Финансовые вычисления

Финансовые вычисления

Обозначения и понятия

 

PV – начальная сумма (вложение или кредит), текущая стоимость (англ. present value) – исходная сумма долга или оценка современной величины денежной суммы, поступление которой ожидается в будущем, в пересчете на более ранний момент времени. [руб., $,…];

FV (future value - будущее значение) – наращенная/накопленная сумма, будущая стоимость (англ. future value) – сумма долга с начисленными процентами в конце срока. [руб.,$,…];

K=FV/PV – коэффициент наращивания;

 

Обозначения и понятия

 

t – срок финансовой операции, срок погашения долга– интервал времени, по истечении которого сумму долга и проценты нужно вернуть.

n – cрок измеряется числом расчетных периодов (англ. number of periods) обычно равных по времени, в конце которых регулярно начисляются проценты. (например, годы);

Обозначения и понятия

 

I – процент, процентный доход, процентные деньги (англ. interest money), называемые часто коротко "проценты", представляют собой абсолютный доход от предоставления долга. Этот доход принято исчислять в сотых долях от размера вложенной суммы, то есть в процентах (от лат. pro centum – за сто). [руб.,$,…];

r – годовая процентная ставка, ставка процента (англ. rate of interest) является относительным показателем эффективности вложений (норма доходности), характеризующим темп прироста стоимости за период. [% годовых];

Схема операции

 

с точки зрения дебитора: он берет сумму PV с тем, чтобы через время t вернуть ее с процентами.

 

PV

 

FV

 

I

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема операции

 

с точки зрения кредитора: он отдает сумму PV с тем, чтобы через время t получить ее с процентами

 

I

 

FV

 

PV

 

t

Процентная ставка

 

r = (FV – PV) / PV = I / PV

измеряет уровень доходности  отнесением абсолютного эффекта (полученного дохода в виде  суммы процентных денег, начисленных  за весь срок t) к исходной сумме долгового обязательства PV.

В расчетах, как правило, за r принимают годовую процентную ставку, ее называют номинальной ставкой.

Интересно, что до социалистической  революции в России слово "интерес" употреблялось как финансовый  термин для обозначения суммы  процентного дохода.

 

Ставка дисконта

 

Если соотнести сумму процентов (FV – PV) не с PV, а с будущей стоимостью FV, наращенной по мере присоединения процентов, то получится другая мера эффективности – темп снижения

d = (FV – PV)/FV, называемый в финансах учетной ставкой (англ. discount rate), или нормой банковского дисконтирования. Дисконтом в данном случае называется скидка в цене при продаже долгового обязательства (ценной бумаги) ниже номинала.

Простые проценты

 

Схема простых процентов – схема финансовых вычислений, в которой проценты начисляются по ставке r на одну и ту же постоянную базу - исходную сумму долга PV, что за счет многократного прибавления постоянной величины процентного дохода за один период приводит к росту за полный срок n периодов по закону арифметической прогрессии.

Пример. Денежный вклад с выплатой процентов за каждый период непосредственно вкладчику, при этом сумма вклада остается в банке до истечения срока договора.

Простые проценты

 

процентный доход

 

накопленная сумма

 

процентная ставка

 

срок

Простые проценты

 

Пример. Частное лицо сделало вклад в размере 1000 руб. под 10%. Сколько будет на счете через 1,2,3,4 года?

Решение:

 

 

Процентный доход через 1 год

 

Накопленная сумма через 1 год

Простые проценты

 

Процентный доход через 2 года

 

Накопленная сумма через 2 года

 

.

.

 

Процентный доход через 4 года

 

Накопленная сумма через 4 года

Простые проценты. Доля года

 

Номинальные процентные ставки  традиционно объявляются на период, равный одному календарному году n = 1, а срок более короткой финансовой операции измеряется обыкновенной дробью – долей года , 0 < n < 1, которую получают как отношение срока операции t к длине целого года. Если учитывается точное число дней в году (t = 365 или 366), то говорят о начислении точных процентов. При расчете обыкновенных процентов год округляется до 360 = 12 месяцев по 30 дней. Срок операции t можно рассматривать точно или приблизительно.

Простые проценты. Доля года

 

, где t – количество дней  финансовой операции, 
T – количество дней в году

 

Пример. Рассчитать сумму возврата для ссуды в размере 100000 руб. взятой под 8% с 20.02.08 по 31.03.08.

