Инверсия на плоскости

 

 

Содержание

     Введение.................................................................................................3

    1.  Вводные понятия…………………………………………………….5

     1.2   Понятие инверсии плоскости……………………………………..6

     2.   Аналитическое выражение инверсии……………………………..9

     3. Образы прямых и окружностей при инверсии…………………..11

   3.1  Инвариантные окружности инверсии……………………………15

    3.2  Свойства углов и расстояний при инверсии…………………….18

   4.   Инверсия и гомотетия ……………………………………………..22

    5. Применение инверсии при решении задач на построение……...25

    5.1 Применение инверсии при решении задач на доказательство…33

    Заключение……………………………………………………………...38

Литература………………………………………………………………39 
Введение

В геометрии основную роль играют различные преобразования фигур. В курсе геометрии более подробно изучаются движения и гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые переводятся в прямые, а окружности в окружности. Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности, и наоборот. При этом утверждение о том, что прямые и плоскости— это окружности и сферы, проходящие через некоторую «идеальную» точку, называемую «бесконечно удаленной точкой» может быть заменено на достаточно понятное утверждение о том, что прямые и плоскости представляют собой «окружности и сферы бесконечного радиуса» . Такой подход позволяет дать в применении к задачам элементарной геометрии единообразную методику изучения. Это, прежде всего относится к задачам на построение и к некоторым задачам на доказательство. Следует отметить, что рассмотрение указанных разделов элементарной геометрии без применения инверсии связано с привлечением разнообразных, большей частью искусственных построений, носящих частный характер. Поэтому интересно было бы узнать понятие, свойства инверсии и научиться применять эти знания на практике. Из сказанного вытекает актуальность темы курсовой работы.

Цель  работы – познакомится с понятием инверсии на плоскости, изучить свойства инверсии, рассмотреть связь инверсии и гомотетии, научиться строить образы фигур при инверсии и применять эти знания при решении задач на построение и на доказательство.

Поэтому в процессе выполнения курсовой работы необходимо было решить следующие задачи:

1. Изучить определения, основные свойства инверсии на плоскости.

2. Рассмотреть формулы аналитического выражения инверсии на плоскости.

3. Научиться строить образы точек, прямых и окружностей при инверсии.
4. Изучить свойства углов и расстояний между точками при инверсии.
5. Рассмотреть  связь инверсии и гомотетии.
6. Научиться решать задачи на построение и на доказательство при помощи инверсии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Вводные понятия.

Перед тем как перейти  к изучению инверсии на плоскости  сформулируем определения основных понятий, необходимых для дальнейшего  изложения.

Пусть X и Y - два непустых множества. Если каждому элементу х X ставится в соответствие один-единственный элемент у Y, тo говорят, что задано отображение множества X в множество Y.

Пусть дано отображение f множества X в множество Y. Тогда, если для любых двух различных элементов x₁ и x₂, принадлежащих множеству X, выполняется f(x₁) ≠ f(x₂), то отображение f называется инъективным (или инъекцией).

Отображение f множества X на множество Y называется сюрьективным (или сюрьекцией), если каждый элемент множества Y имеет хотя бы один прообраз.

Отображение называется биекцией множества X на множество Y , если это отображение является инъекцией и сюрьекцией.

Преобразованием множества X называется биекция множества X на себя.

Напомним определение  гомотетии.

Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k≠0 называется преобразование плоскости, которое произвольной точке М ставит в соответствие точку М' такую, что ОМ'=kОМ.

Основное свойство гомотетии: если точка A переходит в A' и B переходит в B' при гомотетии с коэффициентом k, то = k ∙ .

 

Некоторые свойства гомотетии

1. При гомотетии отрезок переходит в отрезок.
2. Гомотетия сохраняет величину углов.
3. Композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами k₁ и k₂,будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом k₁k₂. Преобразование, обратное гомотетии с коэффициентом k будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом .

1.2. Понятие инверсии плоскости.

 

Зададим на плоскости окружность (О, R) и обозначим через Е₀ множество всех точек плоскости без точки О. Каждой точке М множества E₀ поставим в соответствие точку М' так, чтобы она лежала на луче ОМ и

 

ОМ∙ОМ' = R². (1)

 

Получаем преобразование множества Е₀, которое называется инверсией относительно окружности (О, R) или просто инверсией. Окружность (О, R) называется окружностью инверсии, точка О — центром инверсии, а R² — степенью инверсии.

