Примеры расчетов методами наращивания и дисконтирования

Вексель - это ценная бумага, представляющая собой долговую расписку, выполненную в соответствии с требованиями законодательства, то есть на бланке, содержащем наименование, указание срока платежа, места, в котором должен быть совершен платеж, наименование того, кому платеж должен быть совершен, дата и место составления векселя, подпись векселедателя. Выделяют два основных вида векселя – простые и переводные.

Простой вексель – это документ, удостоверяющий безусловное денежное обязательство векселедателя уплатить по наступлению срока обязательства определенную сумму владельцу векселя.

Переводной вексель (тратта) – документ, который выписывается заемщиком (векселедателем) и представляет собой особый приказ непосредственному плательщику (обычно банку) об уплате в указанный срок суммы денег третьему лицу (векселедержателю).

При учете  векселя применяется банковский, или коммерческий, учет.

Согласно  этому методу проценты за пользование  ссудой в виде дисконта начисляются  на сумму, подлежащую уплате в конце  срока. При этом применяется учетная ставка d.

Размер  дисконта, или суммы учета, равен Snd; если d — годовая учетная ставка, то n измеряется в годах. Таким образом,

P = S - Snd= S(1- nd)

 

где n — срок от момента учета до даты погашения векселя.

Дисконтный множитель равен (1- nd) .

Учет  посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базеК= 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным, АСТ/360.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Наращивание по сложным процентным ставкам

Если  проценты не выплачиваются сразу  после их начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные  проценты. Присоединение начисленных  процентов к сумме базы начисления называют капитализацией процентов.

Применим  те же обозначения, что и в формуле  наращения по простым

процентам.

В конце  первого года проценты равны величине Рi, а наращенная сумма составит Р+ Рi= Р(1 + i). К концу второго года она достигнет величины Р(1 + i) + Р(1 + i)i = Р(1 + i)2 и т.д. В конце n-го года наращенная сумма будет равна S = Р(1 + i)n. (2.1)

Проценты  за этот срок: I =S – P = Р[(1 + i)n – 1].

Величину (1 + i)n называют множителем наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел пприводятся в таблицах сложных процентов.

Время при  наращении по сложной ставке обычно измеряется как АСТ/АСТ.

Часто для  начисления процентов срок не является целым числом.

Применяют три метода начисления процентов.

 Предполагает  начисление процентов за целое  число лет по формуле сложных  процентов и за дробную часть  срока по формуле простых процентов

 В  правилах ряда коммерческих банков  для некоторых операций проценты  начисляются только за целое  число лет или других периодов  начисления.

Для того чтобы сопоставить результаты наращения  по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители  наращения.

При одинаковых уровнях процентных ставок соотношения  этих множителей существенно зависят  от срока. При п> 1 с увеличением срока различие в простых и сложных процентов увеличивается.

При работе со сложными процентами применяют правило 72: если процентная ставка есть i, то удвоение капитала происходит примерно за 72/ i лет.

Например, при ставке в 12% удвоение капитала происходит через 6 лет.

Наращение процентов m раз в году. Номинальная  и эффективная ставки.

В современных  условиях проценты капитализируются, как правило, не

один, а  несколько раз в году — по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневное начисление процентов.

Пусть годовая  ставка равна j, число периодов начисления в году — m.

Каждый  раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной. Формула наращения:

где N=nm— общее количество периодов начисления.

Действительная, или эффективная ставка процента — это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m - разовое начисление процентов по ставке j/m. Она измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год.

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Дисконтирование по сложным процентным ставкам

 

Дисконтирование по сложной ставке процентов — процесс, обратный во времени процессу наращения (компаундинга) по сложной ставке процентов. Если при наращении изменение первоначальной суммы Р происходит дискретно, скачками, в конце очередного периода начисления процентов, то процесс дисконтирования будущей суммы S также происходит скачкообразно, в обратном направлении, со скачком в конце очередного периода дисконтирования. В конце первого периода дисконтирования величина текущей стоимости суммы S равна S/(1+ i_T), в конце второго периода - s/(1+i_T )² и т. д. После п циклов дисконтирования текущая стоимость суммы S равна

 

где v  = 1/(1 + i_T) — дисконтный множитель за период Т.

