Определение наилучших коэффициентов входящих в эмпирическую формулу производят хорошо известными аналитическими методами.

     Для того, чтобы найти набор коэффициентов  , которые доставляют минимум функции S , определяемой формулой (2.1.2), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных.  В результате получим нормальную систему для определения коэффициентов :

                                    (2.1.3)

Таким образом, нахождение коэффициентов  сводится к решению системы (2.1.3).

     Эта система упрощается, если эмпирическая формула (2.1.1) линейна относительно параметров , тогда система (2.1.3) - будет линейной.

     Конкретный  вид системы (2.1.3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (2.1.1). В случае линейной зависимости система (2.1.3) примет вид:

                   (2.1.4)

     Эта линейная система может быть решена любым известным методом (методом Гаусса, простых итераций, формулами Крамера).

     В случае квадратичной зависимости  система (2.1.3) примет вид:

                                  (2.1.5)

2.2 Линеаризация экспоненциальной  зависимости.

     В ряде случаев в качестве эмпирической формулы берут функцию в которую  неопределенные коэффициенты  входят нелинейно. При этом иногда задачу удается  линеаризовать, т.е. свести к линейной. К числу таких зависимостей относится экспоненциальная зависимость

                                                           (2.2.1)

где и неопределенные коэффициенты.

     Линеаризация  достигается путем логарифмирования равенства (2.2.1), после чего получаем соотношение

                                                       (2.2.2)

     Обозначим и соответственно через и , тогда зависимость (2.2.1) может быть записана в виде , что позволяет применить формулы (2.1.4) с заменой на и на .

2.3 Элементы теории корреляции.

     График  восстановленной функциональной зависимости  по результатам измерений называется кривой регрессии. Для проверки согласия построенной кривой регрессии с результатами эксперимента обычно вводят следующие числовые характеристики: коэффициент корреляции (линейная зависимость), корреляционное отношение и коэффициент детерминированности. При этом результаты обычно группируют и представляют в форме корреляционной таблицы. В каждой клетке этой таблицы приводятся численности тех пар , компоненты которых попадают в соответствующие интервалы группировки по каждой переменной. Предполагая длины интервалов группировки (по каждой переменной) равными между собой, выбирают центры (соответственно ) этих интервалов и числа в качестве основы для расчетов.

Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между зависимыми случайными величинами: он показывает, насколько хорошо в среднем может быть представлена одна из величин в виде линейной функции от другой.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

,                                              (2.3.1)

где    , и ¾ среднее арифметическое значение соответственно по x и y.

     Коэффициент корреляции между случайными величинами по абсолютной величине не превосходит 1. Чем ближе к 1, тем теснее линейная связь между x и y.

     В случае нелинейной корреляционной связи  условные средние значения располагаются  около кривой линии. В этом случае в качестве характеристики силы связи  рекомендуется использовать корреляционное отношение, интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости.

Корреляционное  отношение вычисляется по формуле:

,                                                 (2.3.2)

где , а числитель характеризует рассеяние условных средних около безусловного среднего .

     Всегда  . Равенство соответствует некоррелированным случайным величинам; тогда и только тогда, когда имеется точная функциональная связь между y и x. В случае линейной зависимости y от x корреляционное отношение совпадает с квадратом коэффициента корреляции. Величина используется в качестве индикатора отклонения регрессии от линейной.

     Корреляционное  отношение является мерой корреляционной связи y с x в какой угодно форме, но не может дать представления о степени приближенности эмпирических данных к специальной форме. Чтобы выяснить насколько точно построенная кривая отражает эмпирические данные вводится еще одна характеристика ¾ коэффициент детерминированности.

     Для его описания рассмотрим следующие  величины. - полная сумма квадратов, где среднее значение .

     Можно доказать следующее равенство

.

     Первое  слагаемое равно  и называется остаточной суммой квадратов. Оно характеризует отклонение экспериментальных данных от теоретических.

     Второе слагаемое равно и называется регрессионной суммой квадратов и оно характеризует разброс данных.

     Очевидно, что справедливо следующее равенство  .

     Коэффициент детерминированности определяется по формуле:

      .                                                 (2.3.3)

     Чем меньше остаточная сумма квадратов  по сравнению с общей суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности  , который показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощью регрессионного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными. Если он равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, т.е. нет различия между фактическим и оценочным значениями  y. В противоположном случае, если коэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии неудачно для предсказания значений y.

