Налоговое регулирование инвестиционной деятельности

Оглавление

1. Введение. 3

2. Линейные модели. Задачи линейного программирования. 5

3. Построение экономико-математических задач линейного программирования. 11

4. Заключение. 20

5. Список литературы. 22

 

 

 

1. Введение.

Основой для решения экономических  задач являются математические модели.

Линейное программирование - один из важнейших разделов математики, изучающий теории и методы решения  определенных задач. Эта математическая дисциплина стала в последние  годы широко применяться в различных  областях экономики, техники и военного дела, где в их развитии не последнюю  роль играет математическое планирование и использование компьютеров. Данный раздел науки изучает линейные оптимизационные  модели. Иначе говоря, линейное программирование посвящено численному анализу и  решению задач, требующих нахождения оптимального значения, т.е. максимума  или минимума, некоторой системы  показателей в процессе, а состояние  его описывает система линейных неравенств. 

Впервые термин "линейное программирование" предложил американский экономист  Т. Купманс в 1951 году. В 1975 году русский математик Л.В.Канторович и Т. Купманс были удостоены Нобелевской премии по экономическим наукам за свой вклад в теорию оптимального распределения ресурсов. Т.Купманс пропагандировал методы линейного программирования и защищал приоритеты Л.В.Канторовича, открывшего эти методы. . Л.В.Канторович изучал возможность применения математики к вопросам планирования, на основе чего в 1939 году была опубликована его монография "Математические методы организации и планирования производства". Важнейшей находкой Л.В.Канторовича явилась возможность четко математически сформулировать важнейшие производственные задачи, что позволяет найти количественный подход к данным задачам, а также их решение численными методами. 

Если бы первые работы Л.В.Канторовича  получили в свое время должную  оценку, то была бы велика вероятность  еще большего продвижения линейного  программирования в настоящее время. К сожалению, его работа оставалась в тени как в Советском Союзе, так и за его пределами, и, как отмечает Данциг: " ...и за это время линейное программирование стало настоящим искусством".

 Начало широкого использования  линейных зависимостей для описания экономических явлений, многие из которых вовсе не обладают свойством линейности, было в середине ХХ в. подлинной научной революцией. Ее даже так и называли — “линейная революция в экономике”. Она дала мощный толчок развитию экономико-математических методов, способствовала всестороннему формированию практически применимого математического аппарата для исследования разнообразных областей экономики. Но необходимо учитывать, что многие экономические процессы в действительности носят нелинейный и стохастический характер и их аппроксимация линейными зависимостями (линеаризация), упрощая расчеты, существенно огрубляет и искажает их. Поэтому линейные модели страдают известной ограниченностью в том, что касается отображения с их помощью реальных экономических процессов. Но во многих случаях созданный на этой основе математический аппарат в сочетании с компьютерной техникой, производящей сложные и трудоемкие расчеты, позволяет с успехом использовать такие модели в хозяйственной практике и в экономической науке.

Цель данной работы – рассмотреть математические модели решения экономических задач, представленные в форме задач линейного программирования, принципы построения линейных экономико-математических моделей и графический способ их решения.

 

 

2. Линейные модели. Задачи линейного программирования.

Математической моделью задачи называется совокупность математических соотношений, описывающих суть задачи.

Линейное программирование - это область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными.

Составление математической модели включает:

• выбор переменных задачи
• составление системы ограничений
• выбор целевой функции

Переменными задачи называются величины Х₁, Х₂, Х_n, которые полностью характеризуют экономический процесс. Обычно их записывают в виде вектора: X=(X₁, X₂,...,X_n).

Системой ограничений задачи называют совокупность уравнений и неравенств, описывающих ограниченность ресурсов в рассматриваемой задаче.

Целевой функцией задачи называют функцию переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи, экстремум которой требуется найти.

Слово “программирование” объясняется здесь тем, что неизвестные  переменные, которые отыскиваются в  процессе решения задачи, обычно в  совокупности определяют программу  работы некоторого экономического объекта. Слово “линейное” отражает факт линейной зависимости между переменными. При этом задача обязательно имеет экстремальный характер, т. е. состоит в отыскании экстремума (максимума или минимума) целевой функции.

Разработан целый  ряд вычислительных приемов, позволяющих  решать на ЭВМ задачи линейного программирования, насчитывающие сотни и тысячи переменных, неравенств и уравнений. Среди них наибольшее распространение приобрели методы последовательного улучшения допустимого решения, а также декомпозиционные методы решения крупноразмерных задач, методы динамического программирования и др. Сама разработка и исследование таких методов — развитая область вычислительной математики.

Рассмотрим  теоретическое построение математической модели на примере модели использования  ресурсов (сырья).

Условие: Для изготовления n видов продукции используется m видов ресурсов. Составить математическую модель.

Известны:

• b_i ( i = 1,2,3,...,m) — запасы каждого i-го вида ресурса;
• a_ij ( i = 1,2,3,...,m;  j=1,2,3,...,n) — затраты каждого i-го вида ресурса на производство единицы объема j-го вида продукции;
• c_j ( j = 1,2,3,...,n) — прибыль от реализации единицы объема j-го вида продукции.

Требуется составить  план производства продукции, который  обеспечивает максимум прибыли при  заданных ограничениях на ресурсы (сырье).

Решение:

Введем вектор переменных X=(X₁, X₂,...,X_n), где x_j ( j = 1,2,...,n) — объем производства j-го вида продукции.

