Аксиомы геометрии

 
 
 
 

Аксиомы

стереометрии 

Теорема 1.1

 
 
 
 

Геометрия 

Планиметрия 

Стереометрия  

stereos  

телесный, твердый, объемный, пространственный

 
 
 
 

Стереометрия. 

• Раздел  геометрии,  в  котором 

 изучаются свойства  фигур 

 в  пространстве. 

Основные фигуры в пространстве: 

А 

Точка. 

а 

Прямая. 

Плоскость.

 
 
 
 

A,  B, C, … 

a,  b, c, … 

или 

AВ,  BС, CD, …

 
 
 
 

Аксиома 

(от греч.  axíõma – принятие положения) 
 

исходное  положение научной  теории, принимаемое  без доказательства

 
 
 
 

С1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей 

Из  планиметрии:

I1

     Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. 

α 

А

В

 
 
 
 

С2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой проходящей через эту точку. 
 

Из  планиметрии:

Теорема 1.1

Две  различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в  одной точке. 

А

α 

β

 
 
 
 

С3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.  
(это первый способ задания плоскости) 

    Из планиметрии:

   I2

     Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну 

α 

А

а

в

 
 
 
 

Существование  плоскости проходящей через данную  прямую и данную плоскость. 
(это второй способ задания плоскости) 

Т1.1

     Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. 

α 

А

В

С

 
 
 
 

Дано:

АВ  – прямая

С  не принадлежит  АВ

Доказать:

1) Существование а, проходящей через АВ и С

2) а - единственная 

Доказательство:

• Проведем через А и С прямую(по I2)

2)       Прямые  АВ и АС различны,  т.к. С не принадлежит  АВ

• По С3 через АВ и АС проведем а
• Докажем, что а – единственная. Предположим, что существует а’, проходящая через АВ и С. По С2 а и а’ пересекутся по прямой, которая должна содержать А, В, С, но они не принадлежат одной прямой

           => мы пришли к противоречию => а – единственная. 

α 

А

В

С