При начислении процентов т раз в году дисконтный множитель за период равен: v  = l/(l + i^{m)/m). По аналогии с процессом наращения вводится годовой дисконтный множитель v, что, позволяет записать выражение для текущей стоимости в следующем виде:

    

Дисконтирование при непрерывном  начислении процентов также описывается формулой, где время изменяется непрерывно, в отличие от дискретного начисления процентов т раз в год, когда время изменяется дискретно, с шагом 1/т. Очевидно, непрерывная кривая является огибающей для закона дискретного дисконтирования суммы S при любом числе периодов дисконтирования в году исходя из одинаковой эффективной годовой процентной ставки.

Чтобы единым образом описать приведение суммы к определенному моменту  времени, введем, как и в разделе 1.1, множитель приведения, который равен множителю наращения при приведении к будущему моменту времени и дисконтному множителю при приведении к предшествующему (настоящему) моменту времени. Удобно совместить начало шкалы времени с моментом времени, когда задана сумма. Тогда наращению соответствует положительная часть оси времени, а дисконтированию — отрицательная. Множитель приведения для непрерывной процентной ставки можно записать с учетом  в виде                                    

                                        где s(t) — множитель наращения; v(|t|) — дисконтный множитель.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Примеры расчетов методами наращивания и дисконтирования.

Сущность метода наращения (компаундирования) состоит в определении суммы денег, которую будет иметь инвестор в конце операции. Заданными величинами здесь являются исходная сумма инвестиций, срок и процентная ставка доходности, а искомой величиной - сумма средств, которая будет получена после завершения операции. При использовании этого метода исследование денежного потока ведется от настоящего к будущему.

Например, если бы нам нужно было вложить  в банк 1000 тыс. руб., который выплачивает 20 % годовых, то мы рассчитали бы следующие показатели доходности:

за первый год 1000 (1 + 20 %) = 1000 х 1,2 = 1200 тыс. руб.;

за второй год 1200(1 +20%)= 1200х1,2= 1440 тыс. руб.;

за третий год 1440 (1 + 20 %) = 1440 х 1,2 = 1728 тыс. руб.

Это можно  записать и таким образом:

1000 х  1,2 х 1,2 х 1,2 = 1000 х 1,2³ = 1728 тыс. руб.

Данный пример показывает методику определения стоимости инвестиций при использовании сложных процентов. Сумма годовых процентов каждый год возрастает, поэтому имеем  доход как с первоначального капитала, так и с процентов, полученных за предыдущие годы.

Для определения стоимости, которую  будут иметь инвестиции через  несколько лет, при использовании  сложных процентов применяют  следующую формулу:

S = Р (1 + r)^п,

где S - будущая стоимость инвестиций через п лет; Р - первоначальная сумма инвестиций; r - ставка процентов в виде десятичной дроби; п - число лет в расчетном периоде.

Метод дисконтирования  денежных поступлений (ДДП) - исследование денежного потока наоборот - от будущего к текущему моменту времени. Он позволяет определить, сколько денег нужно вложить сегодня, чтобы получить определенную сумму в конце заданного периода. Для этого используется следующая формула:

Иначе говоря, ДДП используется для определения суммы инвестиций, которые необходимо вложить сейчас, чтобы довести их стоимость до требуемой величины при заданной ставке процента.