Рассмотрим задачу построения образа точки в данной инверсии.

 

                 Рис. 1

 

Имеется простой способ построения образа M' данной точки M при инверсии. Если точка M лежит вне окружности инверсии, то проведем через нее касательную MT к окружности ω и перпендикуляр из точки T касания на прямую OM (рис. 1). Основание M' этого перпендикуляра и является образом точки M при инверсии относительно окружности. Из подобия треугольников OMT и O T M' имеем: OM:OT = OT:OM', откуда OM • OM' = OT² = R².

Из определения инверсии следует, что в инверсии соответствие между точками множества Е₀ взаимно, поэтому если M→M', то M'→M, т.е. преобразование, обратное данной инверсии, совпадает с той же инверсией. По этой причине образ M точки M' строится в обратном порядке.

Если M ω, то OM • OM = R² и поэтому точка M отображается на себя. Значит, и вся окружность ω инверсии отображается на себя (является множеством неподвижных точек). Других неподвижных точек инверсия не имеет.

Отметим простейшие свойства инверсии, непосредственно вытекающие из определения.

1. Если точка M' инверсна точке M, то и обратно: точка M инверсна точке M'.
2. Если при инверсии фигура Ф преобразуется в фигуру Ф', то фигура Ф' преобразуется в фигуру Ф (Рис. 2).

 

                   Рис. 2

 

3. Каждая точка окружности инверсии инверсна самой себе.
4. Если данная точка лежит вне окружности инверсии, то инверсная ей точка лежит внутри этой окружности, и наоборот.

Это вытекает из равенства (1).

5. Если точка, лежащая вне окружности инверсии, неограниченно удаляется от этой окружности, то инверсная ей точка (внутри базисной окружности) неограниченно приближается к центру инверсии. Верно и обратное предложение.
6. При инверсии луч, исходящий из центра инверсии, преобразуется в себя. При этом часть луча, внутренняя относительно окружности инверсии, преобразуется в его внешнюю часть, и наоборот.

2. Аналитическое выражение инверсии.

 

Зададим прямоугольную декартову  систему координат с началом  в центре O инверсии. Если М(х, у)→М'(x', y'), то =λ при λ>0. При условии ∙ =R², получим λ= .

Эти равенства в координатах  запишутся так:

 

x'=λx, y'=λy, где λ>0; (2)

xx'+yy'=R². (3)

 

Подставив значения x' и y' из равенства (2) в равенство (3), получаем: λ(x²+y²)=R². Так как точка М не совпадает с точкой О, то x²+y²≠0, поэтому λ= . Подставив значение λ в равенство (2), окончательно получаем аналитическое выражение инверсии:

 

x'= , y'= . (4)

 

Так как М'(х', у')→М(х, у) при этой инверсии, то

x= , y= . (5)

 

Как видим, эти формулы  не линейные. Поэтому образом произвольной прямой Ax+By+C=0 при C≠0 не будет прямая линия, т.е. инверсия не является аффинным преобразованием.

Пример 1. Определить пропущенные координаты точек А'(5, ...) и

A(..., 2), если известно, что точка А' является образом точки А при инверсии с центром в начале координат и радиусом инверсии R= 5.

Решение.

Используем формулы, полученные ранее. Учитывая, что О(0, 0) и R = 5 можно записать х= , у = . Подставив известные координаты, легко получить

 

,

 x₁ = 10, у₁' = 2 и х₂ = 2,5, y₂' = 4.

 

Следовательно, эта задача имеет два решения:

1. А'(5, 10), А(1, 2);
2. А'(5, 2,5), А(4, 2).

Пример 2. Пусть центр инверсии совпадает с началом системы координат, а степень инверсии R² = 1. Записать в той же системе координат уравнение образа параболы у - 2рх = 0.

Решение. Подставляя в уравнение параболы х и у из формул аналитического выражения инверсии (5), можно вывести равенство:

                   Рис. 3

.

Умножив это равенство  на , получим: , или . Заменяя х' на х, у' на у, получим: . Откуда . Известно, что уравнение

Рис. 3 определяет и циссоиду Диоклеса. Если R² = 1, то параметр этой кривой равен (рис. 3). 

3. Образы прямых и окружностей при инверсии.

 

Формулы (4) и (5) дают возможность  найти образы прямых и окружностей  при инверсии.

