Параллельный перенос в пространтсве

 
 
 
 

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ  ПЕРЕНОС В ПРОСТРАНСТВЕ  

Параллельный  перенос перемещает  каждую точку фигуры  или пространства  на одно и то  же расстояние  в одном и том  же направлении.

 
 
 
 

 
Параллельным  переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (х; у;z) фигуры переходит в точку (х + а; y+b; z + c), где числа а, b, с одни и те же для всех точек (х; у; z). Параллельный перенос в пространстве задается формулами

     х' = х + а, у' = у + b, z' = z + c,

      выражающими координаты х', у', z' точки, в которую переходит точка (х; у; z) при параллельном переносе.  

а 

А 

В 

С 

D 

(D) 

(С) 

(А) 

(В)

 
 
 
 

Так  же как и на  плоскости, доказываются  следующие свойства  параллельного переноса:  
 

   1.    Параллельный перенос есть движение. 
2.    При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние. 
3.    При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя). 
4.    Каковы бы ни были точки А и А', существует единственный параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А'.

 
 
 
 

     Задача. Найдите значения а, b, с в формулах параллельного переноса х' = х + а, у' = у + Ь, z' = z + c, если при этом параллельном переносе точка А(1; О; 2) переходит в точку А'(2; 1; О).

      Решение. Подставляя в формулы параллельного переноса координаты точек А и А', т. е. х=1, у = 0, z = 2, x' = 2, y' = 1, z' = 0, получим уравнения, из которых определяются а, b, с:

      2 = 1 + а, 1 = 0 + b, 0 = 2 + с.

      Отсюда а = 1, b = 1, с= —2. Новым для параллельного переноса в пространстве является следующее свойство:

5.    При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.

       Действительно, пусть — произвольная плоскость (рис. 386). Проведем в этой плоскости две пересекающиеся прямые а и b. При параллельном переносе прямые а и b переходят либо в себя, либо в параллельные прямые а' и b'. Плоскость переходит в некоторую плоскость ', проходящую через прямые а' и b'. Если плоскость ' не совпадает с а, то по теореме она параллельна а, что и требовалось доказать.