Для того чтобы через три года стоимость инвестиций составила 1728 тыс. руб. при ставке 20 %, необходимо вложить следующую сумму:

Например, компания рассматривает  вопрос о том, стоит ли вкладывать 150 млн руб. в проект, который через два года принесет доход в 200 млн руб. Принято решение вложить деньги только при условии, что годовой доход от этой инвестиции составит не менее 10 %, который можно получить, если положить деньги в банк. Для того чтобы через два года получить 200 млн руб., компания сейчас должна вложить под 10 % годовых 165 млн руб. (200 х 1/1,1²). Проект дает доход в 200 млн руб. при меньшей сумме инвестиций (150 млн руб.), это значит, что ставка дохода превышает 10 %, следовательно, проект является выгодным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример расчетов методом дисконтирования

 

 

 Пусть инфляция в стране равна нулю и будет нулевой еще очень  долго, ставка банковского депозита равна 5% годовых, вам предлагается на выбор два варианта: получить 10 000 рублей прямо сейчас или 10 000 рублей через 5 лет. С точки зрения покупательной способности разницы между этими вариантами нет – через пять лет вы на эти десять тысяч купите столько же, сколько можете купить сегодня. А вот с точки зрения финансов разница есть.

Выбрав  первый вариант и положив деньги на депозит сегодня, через пять лет  вы получите не 10 000 рублей, а 12 762 рубля. Сегодняшние десять тысяч стоят  на 2 762 рубля дороже, чем те же десять тысяч через пять лет. И инфляция тут не причем.

Усложним пример: вам предлагается на выбор три варианта: 10 000 рублей сейчас, 11 000 рублей через год или 12 000 рублей через четыре года. Инфляция по-прежнему равна нулю. Напрямую, как мы только что выяснили, эти суммы сравнивать нельзя. Нужно привести их к единому знаменателю.

Дисконтирование – процесс отыскания текущей оценки будущих денежных потоков.

Мы уже  знаем, что 10 000 сегодня равны 12 762 через  пять лет. Как мы это получили? По формуле сложных процентов: 10 000 * (1,05)^5. (^ – означает возведение в степень).

Для дисконтирования  применяется противоположное действие:

ТС = БС / (1 + %) ^ N

Чтобы получить текущую стоимость (ТС), будущую сумму (БС) денег нужно поделить на один плюс процент (%) в степени количества лет (N).

Пересчитаем наш пример:

1-й вариант. 10 000 рублей сейчас. ТС = 10 000 / (1,05)^0 = 10 000.

2-й вариант. 11 000 рублей через год. ТС = 11 000 / (1,05)^1  = 10 476.

3-й вариант. 12 000 рублей через 4 года. ТС = 12 000 / (1,05)?^4 = 9 872.

Выгоднее всего для инвестора  второй вариант получения денег.

Усложним  пример еще больше. Теперь 3-й вариант  будет не получение всей суммы (12 000) через четыре года, а выплаты равными суммами по 3 000 рублей в течение 4-х лет. Те же 12 000.

Теперь  в третьем варианте у нас не одна, а целых четыре будущих суммы  поступлений. И хотя они равны  между собой номинально (и по покупательной  способности – помним, что инфляции пока в нашем примере нет), они  отличаются по стоимости друг от друга. Никакой хитрой формулы для такого случая нет. Придется считать каждую выплату отдельно, а потом 4 получившихся числа сложить.

ТС1 = 3 000 / (1,05)^1 = 2 857 (три тысячи, полученные через год)

ТС2 = 3 000 / (1,05)^2 = 2 721 (три тысячи, полученные через 2 года)

ТС3 = 3 000 / (1,05)^3 = 2 591 (три тысячи, полученные через 3 года)

ТС4 = 3 000 / (1,05)^4 = 2 468 (три тысячи, полученные через 4 года)

ТС общ = 2 857 + 2 721 + 2 591 + 2 468 = 10 637.

Теперь вариант номер три  лучше, чем получение 11 000 через год (ТС = 10 476) или 10 000 рублей прямо сейчас.

Таким же образом можно считать стоимость  будущих затрат, но в этом случае более выгодным является вариант  с наименьшей ТС.

Можно оценивать  и инвестиции: вложения сейчас со знаком минус, будущие доходы дисконтировать. Общая сумма должна быть положительной, иначе инвестиции убыточны.

Понятно, что результаты оценки будут сильно зависеть от той ставки процента, которую мы используем для дисконтирования. Чем она больше, тем сильнее обесцениваются денежные средства со временем.