-Кристоффеля.

 

ФОРМУЛА СИМПСОНА

     Задача  численного интегрирования заключается  в вычислении приближенного значения определенного интеграла вида:

           

.  (1)

     Если  предположить, что f(x) на рассматриваемом отрезке [a, b] не изменяется (f(x) = const), то значение интеграла функции на заданном отрезке может быть посчитано по формуле:

           

. (2)

     Если  , получается формула прямоугольников с центральной точкой

           

. (3)

     Конечно, для функции-константы приведенная выше формула точна. В этом случае говорят, что построенная квадратурная формула точна для полиномов степени 0. Легко можно доказать, что формула прямоугольников с центральной точкой будет давать точное значение и в случае линейной функции.

     Формула прямоугольников  — один из частных случаев семейства  формул Ньютона-Котеса. В общем случае квадратурные формулы семейства Ньютона-Котеса получаются при помощи интегрирования интерполяционного многочлена, аппроксимирующего подынтегральную функцию.

     Для дальнейшего рассмотрения необходимо ввести на отрезке интегрирования сетку и определить значения функции в узлах сетки. Узлы сетки именуют также узлами квадратурной формулы (или квадратуры). Пусть имеется совокупность узлов

           

 (4)

     Пусть также задана таблица значений функции в узлах сетки . Отрезок [x_k, x_{k + 1}] иногда называют элементарным отрезком.

     Таким образом, в семействе формул Ньютона-Котеса осуществляется замена вида:

           

, (5)

     где — полином Лагранжа степени n.

     Частным случаем семейства квадратурных формул Ньютона-Котеса является формула  Симпсона. Она получается при замене подынтегральной функцией f(ч) на отрезке [x_{k - 1}, x_k] интерполяционным полиномом (в форме Лагранжа) второй степени. Пусть для простоты рассмотрения для всех k — сетка на отрезке интегрирования равномерная. Тогда

           

 (6)

     После вычисления интеграла от полинома получается приближенное значение интеграла на элементарном отрезке:

           

.  (7)

     Суммируя  по всем элементарным отрезкам [х_{k - 1}, х_k], получим

           

 (8)

     где

     

.

     Формулу Симпсона можно также записать, не используя дробных индексов:

           

 (9)

     если  локальную формулу получать путем  интегрирования интерполяционного полинома второй степени по отрезку [х_{k - 1}, х_{k + 1}]:

           

.  (10) 

     где F(х) — интерполяционный полином, построенный на отрезке  
[х_{k - 1}, х_{k + 1}] по точкам х_{k - 1}, х_k, х_{k + 1}. В этом случае N — число разбиений отрезка на элементарные отрезки — должно быть четным.

     При замене подынтегральной функции полиномом третьей степени получается также и формула, называемая «формулой 3/8». Она получается при замене подынтегральной функции интерполяционным полиномом третьей степени, построенным по четырем точкам. В данном случае расчетная формула для элементарного отрезка будет иметь вид:

           

. (11)

     Квадратурные формулы интерполяционного типа более высоких порядков применяются достаточно редко.

     Погрешность квадратурных формул семейства Ньютона-Котеса может быть оценена, например, с использованием остаточного члена интерполяционного полинома:

           

. (12) 

     Из  последней формулы следует, что  квадратурная формула точна, если подынтегральная функция является многочленом степени не выше N.

     На  основе формулы (12) можно получить формулу для оценки погрешности метода Симпсона. В данном случае (N=2) на локальном отрезке погрешность будет равна:

           

. (13)

     На  всем отрезке интегрирования [a, b] погрешность может быть оценена следующим образом:

           

. (14)

     В некоторых случаях использование  формулы (14) для оценки погрешности метода Симпсона может оказаться неудобным, например, из-за сложности поиска максимального значения модуля четвертой производной функции на отрезке интегрирования.  Тогда для оценки погрешности метода используют один из методов апостериорной оценки точности расчетных формул, например, метод Рунге.

