Кривые и поверхности второго порядка

(4cos2a-sin2a+12cosasina)X2+(4sin2a-cos2a-12sinacosa)+(-8cosasina-2cosasina+12cos2a-12sin2a)XZ+6Y+ =0                                  (4.6)

Найдём угол a такой, что коэффициент при XZ будет  равен нулю:

-8cosasina-2cosasina+12cos2a-12sin2a=0

6tg2a+5tga-6=0

D = 25+144 = 169 = 132

Откуда следует, что tga =   или tga =  . Возьмём tga =  . Тогда найдём cosa= = , sina= . Подставим найдённые значения в уравнение (4.6):

( )X2+( )Z2+( )XZ+6Y+ =0

                                                                 (4.7)

- это каноническое уравнение поверхности (4.1). Оно имеет сдвиг по оси O'Y на (- ).

3. Исследование  формы поверхности методом сечений

Проведём исследование графика уравнения (4.7) методом сечения плоскостями.

Рассмотрим линии  , полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями Y=h. Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнения проекций линий   на плоскость ZO'X имеют вид:

:

Рассмотрим три  случая:

Если h +  >0, h > , запишем полученное уравнение в виде:

                                     (4.8) 

Уравнение (4.8) задаёт гиперболы с центрами в точках (0, h ,0).

Полуоси гипербол:

a =   - действительная полуось, b =  - мнимая полуось, увеличиваются с увеличением h. При различных значениях h получим семейство соответствующих гипербол:

h = 1           a= ;      b= ;     

h=2             a= ;     b= ;     

h=3             a= ;     b= ;     

Изобразим данные гиперболы на рисунке:

Если h +  =0, h = , запишем полученное уравнение в виде:

или 

Данное уравнение  задаёт две пересекающиеся прямые. Изобразим их на рисунке:

Если h +  < 0, h< , запишем полученное уравнение в виде:

Данное уравнение  задаёт сопряжённые гиперболы с центрами в точке (0, h, 0).

Полуоси гипербол:

a= - действительная полуось, b= - мнимая полуось, увеличиваются с увеличением | h |.

При различных  значениях h получаем семейство соответствующих  гипербол:

h=-1           a= ;     b= ;     

h=-2           a= ;     b= ;     

h=-3           a= ;     b= ;     

Изобразим данные гиперболы на рисунке:

 

Рассмотрим линии  , полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями Z=h. Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнения проекций линий   на плоскость XO'Y имеют вид:

:                                  (4.9)

Уравнение (4.9) задаёт параболы, с вершинами в точках V(0,  , h) и параметром

p= . При различных h получим семейство соответствующих парабол:

h = ±1                   :

h = ±2                   :

h = ±3                   :

Изобразим данные параболы на рисунке:

Рассмотрим линии  , полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями X=h. Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнения проекций линий   на плоскость YO'Z имеют вид:

                                             (4.10)

Уравнение (4.10) задаёт параболы, с вершинами в V(h,  ,0) и параметром p= . При различных h получаем семейство соответствующих парабол.

h = ±1                   :

h = ±2                   :

h = ±3          :

Изобразим данные параболы на рисунке:

  

4. Графики  уравнения поверхности

Изобразим поверхность  второго порядка в общеалгебраической и канонической системе координат.

График в общеалгебраической системе координат:

График в канонической системе координат:

  

5. Вывод

Исследовав каноническое уравнение (4.7) гиперболического параболоида, отметим следующее:

1.         Оси O'Z и O'X являются осями симметрии поверхности. Центра симметрии у поверхности нет.

2.         Рассекая поверхность горизонтальными плоскостями Y = h, в сечениях получаем:

h >   - гиперболы с действительными осями, параллельными оси O'Z

h =   - две пересекающиеся прямые

h <   - сопряжённые гиперболы с действительными осями, параллельными оси O'Y

3.         Рассекая поверхность плоскостями Z = h и X = h, в сечениях получаем параболы, с ветвями, направленными вниз (Z = h) или вверх (X = h).

4.         Поверхность гиперболического параболоида бесконечна в направлении всех трёх координатных осей.

 
Список литературы

1.   Копылова Т. В. Аналитическая геометрия. — Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1997.

2.   Ильин В. А., Позняк Г. Д. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1974.