Портфельные инвестиции

r_X и r_Y  — доходности активов X и Y;

r_{X сред} и r_{Y сред}  — ожидаемые (средние) доходности активов X и Y;

n — число наблюдений.

     Положительное значение ковариации говорит о том, что значения доходности этих акций изменяются в одном направлении, отрицательное значение ковариации говорит о разнонаправленных движениях между доходностями. Ковариация является низкой, если колебания доходностей двух активов в любую сторону носят случайный характер. Интерпретировать ковариацию, также как и дисперсию, довольно тяжело ввиду больших численных значений, поэтому практически всегда для измерения силы взаимосвязи между двумя активами используется коэффициент корреляции - показатель, используемый для анализа портфеля ценных бумаг. 

     Коэффициент корреляции лежит в интервале  от -1 до +1. Значение корреляции +1 говорит о сильной взаимосвязи, т.е. активы ходят одинаково, а значение -1, наоборот, свидетельствует о разнонаправленности, т.е. рост одного из активов сопровождается падением другого. Значение 0 говорит об отсутствии корреляции.

     Расчет  корреляции осуществляется по формуле:

(1.6), [4]где

Cov (X,Y) — ковариация между активами X и Y;

σ_X и σ_Y  — стандартные отклонения активов X и Y.

     Цены  двух абсолютно положительно коррелированных  групп акций будут одновременно двигаться вверх-вниз. Это значит, что диверсификация не сократит риск, если портфель состоит из абсолютно положительно коррелированных групп акций. В то же время риск может быть устранен полностью путем диверсификации при наличии абсолютной отрицательной корреляции.

     Однако, анализ реальной ситуации на биржах ведущих стран показывает, что, как правило, большинство различных групп акций имеет положительный коэффициент корреляции, хотя, конечно, не на уровне +1. Например, на Нью-йоркской фондовой бирже коэффициент корреляции цен двух случайным образом выбранных групп акции составляет от +0,5 до +0,7.

     Эффективная диверсификация по Марковицу предусматривает  объединение ценных бумаг с коэффициентом  корреляции менее единицы без принесения в жертву дохода по портфелю. В общем, чем ниже коэффициент корреляции ценных бумаг, входящих в портфель, тем менее рискованным будет портфель.

          Таким образом, важнейший принцип диверсификации — распределение капитала между финансовыми инструментами, цены на которые по-разному реагируют да одни и те же экономические события (имеют коэффициент корреляции менее +1).

     Для того, чтобы максимально использовать возможности диверсификации для сокращения риска по портфелю инвестиций, необходимо включать в него и другие финансовые инструменты, например, облигации, золото и т. п. Риск по портфелю имеет тенденцию к снижению с увеличением числа акций, входящих в портфель. Согласно одним исследованиям, хорошо диверсифицированный портфель, устраняющий большую часть несистематического риска, должен содержать, по крайней мере, 10 различных видов ценных бумаг, согласно другим — 20—30. Дальнейшее увеличение размеров портфеля нецелесообразно, т. к. расходы по управлению столь диверсифицированным портфелем будут очень велики и сведут на нет выгоды, полученные от его диверсификации.

    Для измерения величины систематического риска существует специальный показатель Beta, рассчитываемый по формуле: 
(1.7), [2]где

r_a — доходность актива (или портфеля);

r_m — доходность рынка;

D — дисперсия.

    По определению Beta для так называемой средней акции (акции, движение дохода которой совпадает с общим для рынка, измеренным по какому-либо биржевому индексу) равен 1,0. Это значит, что если, например, на рынке произойдет падение доходов в среднем на 10%, таким же образом изменится доход по средней акции.

        Итак, Beta оценивает изменения в доходности отдельных акций в сопоставлении с динамикой рыночного дохода. Ценные бумаги, имеющие Beta выше 1, характеризуются как агрессивные и являются более рискованными, чем рынок в целом. Ценные бумаги с Beta ниже 1 называются оборонительными, т. к. они являются менее рискованными, чем рынок в целом.

