1          0                  1           0                  1          0                  1               0  

        111           110            101          100         011             010         001        000

      Рис.1. Дерево для полного двоичного  кода при n = 3 

      Дерево  помехоустойчивого кода строится на основе дерева полного кода путем  вычеркивания запрещенных кодовых  комбинаций. Для дерева неравномерного кода используется взвешенный граф, при этом на ребрах дерева указываются вероятность переходов. Представление кода в виде кодового дерева используется, например, в кодах Хаффмена.

      4.3 Представление кодов в виде многочленов

      Представление кодов в виде полиномов основано на подобии (изоморфизме) пространства двоичных n - последовательностей и пространства полиномов степени не выше n - 1.

      Код для любой системы счисления  с основанием Х может быть представлен в виде: 

      G (x) = a_n-1 x^n-1+ a_n-2 x^n-2+... + a₁ x+ a₀ = , 

      где а_i - цифры данной системы счисления (в двоичной 0 и 1);

      х - символическая (фиктивная) переменная, показатель степени которой соответствует номерам разрядов двоичного числа_-

      Например: Кодовая комбинация 1010110 может быть представлена в виде: 

      G (x) =1×x⁶+0×x⁵+1×x⁴+0×x³+1×x²+1×x¹+0×x⁰ =x⁶+x⁴+x²+x=10101 

      При этом операции над кодами эквивалентны операциям над многочленами. Представление  кодов в виде полиномов используется например, в циклических кодах.

      4.4 Геометрическое представление кодов

      Любая комбинация n - разрядного двоичного кода может быть представлена как вершина n - мерного единичного куба, т.е. куба с длиной ребра равной 1. Для двухэлементного кода (n = 2) кодовые комбинации располагаются в вершинах квадрата. Для трехэлементного кода

      (n = 3) - в вершинах единичного куба (рис.2).

      В общем случае n мерный куб имеет 2ⁿ вершин, что соответствует набору кодовых комбинаций 2^n. 

      n = 2 n = 3

      Рис.2. Геометрическая модель двоичного кода 

      Геометрическая  интерпретация кодового расстояния. Кодовое расстояние - минимальное число ребер, которое необходимо пройти, чтобы попасть из одной кодовой комбинации в другую. Кодовое расстояние характеризует помехоустойчивость кода.

5. Международные системы байтового кодирования.

      ^И

нформатика  и ее приложения интернациональны. Это связано как с объективными потребностями человечества в единых правилах и законах хранения, передачи и обработки информации, так и с тем, что в этой сфере деятельности (особенно в ее прикладной части) заметен приоритет одной страны, которая благодаря этому получает возможность «диктовать моду».

      Компьютер считают универсальным преобразователем информации. Тексты на естественных языках и числа, математические и специальные символы - одним словом все, что в быту или в профессиональной деятельности может быть необходимо человеку, должно иметь возможность быть введенным в компьютер.

      В силу безусловного приоритета двоичной системы счисления при внутреннем представлении информации в компьютере кодирование «внешних» символов основывается на сопоставлении каждому из них определенной группы двоичных знаков. При этом из технических соображений и из соображений удобства кодирования-декодирования следует пользоваться равномерными кодами, т.е. двоичными группами равной длины.

      Попробуем подсчитать наиболее короткую длину  такой комбинации с точки зрения человека, заинтересованного в использовании лишь одного естественного алфавита - скажем, английского: 26 букв следует умножить на 2 (прописные и строчные) - итого 52; 10 цифр, будем считать, 10 знаков препинания; 10 разделительных знаков (три вида скобок, пробел и др.), знаки привычных математических действий, несколько специальных символов (типа #, $, & и др.) — итого ~ 100. Точный подсчет здесь не нужен, поскольку нам предстоит решить простейшую задачу: имея, скажем, равномерный код из групп по N двоичных знаков, сколько можно образовать разных кодовых комбинаций. Ответ очевиден К = 2N. Итак, при N = 6 К = 64 - явно мало, при N = 7 К = 128 - вполне достаточно.

      Однако, для кодирования нескольких (хотя бы двух) естественных алфавитов (плюс все отмеченные выше знаки) и этого недостаточно. Минимально достаточное значение N в этом случае 8; имея 256 комбинаций двоичных символов, вполне можно решить указанную задачу. Поскольку 8 двоичных символов составляют 1 байт, то говорят о системах «байтового» кодирования.

      Наиболее распространены две такие системы: EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) и ASCII (American Standard Information Interchange).

      Первая - исторически тяготеет к «большим»  машинам, вторая чаще используется на мини- и микро-ЭВМ (включая персональные компьютеры). Ознакомимся подробнее  именно с ASCII, созданной в 1963 г.

      В своей первоначальной версии это - система  семибитного кодирования. Она ограничивалась одним естественным алфавитом (английским), цифрами и набором различных символов, включая «символы пишущей машинки» (привычные знаки препинания, знаки математических действий и др.) и «управляющие символы». Примеры последних легко найти на клавиатуре компьютера: для микро-ЭВМ, например, DEL - знак удаления символа.

      В следующей версии фирма IBM перешла  на расширенную 8-битную кодировку. В  ней первые 128 символов совпадают  с исходными и имеют коды со старшим битом равным нулю, а остальные коды отданы под буквы некоторых европейских языков, в основе которых лежит латиница, греческие буквы, математические символы (скажем, знак квадратного корня) и символы псевдографики. С помощью последних можно создавать таблицы, несложные схемы и др.

      Для представления букв русского языка (кириллицы) в рамках ASCII было предложено несколько версий. Первоначально был разработан ГОСТ под названием КОИ-7, оказавшийся по ряду причин крайне неудачным; ныне он практически не используется.

      В табл. 1.9 приведена часто используемая в нашей стране модифицированная альтернативная кодировка. В левую часть входят исходные коды ASCII; в правую часть (расширение ASCII) вставлены буквы кириллицы взамен букв, немецкого, французского алфавитов (не совпадающих по написанию с английскими), греческих букв, некоторых спецсимволов.

      Знакам  алфавита ПЭВМ ставятся в соответствие шестнадцатиричные числа по правилу: первая - номер столбца, вторая - номер  строки. Например: английская 'А' - код 41, русская 'и' - код А8. 

      Таблица 1.9

      Таблица кодов ASCII (расширенная)

      Одним из достоинств этой системы кодировки  русских букв является их естественное упорядочение, т.е. номера букв следуют друг за другом в том же порядке, в каком сами буквы стоят в русском алфавите. Это очень существенно при решении ряда задач обработки текстов, когда требуется выполнить или использовать лексикографическое упорядочение слов.

      Из  сказанного выше следует, что даже 8-битная кодировка недостаточна для кодирования  всех символов, которые хотелось бы иметь в расширенном алфавите. Все препятствия могут быть сняты при переходе на 16-битную кодировку Unicode, допускающую 65536 кодовых комбинаций.