Финансовые вычисления

 

Определение процентной ставки

 

• По формуле простых процентов

 

 

• По формуле сложных процентов

Процентная ставка

 

Рассчитаем накопленную за 1 год сумму от вложения 100$ под 5% годовых с ежеквартальным начислением.

FV=БС(5%/4;1*4; ;-100;)=105,09$

100$      - 100%

5,09$ - 5,09%

Получается, что в действительности доходность сделки 5,09%

Процентная ставка

 

Эффективная ставка (effective rate), ставка измеряющая тот реальный относительный доход, который получен в целом за год, с учетом внутригодовой капитализации. Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке r / m.

Процентная ставка

 

                       

Процентная ставка

 

r^эф  = ЭФФЕКТ(r ; m)

r = НОМИНАЛ(r^эф ; m)

 

r = СТАВКА(m*n;R;-PV;FV;тип;)*m

Пример

 

Определим эффективную годовую ставку, если годовая ставка банка 12%, а периоды начисления ежемесячно, ежеквартально, каждые полгода.

Решение. Очевидно, что в четвертом случае, при ежегодных начислениях процентов, она составляет 12%. Для

m = 12  r^эф =(1+0,12/12)^12-1=0,1268;

m = 4  r^эф =(1+0,12/4)^4-1=0,1255;

m = 2  r^эф =(1+0,12/2)^2-1=0,1236.

Замечание

 

Замена в договоре номинальной ставки r при m - разовом начислении процентов на эффективную r_^эф не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон. Обе ставки эквивалентны в финансовом отношении. Вообще разные по величине номинальные ставки являются эквивалентными, если соответствующие им эффективные ставки имеют одну и ту же величину.

Начисление налогов и проценты

 

Простые проценты

 

I_^н=I*(1- н)= PV*r*(1- н) – процентный доход с вычетом налогов

 

FV=PV+I_^н= PV*(1+ r*(1- н)) – накопленная сума с вычетом налогов

Начисление налогов и проценты

 

Сложные проценты

 

I_^н=I*(1- н) = PV*[(1+r/m)^nm-1]*(1- н) – процентный доход с вычетом налогов

 

 

FV= PV*[(1+r/m)^nm*(1-н)+н] – накопленная сума с вычетом налогов

 

 

 

Учёт инфляции

 

Инфляция – это обесценивание денег, обусловленное чрезмерным увеличением выпущенной в обращение массы бумажных денег и безналичных выплат по сравнению с реальным предложением платных товаров и услуг

Учёт инфляции

 

Индекс цен численно равен отношению цен на товары, услуги или работы в один период времени к ценам этих же товаров, услуг или работ в другой период времени.

Агрегатный индекс цен численно равен отношению цены группы товаров (услуг) за данный период к цене той же группы в базисном периоде.

Процентное изменение индекса потребительских цен называется уровнем инфляции.

Учёт инфляции

 

S - некоторая сумма денег  в данный момент; 

S^ - сумма денег через некоторое время t , покупательная способность которой равна S . Вследствие инфляции S^ >S и S^=S+S, где S - некоторая сумма денег, которая добавляется к S для сохранения стоимости годовой "потребительской корзины".

Основными показателями инфляции являются

средний годовой уровень инфляции  = (S^ - S )/S = S/S

годовой индекс инфляции  IN= S^/S=1+

 

Учёт инфляции

 

Простые проценты

 

FV_^ = PV*(1 + n*r_^) = PV*(1 + n*r)*(1 + ) –

наращенная сумма с учетом инфляции 

 

r_^ = r +  + n*r* -

годовая процентная ставка, покрывающая инфляцию

Учёт инфляции

 

реальная годовая ставка -

 

 

реальная покупательная стоимость будущей суммы -

 

Учёт инфляции

 

Сложные проценты

Пусть  средний коэффициент инфляции за n лет

Пример Банк выдал ссуду в размере 80 тыс. руб. на три года с начислением процентов каждые полгода. Процентная ставка банка 28%. Среднегодовая инфляция ожидается на уровне 16%. Определитe сумму, которую придется выплатить в конце срока, реальную ставку банка.

Решение

PV=80 

r_^=0,28

=0,16

k=3

m=2

FV=?

r=?

 

 

= 80*(1+0,28/2)^(2*3)=

 

=175,5978 тыс. руб.

 

 =

 

=((1+0,28/2)/(1+0,16)^(1/2)-1)*2=0,116927

r=11,69% - по такой ставке банк получит реальный доход.

Амортизация

 

Амортизационная ставка или Норма амортизации – установленный процент от балансовой стоимости основных фондов списываемый ежегодно на себестоимость продукции.