       Бета по портфелю акций рассчитывается как средневзвешенная бета каждой отдельной акции. Специальные инвестиционно—консалтинговые компании регулярно рассчитывают и публикуют показатели бета для акций многих компаний. 

Глава 3. Теорема об эффективном множестве Марковица

   Решая проблему выбора оптимального портфеля, инвестору можно не проводить оценку каждого из этих портфелей. Инвестор должен рассмотреть только  подмножество возможных портфелей, каждый из которых:

• Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска;
• Обеспечивает минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности.

   Это и есть так называемая теорема  об эффективном множестве.

   Набор портфелей, удовлетворяющих этим двум условиям, называется эффективным множеством, или эффективной границей.

   Рисунок 1.1 представляет собой иллюстрацию местоположения достижимого множества, также известного как множество возможностей, из которого может быть выделено эффективное множество. Достижимое множество представляет собой все портфели, которые могут быть сформированы из группы N ценных бумаг. Это означает, что все возможные портфели, которые могут быть сформированы из группы N ценных бумаг, лежат либо на границе, либо внутри достижимого множества (точки G, E, S и H на рисунке 1.1 являются примерами таких портфелей). В общем случае, данное множество будет иметь форму типа зонта, подобную изображенной на рисунке. В зависимости от используемых ценных бумаг, оно может быть смещено вправо или влево, вверх или вниз, кроме того, оно может быть шире или уже приведенного на рисунке множества. Главное, что, за исключением вырожденных случаев, оно будет похоже на множество, представленное на рисунке 1.1.

Рис. 1.1. Достижимое и эффективное множества

 

     Применив  теорему об эффективном множестве  к достижимому множеству, можно  определить местоположение эффективного множества. Сначала необходимо выделить множество портфелей, удовлетворяющих первому условию теоремы об эффективном множестве. Если посмотреть на рисунок 1, то можно заметить, что не существует менее рискового портфеля, чем портфель Е. Это объясняется тем, что если провести через Е вертикальную прямую, то ни одна точка достижимого множества не будет лежать левее данной прямой. При этом не существует более рискового портфеля, чем портфель Н. Это объясняется тем, что если провести через Н вертикальную прямую, то ни одна точка достижимого множества не будет лежать правее данной прямой. Таким образом, множеством портфелей, обеспечивающих максимальную ожидаемую доходность при изменяющемся уровне риска, является часть верхней границы достижимого множества, расположенная между точками Е и Н.[1]

     Рассматривая  далее второе условие, можно заметить, что не существует портфеля, обеспечивающего  большую ожидаемую доходность, чем  портфель S, потому что ни одна из точек достижимого множества не лежит выше горизонтальной прямой, проходящей через S. Аналогично, не существует портфеля, обеспечивающего меньшую ожидаемую доходность, чем портфель G, потому что ни одна из точек достижимого множества не лежит ниже горизонтальной прямой, проходящей через G. Таким образом, множеством портфелей, обеспечивающих минимальный риск при изменяющемся уровне ожидаемой доходности, является часть левой границы достижимого множества, расположенная между точками S и G.

     Учитывая  то, что оба условия должны приниматься  во внимание при определении эффективного множества, можно отметить, что инвестора удовлетворяют только портфели, лежащие на верхней и левой границе достижимого множества между точками Е и S. Соответственно, эти портфели составляют эффективное множество, и из этого множества эффективных портфелей инвестор будет выбирать оптимальный для себя. Все остальные достижимые портфели являются неэффективными портфелями, поэтому их можно игнорировать.

     Для выбора наиболее оптимального портфеля инвестору следует нарисовать свои кривые безразличия на одном рисунке с эффективным множеством, а затем приступить к выбору портфеля, расположенного на кривой безразличия, находящейся выше и левее остальных. Этот портфель будет соответствовать точке, в которой кривая безразличия касается эффективного множества.