Решение: 31.03.08 – 20.02.08 = 60 дней. В 2008 году 366 дней => n=60/366=0,1639 года.

Доля года

 

В зависимости от определения T и t применяют следующие методики.

• Точные проценты. В России, США, Великобритании и во многих других странах принято считать t =365 в обычном году и Т =366 - в високосном, а t -число дней между датой выдачи (получения) ссуды и датой ее погашения. Дата выдачи и дата погашения считаются за один день.
• Банковский метод. В этом методе t определяется как точное число дней, а число дней в году принимается за 360. Метод дает преимущества банкам особенно при выдаче кредита на срок более 360 дней и широко используется коммерческими банками.
• Обыкновенные проценты с приближенным числом дней. В некоторых странах, например во Франции, Бельгии, Швейцарии принимают Т =360, а t -приближенным, так как считается, что в месяце 30 дней.

Функция в Excel «Доля года»

 

ДОЛЯГОДА(Нач. дата;Конеч. дата;Базис)

 

 

Базис

 

Способ расчета

 

0

 

30 дней в каждом месяце  360 в году

 

1

 

Фактическое число дней в  каждом месяце Фактическое число  дней в году

 

2

 

Фактическое число дней в  каждом месяце

360 в году

 

3

 

Фактическое число дней в  каждом месяце 365 в году

Простые проценты

 

Для нахождения накопленной суммы можно использовать функцию

FV=БС(процентная ставка за весь срок; 1; _ ; Начальная сумма ; _ )

 в обозначениях

FV=БС(r*n;1; ;PV;)

Пример 2

 

Пример Фирма взяла ссуду в банке на расширение производства в размере 1 млн. руб. под 18% годовых с 20.01 по 05.10 включительно. Какую сумму она должна вернуть в конце срока при начислении процентов один раз в год? Определите коэффициент наращения.

Решение. Пусть год не високосный Т=365. Точное число дней между указанными датами  
t =258, а приближенное - t=255.

• Из по точному методу получим

FV= -1 000 000(1+0,18)= -1 127 233 руб.

в конце срока фирме придется отдать (FV отрицательно) на 127233 руб. больше, чем она брала.

Коэффициент наращения в этом случае К=1,1273

Пример 2

 

2. По банковскому методу

FV= -1 000 000(1+0,18)= -1 129 000 руб.

К=1,129

3. По обыкновенному методу с приближенным числом дней

FV= -1 000 000(1+0,18)= -1 127 500 руб.

К=1,1275

Сложные проценты

 

Схема сложных процентов – схема финансовых вычислений, в которой проценты за пользование некоторой суммой денежных средств за каждый период времени прибавляются к этой сумме. Т.е. проценты начисляются на основную сумму и на проценты начисленные за предыдущие периоды.

Сложные проценты характеризуются тем, что база начисления растет в результате регулярного присоединения к ней процентных денег, причитающихся кредитору за предыдущие расчетные периоды. Получается геометрическая прогрессия с постоянным знаменателем, равным множителю наращения (1 + r/m) за один период по ставке процентов r годовых.

Сложные проценты

 

m – количество периодов в году

 

Накопленная сумма по схеме  сложных процентов

Сложные проценты

 

Пример. Инвестор сделал вклад в размере 100000 руб. под 8% годовых на 5 лет с ежеквартальным начислением. Рассчитайте накопленную сумму.

Решение:

 

Сложные проценты

 

Найти накопленную сумму можно используя функцию Excel

FV=БС(ставка за 1 период;общее кол-во периодов; ;Начальная сумма; )

или в обозначениях

FV=БС(r/m;n*m; ;PV;)

Знак перед начальной суммой показывает направление денежного потока. Если деньги отдают, надо поставить«-»

Рост при начислении простых  и сложных процентов по одинаковой  ставке r.

 

 

Сложные проценты.  
Неполный период

 

Возможна ситуация, когда срок финансовой операции не делится на целое число периодов.

Пример. Срок 28 месяцев, начисление по полугодиям. 28/6 = 4 полугодия и 4 месяца. Существует два способа решения: общий и смешанный

Сложные проценты 
Общий метод

 

Считается с дробным количеством периодов

 

FV=БС(r/m;28/6; ; PV; )

 

При этом проценты будут начислены 28/6=4,6666 раз 

Сложные проценты 
Смешанный метод

 

Сначала считается за целое число периодов, а затем на полученную сумму начисляются проценты за остаток срока.