Затраты i-го вида ресурса на изготовление данного  объема x_j продукции равны a_ijx_j, поэтому ограничение на использование ресурсов на производство всех видов продукции имеет вид:  
Прибыль от реализации j-го вида продукции равна c_jx_j , поэтому целевая функция равна:

Ответ -  Математическая модель имеет вид:

Задачи линейного  программирования, в которых нормативы (или коэффициенты), объемы ресурсов (константы ограничений) или коэффициенты целевой функции содержат случайные элементы, называются задачами линейного стохастического программирования; когда же одна или несколько независимых переменных могут принимать только целочисленные значения, то перед нами задача линейного целочисленного программирования.

В экономике широко применяются линейно-программные  методы решения задач размещения производства (например  - транспортная задача), расчета рационов для скота (например - задача диеты), наилучшего использования материалов (например -  задача о раскрое), распределения ресурсов по работам, которые надо выполнять (например - распределительная задача) и т. д.

Задачей линейного  программирования называется задача исследования операций, математическая модель которой имеет вид:

f(x)=

           iI  

   iM   xj0

При этом система  линейных уравнений  и неравенств,  определяющая допустимое множество  решений задачи, называется системой ограничений задачи линейного программирования, а линейная функция fх называется целевой функцией, или критерием оптимальности.

Если математическая модель задачи линейного программирования имеет вид:

f(x)=

 

b0

x_j0   j=

то говорят, что задача представлена в канонической форме.

Любую задачу линейного  программирования можно свести к  задаче линейного программирования в канонической форме. Для этого  в общем случае нужно уметь  сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений  неравенств к ограничениям равенств и заменять переменные, которые не подчиняются условию неотрицательности. Максимизация некоторой функции эквивалентна минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.

Правило приведения задачи линейного программирования к каноническому виду состоит в следующем:

1) если в исходной  задаче требуется определить  максимум линейной функции, то  следует изменить знак и искать  минимум этой функции;

2) если в ограничениях  правая часть отрицательна, то  следует умножить это ограничение  на —1;

3) если среди  ограничений имеются неравенства,  то путем введения дополнительных  неотрицательных переменных они  преобразуются в равенства;

4) если некоторая  переменная Xк не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательными переменными.

Один из видов  решения имеет особое значение для  экономической интерпретации задачи линейного программирования. Он связан с тем, что каждой прямой задаче линейного программирования соответствует другая, симметричная ей двойственная задача. Если в качестве прямой принять задачу максимизации выпуска продукции (или объема реализации, прибыли и т. д.), то двойственная задача заключается, наоборот, в нахождении таких оценок ресурсов, которые минимизируют затраты. В случае оптимального решения ее целевая функция — сумма произведений оценки (цены) v_i каждого ресурса на его количество b_i, т. е. равна целевой функции прямой задачи. Эта цена называется объективно обусловленной, или оптимальной оценкой, или разрешающим множителем. Основополагающий принцип линейного программирования состоит в том, что в оптимальном плане и при оптимальных оценках всех ресурсов затраты и результаты равны.

Оценки двойственной задачи обладают замечательными свойствами: они показывают, насколько возрастет (или уменьшится) целевая функция  прямой задачи при увеличении (или  уменьшении) запаса соответствующего вида ресурсов на единицу. В частности, чем больше в нашем распоряжении данного ресурса по сравнению  с потребностью в нем, тем ниже будет оценка, и наоборот. Не решая  прямую задачу, по оценкам ресурсов, полученных в двойственной задаче, можно найти оптимальный план: в него войдут все технологические  способы, которые оправдывают затраты, исчисленные в этих оценках.

Двойственность  в линейном программировании - принцип, заключающийся в том, что для каждой задачи линейного программирования можно сформулировать двойственную задачу,

Двойственная  задача - одно из фундаментальных понятий теории линейного программирования; инструмент, позволяющий установить, оптимально ли данное допустимое решение задачи линейного программирования, без непосредственного сравнения его со всеми остальными допустимыми решениями.

К каждой задаче линейного программирования можно  построить своего рода симметричную: функционалы оптимальных решений у обеих задач совпадают, но если в прямой задаче они отражают наиболее эффективную комбинацию ресурсов, которая дает максимум целевой функции, то в другой, двойственной — наиболее эффективную комбинацию расчетных цен (оценок) ограниченных ресурсов. Это такие цены, при которых полученная продукция оправдывает затраты, а технологические способы, не включенные в план, по меньшей мере не более рентабельны, чем примененные.

Двойственная  задача состоит в минимизации  затрат при заданных лимитах ресурсов и формулируется следующим образом 

Найти набор переменных v₁, v₂, ..., v_n (называемых разрешающими множителями, объективно обусловленными (оптимальными) оценками, двойственными ценами и т. п.), минимизирующий линейную функцию

при том условии, что каждый включенный в план вид  продукции рентабелен (полученная продукция  оправдывает затраты), а невключенные в план — не более рентабельны, чем первые.

Оценки характеризуют  влияние свободных членов ограничений  прямой задачи на оптимальную величину целевой функции. Иначе говоря, они  показывают относительный вклад  каждого ресурса в достижение оптимума; небольшое изменение количества ресурса изменяет оптимальное значение пропорционально величине оценки.

 

 

 

3. Построение экономико-математических задач линейного программирования.

Рассмотрим процесс  построения математических моделей  задач линейного программирования на примере.

Пример. Определение оптимального ассортимента продукции.

Предприятие изготавливает  два вида продукции — П1 и П2, которая поступает в оптовую продажу. Для производства продукции используются два вида сырья — А и В. Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 9 и 13 единиц соответственно. Расход сырья на единицу продукции вида П1 и вида П2 дан в табл. 1.

Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию  П1 никогда не превышает спроса на продукцию П2 более чем на 1 ед.