Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

Министерство образования  Российской Федерации

Санкт-Петербургский  государственный горный институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

по дисциплине                                    Информатика

^{(наименование  учебной дисциплины согласно учебному плану)}

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

Тема:               Аппроксимация функции методом  наименьших квадратов 

 

 

 

Автор: студент гр.   ТПП-02-2        _______________         //

                 ^{(подпись)                  (Ф.И.О.)}

 

 

 

ОЦЕНКА: _____________

 

Дата: ___________________

ПРОВЕРИЛ

 

Руководитель проекта   _доцент__   ________________     /_Журов Г.Н./

            ^{(должность)   (подпись)                      (Ф.И.О.)}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cанкт - Петербург

2003

Министерство образования Российской Федерации
Санкт-Петербургский  государственный горный институт им Г.В. Плеханова (технический университет)
		УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой   Доц.Прудинский Г. А.      /_________ / "___"__________2005г.

 

 

Кафедра Информатики и компьютерной технологии

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

по дисциплине __________________Информатика_______________

^{(наименование  учебной дисциплины  согласно учебному  плану)}

ЗАДАНИЕ

 

студенту группы          АПМ-03                                Никифорову М.Н.

  ^{(шифр группы)                                     (Ф.И.О.)}

1.Тема проекта: Аппроксимация  функции методом наименьших квадратов  с помощью языка программирования  Turbo Pascal 7.0 и электронных таблиц Microsoft EXCEL.

2.Исходные данные: Вариант №7, табличные данные.

3.Содержание пояснительной записки:  Пояснительная записка включает  в себя задание на выполнение  курсовой работы, титульный лист, аннотацию, оглавление, введение, собственно  текст пояснительной записки,  заключение, список используемой  литературы.

4. Перечень графического материала:  Графики функций.

5. Срок сдачи законченного проекта:  30.11.2005 год.

Руководитель проекта      доцент            ___________                 Головенчиц Н.Я.

                                                       (должность)                       (подпись)                                                (Ф.И.О.)

 

Дата выдачи задания: 22.09.2005 г.

 

 

 

 

 

 

Аннотация.

Пояснительная записка представляет собой отчёт о выполнении курсовой работы. В ней рассматриваются  вопросы построения эмпирических формул методом наименьших квадратов (МНК) средствами пакета Microsoft Excel  и решение данной задачи в Turbo Pascal 7.0. По окончании выполнения работы необходимо решить, каким методом задача решается лучше всего, а также определить каким средством это легче сделать: посредством Microsoft Excel или Turbo Pascal 7.0.

Abstract.

The explanatory note represents the report on performance of course work/ In it (her) questions of construction of empirical formulas by a method of least squares means of package Microsoft Excel and the decision of the given problem in Turbo Pascal 7.0 are considered. Upon termination of performance of work it is necessary to solve, what method the problems solved in the best way end also to define what means it more easy to make: by means of Microsoft Excel or Turbo Pascal 7.0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Целью курсовой работы является углубление знаний по информатике, развитие и закрепление  навыков работы с табличным процессором Microsoft Excel и применение  их  для решения задач с помощью ЭВМ из предметной области, связанной с исследованиями. 

В каждом задании формулируются  условия задачи, исходные данные, форма  выдачи результатов, указываются основные математические зависимости для  решения задачи. В соответствии с  методом решения задачи разрабатывается  алгоритм решения, который представляется в графической форме. Разработанная программа проходит этап отладки, в процессе которого обнаруживаются ошибки, допущенные при составлении алгоритма и написании программы. Контрольный расчет позволяет убедится в правильности работы программы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Постановка задачи.

1. Используя метод наименьших  квадратов функцию  , заданную таблично,

    аппроксимировать 

а) многочленом первой степени  ;

б) многочленом второй степени ;

в) экспоненциальной зависимостью .

2. Для каждой зависимости вычислить  коэффициент детерминированности.

3. Вычислить коэффициент корреляции (только в случае а).

4. Для каждой зависимости построить  линию тренда.

