Налоговое регулирование инвестиционной деятельности

Кроме того, известно, что спрос на продукцию П2 никогда не превышает 2 ед. в сутки.

Таблица 1

Сырье	Расход сырья на 1 ед. продукции.		Запас сырья
	П1	П2
А	2	3	9
В	3	2	13

 

Оптовые цены единицы  продукции равны: 3 д. е. — для П1 и 4 д. е. для П2. Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Процесс построения математической модели для решения  поставленной задачи начинается с ответов на следующие вопросы:

1. Для определения каких величин должна быть построена модель, т. е. как идентифицировать переменные данной задачи?

2. Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой системы?

3. В чем состоит цель задачи, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи?

Ответы на вышеперечисленные  вопросы могут быть сформулированы для данной задачи так: фирме требуется определить объемы производства каждого вида продукции в тоннах, максимизирующие доход в д. е. от реализации продукции, с учетом ограничений на спрос и расход исходных продуктов.

Для построения математической модели остается только идентифицировать переменные и представить цель и ограничения в виде математических функций этих переменных.

Предположим, что  предприятие изготовит х₁ единиц продукции П1 и х₂ единиц продукции П2. Поскольку производство продукции П1 и П2 ограничено имеющимися в распоряжении предприятия сырьем каждого вида и спросом на данную продукцию, а также учитывая, что количество изготовляемых изделий не может быть отрицательным, должны выполняться следующие неравенства:

2х₁+3х₂9

3х₁+2х₂13

х₁-х₂1

х₂2

х₁0

х₂0

Доход от реализации х₁ единиц продукции П1 и х₂ единиц продукции П2 составит F = 3х₁ + 4x₂.

Таким образом, мы приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений данной системы линейных неравенств требуется найти такое, при котором функция F принимает максимальное значения Fmax.

Рассмотренная задача относится к разряду типовых  задач оптимизации производственной программы предприятия. В качестве критериев оптимальности в этих задачах могут быть также использованы: прибыль, себестоимость, номенклатура производимой продукции и затраты станочного времени. 

Рассмотрим решение  задачи об ассортименте продукции  графическим способом.

Графический способ решения  задач линейного программирования целесообразно использовать для:

• решения задач с  двумя переменными, когда ограничения  выражены неравенствами;

• решения задач со многими  переменными при условии, что  в их канонической записи содержится не более двух свободных переменных.

Построим многоугольник решений. Для этого в системе координат X₁X₂ на плоскости изобразим граничные прямые:

2x1 + 3x2 = 9 (L1)

3х1 + 2X2 = 13  (L2)

X1 - Х2 =1  (L3)

Х2 =2  (L4)

 

Рисунок 1 Графическое решение экономико-математической задачи линейного программирования.

 

Областью решений  является многоугольник, выделенный на рисунке красным цветом.

Для построения прямой Z = 3x₁+ 4x₂ построим вектор-градиент С = (3;4) и через точку О проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую Z= О перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора С. Из рис. 1 следует, что по отношению к многоугольнику решений опорной эта прямая становится в точке С (показанную на рисунке стрелкой), где функция принимает максимальное значение. Точка С лежит на пересечении прямых L1и L3 Для определения ее координат решим систему уравнений:

   2х₁+3х₂=9

   х₁-х₂=1

Оптимальный план задачи х₁ = 2,4; х₂=1,4. Подставляя значения х₁ и х₂ в линейную функцию, получим:

Z max =3*2,4 + 4*1,4=12,8.

Полученное решение  означает, что объем производства продукции П1 должен быть равен 2,4 ед., а продукции П2 — 1,4 ед. Доход, получаемый в этом случае, составит: Z = 12,8 д. е.

Геометрическим  способом можно также решать задачи линейного программирования с числом переменных более двух. Для этого исходную задачу преобразуют методом Жордана—Гаусса.

В задаче об ассортименте продукции  может представлять интерес  вопрос о том, как повлияет на оптимальное решение увеличение и уменьшение

спроса на продукцию или запасов исходного  сырья. Возможно, также потребуется анализ влияния рыночных цен на оптимальное решение.

