Фрактальна геометрія

ЕКОНОМІКО-ПРАВНИЧИЙ КОЛЕДЖ

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

“ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ”

МІНІСТЕРСТВА ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Тези

До наукової роботи

з дисципліни “Математика”

на тему: “Фрактальна геометрія”

                                                                       Виконав:

                                                                       студент гр. К 5111

                                                                      (Розробка програмного забезпечення)

                                                                      Фесечко Яків Михайлович

                                                                      Перевірив:

                                                                      Викладач математики ЕПК ЗНУ

                                                             Калашникова Наталія Юріївна

Запоріжжя 2012

Все, що створено людиною, обмежено площинами. Коли зустрічається об’єкт у природі, то спочатку можна побачити, що описати його форму можна лише наближено й допоможуть в цьому фрактали. Де закінчуються правильні форми Евклідової геометрії, там зустрічаються фрактали.

Фракта́л (лат. fractus — подрібнений, дробовий) – нерегулярна, самоподібна структура. У широкому розумінні фрактал означає фігуру, малі частини якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої

Фрактали можна охарактеризувати за 2ма основними ознаками: Типом самоподібності

та розмірністю.

Термін само подібність  характеризує ступінь подібності частин фрактала при різних збільшеннях

Існує три типи самоподібності

Точна самоподібність — це найсильніший тип самоподібності; фрактал виглядає однаково при різних збільшеннях.

Майже самоподібність — слабка форма самоподібності; фрактал виглядає приблизно (але не точно) самоподібним при різних збільшеннях. Майже самоподібні фрактали містять малі копії цілого фракталу у перекручених та вироджених формах.

Статистична самоподібність — це найслабкіша форма самоподібності; фрактал має чисельні або статистичні міри, що зберігаються при збільшенні.

Розмірність

У евклідової геометрії є поняття розмірності: розмірність крапки — нуль, відрізка та кола — одиниця, круга і сфери — два, кулі — три. З одновимірними об'єктами ми пов'язуємо поняття довжини, з двовимірними - площі і так далі. Але як можна уявити собі множину з розмірністю 3/2? Мабуть, для цього потрібно щось проміжне між довжиною і площею, і якщо довжину умовно назвати 1-мірою, а площа - 2-мірою, то потрібна (3/2) -міра.

Оскільки фрактал складається з нескінченного числа елементів, що повторюються, неможливо точно виміряти його довжину. Це означає, що чим точнішим інструментом ми будемо його вимірювати, тим більшою виявиться його довжина. Тоді як гладка евклідова лінія заповнює в точності одновимірний простір, фрактальна лінія виходить за межі одновимірного простору, вторгаючись у двовимірне. Таким чином, фрактальна розмірність кривої Коха знаходитиметься між 1 і 2. Найдивовижнішим виявляється те, що й багато природних об'єктів володіють ніби дробовою розмірністю, хоча, відверто кажучи, для природних об'єктів таку розмірність обчислити неможливо.

Історія відкриття

Об'єкти, які тепер називаються фракталами, досліджувались задовго до того, як їм було дано таку назву. У 1525 році німецький митець Альбрехт Дюрер опублікував свою працю "Керівництво Художника", один із розділів якої має назву "Черепичні шаблони, утворені пентагонами".. Джексон Поллок (американський експресіоніст 50-тих років) малював об'єкти, дуже схожі на фрактали.

У 1904 Хельга Фон Кох, розробив більш геометричне означення схожої функції, яка тепер має назву сніжинки Коха. Ідею самоподібних кривих, котрі складаються із частин, схожих на ціле, було далі розвинено Полем П'єром Леві, який у своїй роботі "Криві та поверхні на площині та у просторі", виданій 1938 року, описав нову фрактальну криву, відому тепер як Крива Леві

Ґеорг Кантор навів приклади підмножин дійсних чисел із незвичними властивостями — ці множини Кантора тепер також визнаються як фрактали.

1977р вихід « Фрактальної геометрії природи»

У 1975 році Мандельброт використав слово фрактал як назву для об'єктів, розмірність Хаусдорфа яких є більшою за топологічну розмірність, наприклад Крива Хильберта

Застосування.

Генерація зображень природних об'єктів

Геометричні фрактали застосовуються для отримання зображень дерев, кущів, берегових ліній тощо. Алгебричні та стохастичні — для побудови ландшафтів, поверхні морів, моделей біологічних та інших об'єктів.

Механіка рідин

Фракталами добре описуються такі процеси та явища, що стосуються механіки рідин і газів:динаміка та турбулентність складних потоків;моделювання полум'я;

пористі матеріали, у тому числі в нафтохімії.

Біологія моделювання популяцій; біосенсорні взаємодії; процеси всередині організму, наприклад, биття серця

.

Фрактальні антени

Фрактальну геометрію для проектування антенних пристроїв було вперше застосовано американським інженером Натаном Коеном, який тоді жив у центрі Бостона, де було заборонено встановлювати зовнішні антени на будинках. Натан вирізав з алюмінієвої фольги фігуру у формі кривої Коха та наклеїв її на аркуш паперу, а потім приєднав до приймача. Виявилось, що така антена працює не гірше за звичайну. Й хоча фізичні принципи роботи такої антени не вивчено досі, це не завадило Коену заснувати власну компанію й налагодити їхній серійний випуск.