FVц=БС(r/m;4; ; PV; ) – за 4 полугодия

FV=БС(r/3; 1; ; FVц; ) – за оставшиеся 4 месяца

где r/3 – ставка за 4 месяца.

Определение текущей стоимости

 

По заданной будущей сумме FV, которую следует уплатить или получить через некоторое время, необходимо рассчитать современную, текущую сумму PV полученной ссуды или вклада в банк.

Определение текущей стоимости

 

PV=ПС(r/m;n*m;R;FV;тип)

Чистая дисконтированная стоимость

 

Чистая дисконтированная стоимость – текущая стоимость будущей потребности.

Когда проценты с суммы  удерживаются вперед, непосредственно при выдаче кредита, ссуды, говорят, что сумма FV дисконтируется, или учитывается, а сам процесс начисления процентов и их удержания называют учетом, а удержанные проценты - дисконтом, или скидкой D

D=FV-PV 

 

Дисконтирующий множитель

 

Отношение  

v = PV/FV   называют дисконтным или дисконтирующим множителем. По формуле простых процентов -

 

сложных процентов - 

Пример

 

Клиент должен получить в конце года 10000 руб. На какой вклад ему выгоднее положить деньги: простой или срочный с ежемесячным начислением процентов. Годовая процентная ставка в обоих случаях 16%

Решение. Дисконтирующий множитель по простым процентам

FV=10000 

t=T

m=12

r=0,16

k=1

PV=?

 

v=1/(1+rn)=1/(1+0,16)=0,862069,

PV= FV*v =10000*0,862= 8620,69 руб.

Дисконтирующий множитель по  сложным процентам

v=1/(1+r/m)^(mn)=1/(1+0,16/12)^12=0,853045

PV=FV*v=10000*0,853045=  8530,45 руб.

Пример

 

Фирме предстоит через 10 лет  уплатить за кредит банку $100 000. Номинальная ставка 28%. Проценты  начисляются раз в полгода. Определите  текущую стоимость кредита и  дисконт банка.

Решение.

FV= -$100000

r=0,28

m=2

n=10

PV=? D=?

 

 

Текущая стоимость

PV=(-100000)/(1+0,28/2)^(2·10)=$7276,17

Такую ничтожную сумму фирма  получит в качестве кредита.

Дисконт банка

D=FV- PV =100000-7276,17=$92723,83

Такую величину составит доход  банка.

Пример

 

Студент 1 курса хочет накопить 5000$, чтобы после 3 курса поехать на практику. Какую денежную сумму необходимо положить в банк, принимающий вклады под 9% годовых с ежемесячным начислением,если студент может ежемесячно делать довложения по 50$?

Решение: FV=5000$, r=9%, n=3, m=12, R=50$

PV=ПС(r/m;n*m;-R;FV)=-2 248,40р.

Срок финансовой операции

 

Срок n, за который сумма PV вырастит до FV при начислении r процентов годовых m раз в год, можно найти используя следующую функцию:

n = КПЕР(r/m;;-PV;FV;тип)/m

Если делаются довложения:

n = КПЕР(r/m;-R;-PV;FV;тип)/m

 

Срок финансовой операции

 

Или по формулам

Для простых процентов

 

 

 

Для сложных

Пример

 

Сколько лет нужно копить деньги при первоначальном взносе 5000 руб., годовой процентной ставке 18% и ежеквартальных начислениях, чтобы накопить 10000 руб.?

Решение.

PV=5000 руб.

FV=10000 руб.

r=0,18

m=4

n=?

 

 

n=ln(FV/PV)/ln(1+r/m)/m 

 

n= ln(10000/5000)/ln(1+0,18/4)/4=3,9374 года.

Пример. Фирма дала в кредит дочерней фирме 50 000 руб. сроком на 3 года с ежегодным начислением процентов. Под какой процент нужно дать кредит, чтобы вернуть 60 000 руб.?

Решение.

PV=50 000 руб.

FV=60 000 руб

n=3

m=1

r=?

 

r =m*((FV/PV)^(1/(m*n))-1)

r = (6/5)^(1/3)-1=0,06266

r = 6,27%

Процентная ставка

 

Номинальная ставка (nominal rate) – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.

Эта ставка

• не отражает реальной эффективности сделки;
• не может быть использована для сопоставлений.