Для проведения анализа модели на чувствительность с успехом могут быть использованы графические методы.  После нахождения оптимального решения представляется вполне логичным выяснить, как отразится на оптимальном решении изменение запасов ресурсов. Для этого необходимо ответить на два вопроса:

1. На сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для улучшения полученного оптимального значения целевой функции Z?

2. На сколько можно снизить запас некоторого ресурса при сохранении полученного оптимального значения целевой функции Z?

Прежде чем  ответить на поставленные вопросы, классифицируем ограничение линейной модели как связывающие (активные) и несвязывающие (неактивные) ограничения. Прямая, представляющая связывающее ограничение, должна проходить через оптимальную точку, в противном случае, соответствующее ограничение будет несвязывающим. На рис. 1 связывающими ограничениями являются ограничения, представленные прямыми L1 и L3, соответственно, т. е. те, которые определяют запасы исходных ресурсов. Ограничение L1 определяет запасы сырья А. Ограничение L3 определяет соотношение спроса на выпускаемую продукцию.

 

Если некоторое  ограничение является связывающим, то соответствующий ресурс относят  к разряду дефицитных ресурсов, так  как он используется полностью. Ресурс, с которым ассоциировано несвязывающее ограничение, следует отнести к разряду недефицитных ресурсов (т. е. имеющихся в некотором избытке). В нашем примере несвязывающими ограничениями являются линии L2 и L4. Следовательно, ресурс - сырье В - недефицитный, т. е. имеется в избытке, а спрос на продукцию П2 не будет удовлетворен полностью.

При анализе модели на чувствительность к правым частям ограничений определяются:

1) предельно допустимое  увеличение запаса дефицитного  ресурса, позволяющее улучшить  найденное оптимальное решение;

2) предельно допустимое  снижение запаса недефицитного  ресурса, не изменяющее найденное ранее оптимальное значение целевой функции.

В нашем примере  сырье А и соотношение спроса на выпускаемую продукцию П1 и П2 являются дефицитными ресурсами.

Рассмотрим сначала  ресурс - сырье А. На рис. 2 при увеличении запаса этого ресурса прямая L1 перемещается вверх, параллельно самой себе, до точки К в которой пересекаются линии ограничений L2, L3 и L4. В точке К ограничения становятся связывающими; оптимальному решению при этом соответствует точка К, а пространством (допустимых) решений становится многоугольник, выделенный на рис. 2 синим цветом. В точке К ограничение  (для ресурса А) становится избыточным, так как любой дальнейший рост запаса соответствующего ресурса не влияет ни на пространство решений, ни на оптимальное решение.

Рисунок 2 Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

Таким образом, объем ресурса А не следует увеличивать сверх того предела, когда соответствующее ему ограничение  становится избыточным, т. е. прямая  проходит через новую оптимальную точку К. Этот предельный уровень определяется следующим образом. Устанавливаются координаты точки К, в которой пересекаются прямые L2, L3 и L4 т. е. находится решение системы уравнений:

3х₁+2х₂=13

х₁-х₂=1

х₂=2

В результате получается х₁ = 3 и х₂ = 2. Затем, путем подстановки координат точки К в левую часть ограничения, определяется максимально допустимый запас ресурса А:

2x₁ + 3х₂ = 2*3 + 3*2 =12.

Следующий рис.3 иллюстрирует ситуацию, когда рассматривается вопрос об изменении соотношения спроса на продукцию П1 и П2.

Новой оптимальной  точкой становится точка, где пересекаются прямые L1 и L2. Координаты данной точки находятся путем решения системы уравнений следующим образом:

2x₁+3x₂=9;

3x₁+2x₂=13.

В результате получается х₁ = 4,2; х₂ = 0,2, причем суточный спрос на продукцию П1 не должен превышать спрос на продукцию П2 на величину х1 - х2 = 4,2 - 0,2 = 4 ед.

