Построения одной линейкой

Напротив, если центр данной окружности не известен, то его нельзя построить с помощью одной линейки (то есть, проводя прямые линии), так как центр является полюсом несобственной прямой u, положение же  последней остается произвольным.

 Все эти  важные выводы являются теперь  совершенно очевидными.

После всего  сказанного ясно, что при задании начерченной окружности и ее центра могут быть решены все задачи, разрешимые при заданном квадрате, а так же в других ранее разобранных случаях. Однако, как было впервые было обнаружено Штейнером, задание окружности и ее центра позволяет решить с помощью одной линейки все вообще задачи на построение, для решения которых достаточно проведения прямых линий и окружностей, то есть все задачи, разрешимые линейкой и циркулем.

Этот фундаментальный  результат Штейнера может быть обоснован  следующим образом. Всякое геометрическое построение, выполненное линейкой и циркулем, состоит из ряда операций, в число которых, кроме операций линейкой, то есть проведения прямых линий, могут входить и операции с участием циркуля. Эти последние сводятся в конечном счете к определению точек пересечения: 1)окружности с прямой и 2) двух окружностей.

Предложение Штейнера будет доказано, если будет показано, что обе приведенные выше операции могут быть выполнены одной линейкой при наличии заданной  окружности  с ее центром (Штейнерова окружность). При этом, разуметься, всякая другая окружность, участвующая в построении определяется какими – либо своими данными (например, центром и радиусом), но не может быть вычерчена (так как циркулем пользование исключено).

Обращаясь к  первой операции, предположим, что требуется  построить точки пересечения  окружности, заданной центром О и  точкой А, с данной прямой g .

Так как абсолют  плоскости определяется заданием штейнеровой  окружности, то мы можем при помощи одной линейки построить сколько угодно точек окружности (О , А). для этого находим точку B окружности , гармонически сопряженную с точкой А относительно пары О,N, где через N обозначена несобственная точка прямой ОА. Далее , проводим произвольную прямую через точку А и строим перпендикулярную к ней прямую в точке B. Эта операция так же выполняется одной линейкой, так как абсолютная инволюция вполне определяется штейнеровой окружностью. Точка М пресечения прямых АМ и ВМ принадлежит окружности (О, А). Итак, может быть построено (с помощью одной линейки) сколько угодно точек этой окружности. В таком случае построение точек пересечения последней с прямой g представляет собой задачу, рассмотренную в более общей форме. Как было сказано, задача разрешается одной линейкой при условии задания начерченной кривой второго порядка. Такой кривой в нашем случае является окружность Штейнера.

Переходим ко второй операции. Предположим, что требуется построить точки пересечения окружностей (О’,A’) и (O”,A”). Эта задача может быть сведена к предыдущей, если удастся построить радикальную ось PQ обеих окружностей. В самом деле, тогда искомые точки явятся точками пересечения одной из окружностей с радикальной осью. Покажем, как можно с помощью одной линейки построить точку радикальной оси. Соединим точку A’ первой окружности с точкой A” второй. Найдем точки A”’ и A”” , в которых прямая A’A” вторично пересекает данные окружности. Как мы знаем, построение точек A”’ и A”” может быть выполнено одно линейкой. Таким образом мы будем иметь две соответственные пары точек ( A’,A”’) и (A”,A””) инволюции, образованные на прямой A’A” пучком окружностей с радикальной осью PQ. Радикальная ось PQ окружностей пересекает прямую A’A” в центре О инволюции. Но центр О инволюции может быть построен ( одной линейкой) как точка инволюции, соответственная несобственной точке прямой A’A”. Так может быть построена точка О радикальной оси. Выбрав затем вместо A’A” другую пару точек обеих окружностей (мы знаем, что их можно сколько угодно), найдем вторую точку радикальной оси. Следовательно, задача сведется к определению точек P и Q пересечении одной из окружностей с радикальной осью. Мы уже рассмотрели решение этой задачи при помощи одной линейки, если на плоскости дана окружность Штейнера. Таким образом, предложение Штейнера доказано.            
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ: 
 
 
 
 

Геометрические  построения, или теория геометрических построений - раздел геометрии, где изучают вопросы и методы построения геометрических фигур, используя те или иные элементы построения. Геометрические построения изучаются как в геометрии Евклида, так и в других геометриях, как на плоскости, так и в пространстве. Классическими инструментами построения являются циркуль и линейка (односторонняя математическая), однако, существуют построения другими инструментами: только одним циркулем, только одной линейкой, если на плоскости начерчена окружность и её центр, только одной линейкой с параллельными краями и.т.д. 

В своей курсовой работе я рассмотрела геометрические построения на плоскости, выполняемые  с помощью одной линейки, применила полученные знания при решении практических задач.

Так же рассмотрела построения Штейнера- окружность и ее центр. 

В общем, были изучены построения Штейнера, то есть геометрические построения на плоскости, выполняемые одной линейкой при условии, что задана некоторая вспомогательная фигура (параллельные прямые, квадрат и т.д.). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Литература:

• А. Адлер Теория геометрических построений / Перевод с немецкого Г. М. Фихтенгольца. — Издание третье. — Л.: Учпедгиз, 1940. — 232 с.
• И. И. Александров Сборник геометрических задач на построение. — Издание восемнадцатое. — М.: Учпедгиз, 1950. — 176 с.
• Б. И. Аргунов, М. Б. Балк Геометрические построения на плоскости. Пособие для студентов педагогических институтов. — Издание второе. — М.: Учпедгиз, 1957. — 268 с.
• А. М. Воронец Геометрия циркуля. — М.-Л.: ОНТИ, 1934. — 40 с. — (Популярная библиотека по математике под общей редакцией Л. А. Люстерника).
• В. А. Гейлер Неразрешимые задачи на построение // СОЖ. — 1999. — № 12. — С. 115—118.
• В. А. Кириченко Построения циркулем и линейкой и теория Галуа // Летняя школа «Современная математика». — Дубна: 2005.
• Ю. И. Манин Книга IV. Геометрия // Энциклопедия элементарной математики. — М.: Физматгиз, 1963. — 568 с.
• Ю. Петерсен Методы и теории решения геометрических задач на построение. — М.: Типография Э. Лисснера и Ю. Романа, 1892. — 114 с.
• В. В. Прасолов Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. — М.: Наука, 1992. — 80 с. — (Популярные лекции по математике).
• Я. Штейнер Геометрические построения, выполняемые с помощью прямой линии и неподвижного круга. — М.: Учпедгиз, 1939. — 80 с.