При этом стоимость основных фондов уменьшается:

 

 

 

FV=БС(-r^am;n;_;-PV;)

r^am= - СТАВКА(n;_;-PV;FV;;)

Аннуитет и Фонд погашения

 

Аннуитет – равновеликие платежи, которые производятся (получаются) в равные промежутки времени в течение датированного временного периода. К таким платежам относятся периодические погашения кредита по компенсационным соглашениям, создание амортизационного фонда, взносы по страхованию, выплаты долга

Потоки платежей

 

Денежный поток - это последовательность платежей разных направлений. Денежные потоки делятся:

• по распределению во времени - на регулярные (периодические) и нерегулярные;
• по величине элементов - на постоянные и переменные.

Периодические платежи могут осуществляться в конце периода - постнумерандо (обыкновенные) или в начале периода - пренумерандо.

Потоки платежей

 

Денежный поток, элементы которого Ri поступают через равные промежутки времени, называются финансовой рентой.

Постоянная рента предполагает получение или выплату одинаковых сумм R в течение всего срока операции.

Потоки платежей

 

Срочным аннуитетом называется денежный поток с равными поступлениями R в течение ограниченного промежутка времени в конце каждого периода.

Например, клиент вносит в банк первоначальную сумму, а в обмен получает серию периодических выплат в течение срока действия договора. В конце срока договора ему причитается получить сумму FV. Эту ситуацию можно записать (-PV, R, R,… R, FV) и изобразить графически

 

PV

 

R

 

R

 

R

 

R

 

FV

Потоки платежей

 

Банковский кредит - это аннуитет наоборот. Клиент получает денежную ссуду PV, а потом выплачивает свой долг равными платежами R в течение срока погашения кредита. В конце срока операции ему остается выплатить сумму FV. Эту ситуацию можно записать (PV, -R, -R,…-R, -FV) и изобразить графически

 

PV

 

R

 

R

 

R

 

R

 

FV

Потоки платежей

 

Накопление периодическими взносами (формирование денежных фондов). В начале срока финансовой сделки вносится вклад в размере PV и через равные промежутки времени к нему добавляются суммы R. К концу срока сделки с учетом начисленных процентов накопится сумма FV. Эту ситуацию можно записать (-PV, -R, -R,…-R, FV) и изобразить графически

 

PV

 

R

 

R

 

R

 

R

 

FV

Рента пренумерандо

 

Без первоначальной суммы

 

FV_ⁿ = R*(1+r)+R*(1+r)²+ . . . +R*(1+r)ⁿ = R*(1+r).

Рента постнумерандо

 

Без первоначальной суммы

 

Постоянные ренты 
Объединённая формула

 

тип=0 – постнумерандо

тип=1 - пренумерандо

 

Постоянные ренты 
с первоначальным взносом

 

FV=БС(r/m;n*m;-R;-PV;тип)

Постоянные ренты

 

Определение текущей суммы

 

 

 

 

 

PV=ПС(r/m;n*m;-R;FV;тип)

Определение периодических (аннуитетных) выплат

Определение периодических (аннуитетных) выплат

 

Для вычисления аннуитетного платежа или просто выплаты используется функция

ПЛТ(ставка за период;количество периодов;начальная сумма;-будущая сумма;тип)

или в обозначениях:

ПЛТ(r/m;n*m;PV;-FV;тип)

 

Аннуитет и Фонд погашения

 

Для нахождения части выплат, идущей на погашение основной задолжности, применяется функция:

ОСПЛТ(ставка;период;количество периодов;начальное значение;-будущее значение;тип)

в обозначениях:

ОСПЛТ(r/m;j;n*m;PV;-FV;тип)

где j – порядковый номер периода.

Аннуитет и Фонд погашения

 

Для нахождения части выплат, идущей на погашение процентов по основному долгу, применяется функция:

ПРПЛТ(ставка;период;количество периодов;начальное значение;-будущее значение;тип)

в обозначениях:

ПРПЛТ(r/m;j;n*m;PV;-FV;тип)

где j – порядковый номер периода.

Аннуитет и Фонд погашения

Общий поток платежей

 

В условиях плавающей процентной ставки для нахождения накопленной суммы применяется функция

БЗРАСПИС(начальная сумма;{массив ставок})

или

БЗРАСПИС(PV;r_¹;r_²;…;r_ⁿ)

 

Общий поток платежей

 

Если процентная ставка на протяжении всего срока операции остается постоянной, но при этом выплаты отличаются по величине, применяется функция:

НПЗ(ставка;выплаты)

В ситуации, когда ставка не дана можно применить

 ВСД(выплаты)

Эта функция позволяет вычислить внутреннюю норму доходности

Задание

 

Выяснить что позволяют вычислить функции

ЧИСТНЗ,

ЧИСТВНДОХ