Дальнейшее увеличение разрыва в спросе на продукцию П1 и П2 не будет влиять на оптимальное решение.

 

Рисунок 3 Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования при изменении спроса.

Рассмотрим вопрос об уменьшении правой части несвязывающих ограничений. Ограничение х₂ 2 фиксирует предельный уровень спроса на продукцию П2. Из рис. 1 следует, что, не изменяя оптимального решения, прямую L4 можно опускать вниз до пересечения с оптимальной точкой. Так как данная точка  имеет координаты х₁ = 2,4; х₂ = 1,4, уменьшение спроса на продукцию П2 до величины Х2 = 1,4 никак не повлияет на оптимальность ранее полученного решения.

Рассмотрим ограничение  3x₁ + 2x₂ < 13, которое представляет собой ограничение на недефицитный ресурс — сырье В.

И в этом случае правую часть — запасы сырья В — можно уменьшать до тех пор, пока прямая L2 не достигнет точки С. При этом правая часть ограничения станет равной 3x₁ + 2x₂ = 3 • 2,4 + 2 • 1,4 = 10, что позволяет записать это ограничение в виде: 3x₁ + 2x₂ < 10. Этот результат показывает, что ранее полученное оптимальное решение не изменится, если суточный запас ресурса В уменьшить на 3 ед.

Результаты проведенного анализа можно свести в табл. 2:

Таблица 2

Ресурс	Тип ресурса	Максимальное изменение запаса ресурса, ед.	Максимальное увеличение выручки  от увеличения ресурса, д.ед.
А	Дефицитный	12 - 9 =+3	17 - 12,8 = +4,2
В	Недефицитный	10 - 13 = -3	12,8-12,8 = 0
3.	Дефицитный	4 - 1 = +3	13,4 - 12,8 = +0,6
4.	Недефицитный	1 , 4 - 2 = -0,6	12,8 - 12,8 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Заключение.

С помощью методов  линейного программирования решается большое количество экстремальных  задач, связанных с экономикой. В  этих случаях находят крайние  значения (максимум и минимум) некоторых  функций переменных величин. 

Основой линейного  программирования служит решение системы  линейных уравнений, которые преобразуются  в уравнения и неравенства. Оно  характеризуется математическим выражением переменных величин, определенным порядком, последовательностью расчетов, логическим анализом. Оно применимо: 

• при наличии  математической определенности и количественной ограниченности между изучаемыми переменными  величинами;

• при взаимозаменяемости факторов из-за последовательности расчетов;

• в случае совмещения математической логики с пониманием сущности изучаемых явлений. 

В промышленном производстве этот метод помогает исчислению оптимальной общей производительности машин, агрегатов, поточных линий (в  случае, если задан ассортимент продукции  и соответствующие величины), а  также решению задачи рационального  использования материалов (с наиболее выгодным количеством заготовок). 

В сельском хозяйстве  с помощью этого метода определяют минимальную стоимость кормовых рационов с учетом заданного количества кормов (исходя из видов и содержащихся в них полезных веществ). 

В литейном производстве данный метод помогает решить задачу о смесях, входящих в состав металлургической шихты. Этот же метод позволяет решить транспортную задачу, задачу наиболее оптимального прикрепления потребляющих предприятий к предприятиям, производящим продукцию. 

Отличительной особенностью всех экономических задач, которые  можно решить, применяя методы линейного  программирования, является выбор вариантов  решения, а также определенные ограничивающие условия. Решение подобной задачи означает выбор наиболее оптимального из всех альтернативных вариантов. 

Существенной  ценностью применения методов линейного  программирования в экономике является выбор наиболее оптимального варианта из огромного количества всех допустимо  возможных вариантов. Иными способами  почти невозможно решать подобные задачи, чтобы найти степень рациональности использования ресурсов в производстве.  

Одной из основных задач, решаемых с помощью линейного  программирования, является транспортная задача, которая имеет целью минимизировать грузооборот товаров широкого потребления  при их доставке от производителя  к потребителю.