Теория вероятности Кейнса

Итак, в нашем  случае если "вероятность" может  быть определена, то возможно, что могут  быть выведены все предложения, в  которых это слово встречается; но если она не может быть определена, то должны быть — если мы в состоянии  что-либо знать об этом — содержащие это слово предложения, которые  мы знаем без свидетельства со стороны.

Не совсем ясно, какого рода предложения Кейнс склонен  признавать в качестве посылок в  нашем познании вероятности. Познаем  ли мы непосредственно предложения  формы "p/h = a"? И что представляет собой а, когда вероятность численно не измеряется? Или мы знаем только равенства и неравенства, то есть что p/h < q/h или p/h = q/h7 Я склонен думать, что Кейнс придерживается последнего взгляда. Но если так, то основными в  этом вопросе являются отношения  трех предложений, а не двух-, мы должны начинать с тернарного отношения  

p(p, q, h),  

что значит: при  данном h, p является менее вероятным, чем q. Мы могли бы в таком случае сказать, что "p/h = q/h", значит, "ни p(p, q, h), ни P(q, p, h)". Мы должны были бы допустить, что p является асимметричным и транзитивным по отношению к p и q, когда h постоянно. Принцип индифферентности Кейнса, если его принять, тогда позволит нам  при определенных обстоятельствах  доказать, что p/h = q/h. A на этом основании  исчисление вероятностей — насколько  Кейнс считает его действительным — может быть построено.

Вышеприведенное определение равенства может  быть принято только, если p/h и q/h являются сравнимыми; если (как Кейнс считает  возможным) ни одно из них не больше другого и все же они не равны, то от этого определения следует  отказаться. Мы могли бы преодолеть это затруднение с помощью  аксиом, касающихся обстоятельств, при  которых вероятности должны быть сравнимыми. Когда они сравнимы, они лежат на одной линии между 0 и 1. В правой части вышеприведенного определения "p/h = q/h" мы должны тогда  добавить, что P/h и q /h являются "сравнимыми".

Переформулируем теперь принцип индифферентности Кейнса. Он хочет установить обстоятельства, при которых p/h = q/h. Это будет иметь  место, говорит он, если выполняются  два условия (достаточные, но не необходимые). Пусть p будет f(a) и q будет f(b), тогда h должно быть симметричным по отношению к a и b, а f(a) и f(b) должны быть "неделимыми".

Когда мы говорим, что h является симметричным по отношению  к а и b, мы имеем в виду предварительно, что если h имеет форму f(a, b), тогда f(a, b) = f(b, а). Это будет иметь место, в частности, если f(a, b) имеет форму g(a) • g(b), что является случаем, когда  информация, которую h дает об a и b, состоит  из отдельных предложении, одного об a и другого об b, и когда оба  предложения являются значениями одной  пропозициональной функции.

Мы теперь положили p = f(a), q = f(b) и h = f(o, b). Наша аксиома должны быть о том, что, с соответствующей  оговоркой, взаимозамена f(a) и f(b) и не может вызвать какую-либо разницу. Это предполагает, что   
 

f(a)/f(a, b) = f(b)/f(a, b),   

если только f(a) и (b) сравнимы по отношению к f(a, b). Это следует, если в качестве общего принципа  

fa/ya = fb/b,  

то есть если вероятность зависит не от частного субъекта, а от пропозициональных  функций. Здесь есть, по-видимому, надежда  прийти в этом направлении к такой  форме принципа индифферентности, которая  может быть более самоочевидной, чем форма Кейнса.

Исследуем для  этой цели его условия неделимости. Кейнс определяет "f(a) делимо", как значение, что имеются такие  два аргумента b и с, что 'fa " эквивалентно "fb или fc", а fb и yc не могут быть оба истинными, тогда как fb и fc оба  возможны при данном h. Я не думаю, что это есть именно то, что он на самом деле хочет сказать. Я  думаю, что мы подойдем ближе к  тому, чего он хочет, если предположим, что о, b и с суть классы, для  которых a есть сумма b и с. В этом случае f должно быть функцией, которая  берет классы в качестве аргументов. Например, пусть o будет областью на мишени, разделенной на две части, b и c. Пусть "fa" будет значить, что "некоторая точка в а поражена", а fa" будет значить, что "некоторая  точка в а взята на прицел". Тогда fa является делимым в вышеуказанном  смысле, и мы не получаем  

fa/ya = fb/yb,  

так как очевидно, что fa/ya больше, чем fb/yb.

Но остается неясным, что наше прежнее условие, именно, что h должно быть симметричным по отношению к а и b, оказывается  недостаточным. Ибо теперь h содержит предложение "b есть часть а", которое  не является симметричным.

Кейнс обсуждает  условия для fa/ya = fb/yb и дает как  пример неудачи случай, где fx = x есть Сократ. В этом случае, каково бы ни было значение fx,

f (Сократ) / y(Сократ) = 1,

тогда как если b не есть Сократ, то fb/yb =0. Чтобы исключить  этот случай, я сделал бы оговорку, что "fx" не должно содержать "a". Беря аналогичный случай, допустим, что fx = x значит "убивает а" и что fx = x значит "живет в Англии". Тогда fa/ya есть вероятность, что a совершает  самоубийство в Англии, тогда как fx/yx вообще есть вероятность, что a будет  убит каким-то англичанином по фамилии x. Ясно, что в большинстве случаев fa/ya больше, чем fb/yb, потому что вероятнее, что человек совершит самоубийство, чем убьет другого, выбранного наудачу.

Таким образом, существенным условием, по-видимому, является то, что "fx" не должно содержать "a" или "b". Если это условие выполнено, то я не вижу, почему мы не можем получить   

fa/ya = fb/yb.  

Я заключаю, что  принцип индифферентности на деле утверждает то, что вероятность есть отношение  между пропозициональными функциями, а не между предложениями. Это  и есть то, что имеется в виду под такой фразой, как "выбор  наудачу". Эта фраза значит, что  мы должны рассматривать какой-либо термин только как термин, удовлетворяющий  определенной пропозициональной функции; тогда то, что сказано, в действительности относится к пропозициональной  функции, а не к тому или иному  ее значению.

Тем не менее  остается кое-что существенное, являющееся тем, что действительно касается нас. Если дано отношение вероятности  между двумя пропозициональными функциями fx и yx, то мы можем рассматривать  его как отношение между fa и ya, если только "fx" и "yx" не содержит "a". Это необходимая аксиома  во всех применениях вероятности  к практике, так как именно частные  случаи интересуют нас.

Я прихожу к  выводу, что главный формальный недостаток теории вероятности Кейнса состоит  в том, что он рассматривает вероятность  скорее как отношение между предложениями, чем как отношение между пропозициональными функциями. Я сказал бы, что применение ее к предложениям относится к  приложению теории, а не к самой  теории.

.