5. Используя функцию ЛИНЕЙН вычислить  числовые характеристики зависимости  от .

6. Сравнить свои вычисления с  результатами, полученными при помощи  функции ЛИНЕЙН.

7. Сделать вывод, какая из  полученных формул наилучшим образом аппроксимирует функцию .

8. Написать программу на одном  из языков программирования и  сравнить результаты счета с  полученными выше.

Вариант 6. Функция  задана  табл. 1.

 

                                                                                                         Таблица 1.

 

X	y	x	y	X	Y	x	y	x	y
0,01	3,08	3,82	13,2	6,32	21,32	9,41	32,98	13,22	38,76
1,34	7,67	4,68	15,75	6,96	23,86	10,11	33,97	13,88	42,76
2,09	9,65	4,97	17,98	7,51	24,53	10,76	36,54	14,76	45,86
2,87	11,61	5,45	18,86	8,66	28,56	11,44	38,65	15,54	49,06
3,44	12,09	5,87	20,28	9,08	31,94	12,39	39,99	16,23	51,98

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчётные формулы.

Часто при анализе  эмпирических данных возникает необходимость  найти функциональную зависимость между величинами x и y, которые получены в результате опыта или измерений.

Х_i (независимая величина) задается экспериментатором, а y_i , называемая эмпирическими или опытными значениями получается в результате опыта.

Аналитический вид функциональной зависимости, существующей  между величинами x и y обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача - найти эмпирическую формулу

                  ,                                                                                   (1)

(где - параметры), значения которой при возможно мало отличались бы от опытных значений .

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции

                                                                (2)

будет минимальной.

Используя необходимое  условие экстремума функции нескольких переменных – равенство нулю частных производных, находят набор коэффициентов , которые доставляют минимум функции , определяемой формулой (2) и получают нормальную систему для определения коэффициентов :

                                                                                          (3)                                               

Таким образом, нахождение коэффициентов  сводится к решению системы (3).

Вид системы (3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (1). В случае линейной зависимости система (3) примет вид:

                                                                                      (4)

В случае квадратичной зависимости  система (3) примет вид:

                                                                       (5)          

В ряде случаев в качестве эмпирической формулы берут функцию  в которую неопределенные коэффициенты входят не линейно. При этом иногда задачу удается линеаризовать т.е. свести к линейной. К числу таких  зависимостей относится экспоненциальная зависимость  

                                                                                                                       (6)                                                                                                              где a₁и a₂ неопределенные коэффициенты.

Линеаризация достигается  путем логарифмирования равенства (6), после чего получаем соотношение 

                                                                                                             (7)                                                                                                     

Обозначим и соответственно через и , тогда зависимость (6) может быть записана в виде , что позволяет применить формулы (4) с заменой a₁ на и на .

График восстановленной  функциональной зависимости y(x) по результатам измерений (xi, yi), i=1,2,…,n называется кривой регрессии. Для проверки согласия построенной кривой регрессии с результатами эксперимента обычно вводят следующие числовые характеристики: коэффициент корреляции (линейная зависимость), корреляционное отношение и коэффициент детерминированности.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

                                                                                  (8)

                                                                                                      (9)

где - среднее арифметическое значение соответственно по  x, y.

Коэффициент корреляции между случайными величинами по абсолютной величине не превосходит 1. Чем ближе к 1, тем теснее линейная связь между x и y.

В случае нелинейной корреляционной связи условные средние  значения располагаются около кривой линии. В этом случае в качестве характеристики силы связи рекомендуется использовать корреляционное отношение, интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости.

Корреляционное отношение  вычисляется по формуле:

                                                                                            (10)                                                             

где а числитель характеризует рассеяние условных средних около безусловного среднего .

Всегда . Равенство = соответствует случайным некоррелированным величинам; = тогда и только тогда, когда имеется точная функциональная связь между x и y. В случае линейной зависимости y от x корреляционное отношение совпадает с квадратом коэффициента корреляции. Величина используется в качестве индикатора отклонения регрессии от линейной.