Теорема 1. Прямая, проходящая через центр О инверсии 
(без точки О), переходит в себя, а прямая, не проходящая 
через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через 
центр инверсии.

Доказательство. Первая часть теоремы непосредственно следует из определения инверсии, поэтому докажем только вторую часть теоремы.

Пусть, Ах+Ву+С=0 — уравнение произвольной прямой, не проходящей через центр инверсии. Если в этом уравнении х и у заменить выражениями (5), то получим уравнение образа этой прямой:

 

х'²+у'²+А∙R²x'+B∙R²y'=0.  (6)

 

Этим уравнением задается окружность, проходящая через точку О.

Следствие 1. Если прямая d, не проходящая через центр О инверсии, переходит в окружность (О₁, R), то прямые ОО₁ и d перпендикулярны.

Доказательство. Из уравнения (6) находим координаты центра О₁ окружности (О₁, R): О₁ (- , - ). Таким образом, вектор (- ,- ) перпендикулярен прямой d, заданной уравнением Ах + Ву +1 =0.

Пользуясь следствием 1, легко  указать способ построения образа ω прямой d, не проходящей через центр О инверсии.

Пусть Н — основание перпендикуляра, проведенного из центра О окружности инверсии γ к прямой d, а Н' — образ этой точки (рис. 4, а). Тогда ω есть окружность, построенная на отрезке ОН' как на диаметре. Если прямая d пересекает окружность инверсии γ в двух точках (на рис. 4, б точки А и В), то окружность ω проходит через точки А, В и О.

 

Рис. 4

Теорема 2 . Окружность, проходящая через центр О инверсии (без точки О), переходит в прямую, не проходящую через точку О. Окружность, не проходящая через точку О, переходит в окружность, также не проходящую через точку О, причем точка О лежит на линии центров этих окружностей.

Доказательство. Пусть

 

х² + у² + Ах + Ву + С=0 –  (7)

 

уравнение произвольной окружности ω. Если в этом уравнении х и у заменить их выражениями (5), то получим уравнение образа ω' окружности

 

ω: .

 

Умножив обе части равенства  на (если , то точка О(0, 0) будет принадлежать данной окружности) получим, .

Это уравнение приводится к виду:

 

C(x'² + y'²)+AR²x' + BR²y' + R⁴=0.  (8)

 

Если окружность со проходит через центр инверсии, то C = 0, поэтому уравнением (8) определяется прямая ω', не проходящая через точку О (так как R⁴≠0). Если окружность ω не проходит через точку О, то C≠О, поэтому уравнением (8) определяется окружность ω', не проходящая через центр инверсии. Из уравнений (7) и (8) находим центры окружностей:

(- ,- ) и (- , - ) — эти точки и точка О(0,0) лежат на прямой, заданной уравнением Вх - Ау = 0.

Теорема 3. Если линии ω₁ и ω₂, где ω₁—окружность или прямая, а ω₂ — окружность, касаются друг друга в точке М, отличной от центра инверсии f, то их образы ω₁' и ω₂'также касаются друг друга в точке M'=f(M).

Доказательство. Так как ω₁ и ω₂ касаются друг друга в точке М, то М' — единственная общая точка линий ω₁ и ω₂. Но каждая из этих линий является прямой или окружностью, поэтому они касаются друг друга.

3.1. Инвариантные окружности инверсии.

Ортогональные окружности. Углом между двумя кривыми 
(в частности, между двумя окружностями) называется угол между 
касательными к этим кривым в их общей точке. Две пересекающиеся 
окружности называются ортогональными (друг другу), если касательные к ним в точке пересечения перпендикулярны (рис. 5). Согласно 
свойству касательной к окружности центр каждой из двух ортогональных окружностей лежит на касательной к другой окружности в точке их пересечения.

 

                   Рис. 5

Теорема 4. Окружность γ, ортогональная к окружности инверсии, отображается этой инверсией на себя (инвариантна при инверсии).

Доказательство. Если М — произвольная точка окружности γ и прямая ОМ пересекает окружность γ вторично в точке М', то по свойству секущих ОМ•ОМ'=ОТ²=R², т.е. точки М и М' взаимно инверсны относительно окружности ω (рис. 5). Следовательно, окружность γ отображается на себя.

Теорема 5 (обратная). Если окружность γ, отличная от окружности инверсии, отображается инверсией на себя, то она ортогональна окружности инверсии.