Риск и диверсификация

Посмотрим теперь, как изменяются доход и величина риска при изменении структуры портфеля. Для этого вернемся к формулам (2) и (3) и запишем их только для двух видов бумаг (X и У). Такой анализ вряд ли имеет практическое значение.

Однако с его помощью наглядно демонстрируются последствия "смешения" ценных бумаг с различными доходностью и дисперсией. Для независимых доходов получим

и для зависимых доходов

Причем а = 1 - ах

В этом случае среднее значение суммарного дохода определяется как

Пусть Очевидно, что в силу этих условий рост доли бумаг второго вида увеличивает доходность портфеля. Так, на основе получим

Что касается дисперсии дохода портфеля, то, как, положение не столь однозначно и зависит от знака и степени корреляции. В связи с этим подробно рассмотрим три ситуации: полная положительная корреляция доходов, полная отрицательная корреляция (г = — 1), независимость доходов или нулевая корреляция (г = 0).

В первом случае увеличение дохода за счет включения в портфель бумаги вида Y помимо X сопровождается ростом как дохода, так и дисперсии. Для портфеля, содержащего оба вида бумаг, квадратическое отклонение находится в пределах из бумаг вида X, а Y — портфель из бумаг вида У).

Для частного случая, когда . Иначе говоря, при полной положительной корреляции "смешение" инвестиций не окажет никакого влияния на величину дисперсии.

При полной отрицательной корреляции доходов динамика квадратического отклонения доходов от портфеля более сложная. По мере движения от точки точке Y эта величина сначала сокращается и доходит до нуля в точке В, затем растет (см. рис 4).

В последней из рассматриваемых ситуаций квадратическое отклонение при увеличении доли бумаги Y проходит точку минимума, равного σ, далее оно растет до σу (см. рис. 5).

Совместим теперь все три графика на одном (см. рис. 6.)

Как видим, все возможные варианты зависимости "доход—   СО" находятся в треугольнике XBY.

                         Рис. 3                                     Рис.4

                             Рис. 5                                                       Рис. 6

Из сказанного непосредственно следует, что эффективность диверсификации (в отношении сокращения риска) наблюдается только при отрицательной или, в крайнем случае, нулевой корреляции.

Продолжим анализ с двумя бумагами и проследим, как влияет включение в портфель безрисковой (risk free) инвестиции. В странах со стабильной экономикой безрисковой обычно считается ценная бумага, выпущенная государственным казначейством.

Для этого заменим в портфеле бумагу Y с параметрами d, а на бумагу с такой же доходностью, но с нулевой дисперсией. Доходность портфеля от такой замены, разумеется, не изменится.

Что же касается дисперсии, то она теперь составит:

Дисперсия дохода портфеля теперь зависит от удельного веса безрисковой составляющей, так как

Таким образом, "разбавление" портфеля безрисковой бумагой снижает риск портфеля в целом, а квадратическое отклонение дохода портфеля определяется убывающей линейной функцией доли безрисковой бумаги. Если (в противном случае проблема выбора портфеля отпадает — он должен состоять только из безрисковых бумаг), то доход от портфеля по мере увеличения доли безрисковой бумаги уменьшается от , а

величина квадратического отклонения сокращается от

(см. рис.7). И наоборот, рост доли рисковой бумаги увеличивает как риск, так и доход.

                                             Рис. 7

Последнее утверждение для портфеля, состоящего из двух видов бумаг, иллюстрируется уравнением,  которое получено преобразованием:

В свою очередь на основе находим

В итоге получим интересное соотношение

Дробь в приведенном выражении иногда рыночной ценой риска. Если эта величина равна, скажем, 0,5, то при росте квадратического отклонения на 1% доход увеличится на 0,5%.

