Треугольники

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

  

Если все три угла острые ( рис.20 ), то это остроугольный треугольник. Если один из углов прямой ( C, Fig.21 ), то это прямоугольный треугольник; стороны a, b, образующие прямой угол, называются катетами; сторона  c, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из углов тупой ( B, Fig.22 ), то это тупоугольный треугольник.

 
Треугольник ABC ( рис.23 ) - равнобедренный, если две его стороны равны ( a = c ); эти равные стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник ABC ( рис.24 ) – равносторонний, если все его стороны равны ( a = b = c ). В общем случае ( a b c ) мы имеем неравносторонний треугольник.   

Основные  свойства треугольников. В любом треугольнике:  

 

1.  Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.  

2.  Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.    

 В частности,  все углы в равностороннем треугольнике равны.  

3.  Сумма углов треугольника равна 180 º .      

 Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем     

  треугольнике равен  60 º.  

4.  Продолжая одну из сторон треугольника (AC, рис.25), получаем внешний     

  угол  BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,     

  не смежных с  ним:  BCD = A + B.    

5.  Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше  

    их разности ( a < b + c,  a > b – c;  b < a + c,  b > a – c;  c < a + b,  c > a – b ).  

Признаки  равенства треугольников.    

Треугольники  равны, если у них соответственно равны:   

       a)  две стороны и угол между ними;   

b)  два угла и прилегающая к ним сторона;  

c)  три стороны.   

Признаки  равенства прямоугольных  треугольников.    

Два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:

1)  равны их катеты;

2)  катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;

3)  гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;

4)  катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;

5)  катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.  

Замечательные линии и точки  в треугольнике.   

Высота  треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника ( точка O, рис.26 ) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника ( точка O, рис.27 ) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.  

 

 

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника ( AD, BE, CF, рис.28 ) пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.  

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника ( AD, BE, CF, рис.29 ) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга (см. раздел «Вписанные и описанные многоугольники»).

  

Биссектриса делит противоположную  сторону на части, пропорциональные прилегающим  сторонам; например, на  рис.29  AE : CE = AB : BC .  

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС ( KO, MO, NO, рис.30 ) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга ( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC ).

  

В остроугольном  треугольнике эта точка лежит  внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном - в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.  

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.  

Доказательство  теоремы Пифагора с очевидностью следует из рис.31. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами  a, b и гипотенузой c.

  

Построим квадрат AKMB, используя гипотенузу AB как сторону. Затем продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтобы получить квадрат CDEF, сторона которого равна  a + b . Теперь ясно, что площадь квадрата CDEF равна ( a + b ) ². С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB, то есть                                  

                                                                            

c ² + 4 ( ab / 2 ) = c ² + 2 ab ,

отсюда, 

c ² + 2 ab = ( a + b ) ² ,

и окончательно имеем:

c ² =  a ² + b ² .   

Соотношение сторон в произвольном треугольнике.                            

 

В общем случае ( для произвольного треугольника ) имеем:                                           

                   

c ² = a ² + b ² – 2ab · cos C,  

где C – угол между сторонами  a  и  b .