     Пусть для вычисления величины z(x) имеется расчетная формула x(x,h), использующая равномерную сетку с шагом h. И пусть погрешность (остаточный член) этой формулы имеет следующую структуру:

           

, (15)

     т.е. погрешность формулы имеет известный  порядок р, хотя главный член j(х) асимптотики неизвестен. Если произвести расчет по той же формуле, но с использованием равномерной сетки с другим шагом, равным qh, можно получить:

           

. (16)

     Имея  два расчета  и , можно оценить величину главного члена асимптотического разложения погрешности (15):

           

. (17)

     Формула (17) называется первой формулой Рунге.

     Видно, что расчет того же порядка точности на второй сетке позволяет оценить погрешность расчета на первой сетке с точностью до членов более высокого порядка по h, т.е. учесть неизвестный порядок . С учетом (17) формула (15) может быть приведена к виду:

           

. (18)

     Формула (18) называется второй формулой Рунге. Обычно при практических расчетах берут q=2, что означает сгущение сетки в два раза.

     Рассмотрим  применение формулы (17) для оценки погрешности  формулы Симпсона. Если четвертая  производная подынтегральной функции на отрезке интегрирования меняется медленно, то, в соответствие с (14) можно записать:

             (19)

     Если  использовать две сетки с шагом  h и 2h, то

     

     откуда

           

. (20)

     Формула (20) иногда и называют формулой Рунге  для оценки погрешности метода Симпсона.

 

     

КВАДРАТУРНЫЕ  ФОРМУЛЫ ГАУССА-КРИСТОФФЕЛЯ

     Поскольку формулы Ньютона - Котеса являются интерполяционными, очевидно, что они не могут успешно использоваться для получения формул высокой точности по причине неустойчивости интерполяционного процесса для многочленов высокого порядка. По этой причине обычно используются полиномы степени от нуля до трех (соответственно, формулы прямоугольников со средней точкой, трапеций, Симпсона, 3/8). Вычисление с их помощью интегралов от функций, обладающих высокой степенью гладкости, например, близким к полиномам высокой степени, представляется нерациональным. В выражение для погрешности этих формул входят первая, вторая или четвертая производные. Погрешность определяется низким порядком производной при высокой степени гладкости интегрируемой функции. Этих недостатков лишены квадратуры Гаусса-Кристоффеля.

     Формулировка  задачи построения квадратурных формул, поставленная Гауссом, такова.

     Для заданного количества точек, а именно, для N+1 точки, найти такое расположение узлов и такие веса c_i, чтобы квадратурная формула

           

 (21)

     была  точной для полиномов как можно  более высокой степени, т.е. чтобы  остаточный член квадратуры r_N(х)=0.

     Для некоторых классов функций существуют квадратурные формулы с r_N(х)=0, которые называются точными. Примером такого класса функций являются полиномы

           

 (21)

     на  отрезке [a, b]. Пусть на этом отрезке определены узлы х_i, i=0,1, … , N и веса c_i так, что

           

 (22) 

     Представим  P_N(х) в виде интерполяционного полинома

           

 (23)

     при этом остаточный член интерполяции полинома равен нулю.

     Тогда из предыдущего условия следует, что

           

, (23) 

     где c_i являются базисными функциями полиномов Лагранжа. Квадратурная формула (22) является точной для любого полинома степени N. Оказывается, эта формула может быть точной и для полиномов более высокой степени, а именно, 2N + 1, что и используется при построении квадратурных формул Гаусса-Кристоффеля.

     Пусть формула численного интегрирования имеет вид (21).

     Положим, что существует многочлен P_M(х) степени M > N, для которого квадратурная формула точна, т.е. r_N = 0 при f(х) = P_M(х):

     f(х) = P_M(х) = a₀ + a₁х + a₂х² + ... + a_Mх^M,

     где a_i — коэффициенты. В этом случае получим

     

     Приравнивая выражения в обеих частях равенства при a_j, получим