3. Минимизация дисперсии дохода

Приведенные выше выражения для дисперсии суммарного дохода позволяют рассмотреть проблему диверсификации инвестиций и риска еще в одном аспекте, а именно, — определить структуру портфеля, которая минимизирует дисперсию и, следовательно, риск. Для нахождения минимума дисперсии вернемся к определяющим ее формулам. Если предположить, что нет статистической зависимости между доходами от отдельных видов инвестиций, то найти оптимальную в указанном смысл структуру портфеля не так уж и сложно. Положим, что портфель, как и выше, состоит из двух видов бумаг X и Y Их доли в портфеле составляют а дисперсии . Общая дисперсия определяется по формуле . Поскольку эта функция является непрерывной, то применим стандартный метод определения экстремума. Находим, что минимальное значение дисперсии суммы имеет место тогда, когда

Формулу обычно приводят в аналитической финансовой литературе. Однако, чтобы ею можно было воспользоваться, необходимо иметь значения дисперсий. По-видимому, при расчетах на перспективу удобнее оценить или задать экспертным путем отношение дисперсий:

Разделим теперь числитель и знаменатель , получим

При наличии корреляции между показателями доходов обратимся к формуле. Минимум этой функции имеет место в случае,

когда

или, использовав отношение дисперсий , получим

Как видно из приведенных формул, расчетная величина доли одной из бумаг может при некоторых условиях оказаться отрицательной. Отсюда следует, что этот вид бумаги просто не должен включаться в портфель.

Пусть теперь портфель состоит из трех видов бумаг X, Y, Z

Их доли Дисперсия дохода от портфеля при условии независимости доходов от отдельных видов бумаг составит

Минимум дисперсии достигается, если структура портфеля определяется следующим образом:

He будем останавливаться на ситуации, когда доходы трех видов бумаг статистически зависимы. Перейдем к общей постановке задачи и определим структуру портфеля с n составляющими. Допустим, что доходы статистически независимы. Опустим доказательства' и приведем результат в матричном виде:

где е — единичный вектор, характеризующий структуру портфеля,

А — вектор, характеризующий n — 1 элементов структуры портфеля.

Матрица D имеет размерность (n — i) х (n — i).

Заметим, что структуру портфеля, минимизирующую дисперсию дохода, с n составляющими при наличии корреляции определить так же просто, как это было сделано выше, нельзя. Однако решение существует, хотя его получение достаточно хлопотное дело, да и вряд ли оно необходимо для практики.

Анализ диверсификации представляет собой первый этап в исследовании портфеля инвестиций. Следующим является максимизация дохода. Эта проблема также связана с измерением риска и требует обстоятельного специального обсуждения, вы-ходящего за рамки настоящего учебника. Поэтому ограничимся лишь замечанием о том, что метод Г. Марковица, который заключается в разработке и решении специальной модели нелинейного программирования с использованием показателей доходов и дисперсий, в теоретическом плане не вызывает возражений. Что касается его практического применения, то здесь, на наш взгляд, скрыты серьезные подводные камни. Затронем лишь одну проблему — какой срок для расчета дисперсий следует принять во внимание? Если ограничиться небольшим сроком, то получим наиболее приближенные к современности данные. Однако они могут оказаться неустойчивыми, содержать много "шума", с другой стороны, стремление охватить максимальный срок неизбежно приведет к устареванию данных.

Задача .

Ссуда в размере Р руб. выдана на n лет по простой ставке процентов i% годовых. Определить наращенную сумму.

S=P(1+ni)    S=P+I,  (2)              где  I=Pni.        (3)

L=48000*5*0.05=12000

S=48000+12000=60000

Ответ: 60 000 тыс. руб.

Заключение 

Процесс оценки рисков инвестиционных проектов является неотъемлемой частью определения их эффективности. Точный прогноз осуществления инвестиционного проекта невозможен ни при каких обстоятельствах, так как при прогнозировании всегда присутствует неопределённость внешней среды, но существуют специальные методы, которые позволяют не только определить с большей или меньшей точностью множество возможных вариантов развития событий, но и описать поведение предприятия и условия реализации проекта для выделенных ситуаций.

Для оптимизации оценки рисков компании желательно включить в основу определения уровня инвестиционных рисков наиболее популярный метод из категории исследования операций – теория игр, что позволит оценивать максимальные неопределённости.

Также следует откорректировать и оптимизировать определение ставки дисконтирования, используемой на предприятии в соответствии с общей стратегией компании и целями инвестиционных проектов.

Список литературы

1.  Финансовая математика. П. Д. Шимко. Издательство «Высшая школа» 2007 г.

2.  Управление рисками. В. В. Глущенко.

3.  Финансовый менеджмент. Экспресс-курс. 4-е издание. Ю. Бригхэм, Д. Хьюстон. 2008 г.

4.  Финансовые риски. Е. М. Четыркин. 2008 г.

19