     Коэффициент детерминированности всегда не превосходит  корреляционное отношение. В случае когда выполняется равенство то можно считать, что построенная эмпирическая формула наиболее точно отражает эмпирические данные.

 

3. Расчет коэффициентов  аппроксимации в  Microsoft Excel.

 

Вариант №22 

Функция y=f(x) задана таблицей 1

Таблица 1

Исходные  данные.

     Требуется выяснить - какая из функций - линейная, квадратичная или экспоненциальная наилучшим образом аппроксимирует функцию заданную таблицей 1.

     Решение.

     Поскольку в данном примере каждая пара значений встречается один раз, то между и существует функциональная зависимость.

     Для проведения расчетов данные целесообразно  расположить в виде таблицы 2, используя  средства табличного процессора Microsoft Excel.

 

      Таблица 2

      Расчет сумм. 

Поясним как таблица 2 составляется. 

     Шаг 1. В ячейки A2:A26 заносим значения .

     Шаг 2. В ячейки B2:B26 заносим значения .

     Шаг 3. В ячейку C2 вводим формулу =A2^2.

     Шаг 4. В ячейки C3:C26 эта формула копируется.

     Шаг 5. В ячейку D2 вводим формулу =A2*B2.

     Шаг 6. В ячейки D3:D26 эта формула копируется.

     Шаг 7. В ячейку F2 вводим формулу =A2^4.

     Шаг 8. В ячейки F3:F26 эта формула копируется.

     Шаг 9. В ячейку G2 вводим формулу =A2^2*B2.

     Шаг 10. В ячейки G3:G26 эта формула копируется.

     Шаг 11. В ячейку H2 вводим формулу =LN(B2).

     Шаг 12. В ячейки H3:H26 эта формула копируется.

     Шаг 13. В ячейку I2 вводим формулу =A2*LN(B2).

     Шаг 14. В ячейки I3:I26 эта формула копируется. 

Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования . 

     Шаг 15. В ячейку A27 вводим формулу =СУММ(A2:A26).

     Шаг 16. В ячейку B27 вводим формулу =СУММ(B2:B26).

     Шаг 17. В ячейку C27 вводим формулу =СУММ(C2:C26).

     Шаг 18. В ячейку D27 вводим формулу =СУММ(D2:D26).

     Шаг 19. В ячейку E27 вводим формулу =СУММ(E2:E26).

     Шаг 20. В ячейку F27 вводим формулу =СУММ(F2:F26).

     Шаг 21. В ячейку G27 вводим формулу =СУММ(G2:G26).

     Шаг 22. В ячейку H27 вводим формулу =СУММ(H2:H26).

     Шаг 23. В ячейку I27 вводим формулу =СУММ(I2:I26).

 

      Аппроксимируем функцию  линейной функцией . Для определения коэффициентов и воспользуемся системой

     Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные  в ячейках A27, B27, C27 и D27, запишем систему в виде

решив которую, получим  и .

     Таким образом, линейная аппроксимация имеет  вид  .

     Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 3.

   Таблица 3

Результаты  коэффициентов линейной аппроксимации.

 
 

     В таблице 3 в ячейках A37:B38 записана формула {=МОБР(A33:B34)}.

     В ячейках D37:D38 записана формула {=МУМНОЖ(A37:B38;C33:C34)}.

 

     Далее аппроксимируем функцию квадратичной функцией . Для определения коэффициентов , и воспользуемся системой

     

     Используя итоговые суммы таблицы 2,

расположенные в ячейках A27, B27, C27, D27, E27, F27 и G27 запишем  систему в виде

решив которую, получим  , и .

     Таким образом, квадратичная аппроксимация имеет вид

.

     Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 4.

      Таблица 4

Результаты  коэффициентов квадратичной аппроксимации.

 

     В таблице 4 в ячейках E38:G40 записана формула {=МОБР(E33:G35)}.

     В ячейках I38:I40 записана формула {=МУМНОЖ(E38:G40;H33:H35)}.

     Теперь  аппроксимируем функцию  экспоненциальной функцией . Для определения коэффициентов и прологарифмируем значения и используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A27, C27, H27 и I27 получим систему