Рис. 1.2. Выбор оптимального портфеля 

     Как видно из рисунка 1.2, таким портфелем является портфель О* на кривой безразличия I2. Несомненно, что инвестор предпочел бы портфель, находящийся на кривой безразличия I3, но такого достижимого портфеля просто не существует. Желание находиться на какой-то конкретной кривой не может быть реализовано, если данная кривая нигде не пересекает множество достижимости. Что касается кривой I1, то существует несколько портфелей, которые может выбрать инвестор (например, О). Однако рисунок показывает, что портфель О* является наилучшим из этих портфелей, так как он находится на кривой безразличия, расположенной выше и левее.

Рис. 1.3. Выбор портфеля инвестором с высокой степенью избегания риска 

     Рисунок 1.3 показывает, что инвестор с высокой степенью избегания риска выберет портфель, расположенный близко к точке Е.

Рис. 1.4. Выбор портфеля инвестором с низкой степенью избегания риска 

Рисунок 1.4 показывает, что инвестор с низкой степенью избегания риска выберет портфель, расположенный близко к точке S.

       Чтобы определить, какой портфель следует выбрать инвестору, необходимо на одном рисунке представить эффективную границу множества и кривые безразличия. Для примера можно рассмотреть  эффективную границу на множестве Марковца. Множество в нижней правой стороне (в районе дуги BD) практически неэффективно и не имеет пользы для инвестора. Вкладчик заинтересован в максимизации полезности, поэтому он должен ориентироваться на портфели, которые располагались бы на самой высокой кривой безразличия. Но потенциальный выбор портфелей ограничен эффективной границей множества. Следовательно, портфель, обладающий для инвестора  наибольшей полезностью, будет находиться в точке касания эффективной границы и кривой безразличия, так как это самый оптимальный из доступных для инвестора вариантов.

     Для того, чтобы построить кривые безразличия  к эффективному множеству, необходимо составить уравнение кривой для каждого типа инвесторов.

     Напишем уравнение кривой безразличия в  общем виде:

(1.8) , [1]где

Е(rр) — ожидаемая  доходность портфеля;

u — ордината точки, в которой кривая безразличия пересекает вертикальную ось;

— Коэффициент толерантности (допустимости)  риска. Говорит о том, сколько единиц риска готов принять инвестор при увеличении ожидаемой доходности портфеля на одну единицу. Определение коэффициента толерантности риска позволяет менеджеру формировать портфель с учетом предпочтений клиента в отношении риска и доходности:

  (1.9)        (1.10), где

         - угол наклона кривой безразличия в точке касания ее эффективной границы.

     Кроме того, кривые безразличия для инвестора, избегающего риск, выпуклы и имеют  положительный наклон. Можно показать, что эффективное множество в  общем случае вогнуто и имеет  положительный наклон, т.е. отрезок, соединяющий любые две точки эффективного множества, лежит ниже данного множества. Это свойство эффективных множеств является очень важным, так как оно означает, что существует только одна точка касания эффективного множества и кривых безразличия.

     Чисто интуитивно теорема об эффективном множестве кажется вполне рациональной. Инвестору следует выбирать портфель, лежащий на кривой безразличия, расположенной выше и левее всех остальных кривых. В теореме об эффективном множестве утверждается, что инвестор не должен рассматривать портфели, которые не лежат на левой верхней границе множества достижимости, что является ее логическим следствием. 

 

Заключение 

     По  результатам написания реферата можно сделать следующие выводы. Портфель ценных бумаг — набор ценных бумаг, обеспечивающий удовлетворительные для инвестора количественно-качественные характеристики финансовых инструментов. Критериями количественных и качественных характеристик ценных бумаг, входящих в инвестиционный портфель, являются их доходность, ликвидность, надежность, реализуемость, уровень риска.

     Эффективная диверсификация по Марковицу предусматривает  объединение ценных бумаг с коэффициентом  корреляции менее единицы без принесения в жертву дохода по портфелю. В общем, чем ниже коэффициент корреляции ценных бумаг, входящих в портфель, тем менее рискованным будет портфель. Это справедливо независимо от того, насколько рискованными являются эти ценные бумаги, взятые в отдельности, т. е. недостаточно инвестировать просто в как можно большее количество ценных бумаг, нужно уметь правильно выбирать эти ценные бумаги.