Шпаргалка по "Эконометрике"

18. Степенная ф-ия y=αx_i^β*ε примен. при моделир. зависимостей спроса и предложения товаров и услуг от их цены.При моедлир. производств. ф-ии, т.е. зав. выпуск. объема продук. в зав. от затрат на з/п, оборуд. и т.д. Степен. модель вида y=αx_i^β*ε м.б. линеаризована, т.е. привидена к лин. виду путем логарифмир. обеих частей равенства и послед. замены переменных. y_i^*=lny α^*=lnα x_i^*=lnx

получ лин модель y^*= α^*+βx_i^*+ε^*.

Степенная и показат. модели y=αx_i^β*ε y=α*β^Xi*ε включ. ε мультпликативно явл. внутренне-линейными, т.к. могут быть сведены к линейным моделям. Степен. и показат. модели вида y=αx_i^β+ε y=α*β^Xi+ε включ. ε аддитивно (в виде суммы) явл. внутренне нелинейными, т.к. они не могут быть сведены к линейным моделям. Для оценки параметров таких моделей примен. разл. интерационные методы (методы послед. приближений). 

19. Коэф. эластичности явл. показат. силы связи X с Y.Показ на сколько % измен знач Y при измен. знач X на 1 %. э^{среднее}(х^{среднее})-среднее,э(х₀)-точечная   э^{среднее}(х^{среднее})=х^{среднее}/у(х^{среднее})*у’_х(х^{среднее}); Х=х₀ э(х₀)=х₀/у(х₀)*у’_х(х₀). Для линейной ф-ии у=α+βх у’_х=β   у^{среднее}= α+β/х   у₀= α+βх₀ Знач. средней и точечной эласт. вычисл. по формулам э(х^{среднее})= βх^{среднее}/α+βх^{среднее}; э(х₀)= βх₀/α+βх₀. Для гиперболической y=α+β/x   y’= - β/x²   y^{среднее}= α+β/x Средняя и точечн. эластичн. э^{среднее}(х^{среднее})= -β/αx^{среднее}+β  э(х₀)= α+β/x₀. Для степенной функции  y=αx^β   y’=αβx^β-1   э=x/y*y’=β, т.е. э=β таким образом для степенной функции y=αx^β коэфф. эласт. представ. собой постоян. незав. от x велич β. Для степенной э(х^{среднее})= э(х₀)=β. Для показат. ф-ии y=α*β^X   y’=αβ^xlnβ  э=хlnβ  э(х^{среднее})=x^{среднее}lnβ  э(х₀)=x₀lnβ 

20. Большинство соц-эконом. явлений явл. ф-ей времени. Эти ф-ии назыв. процессами. Временным (динамич) рядом назыв. совокупн. знач. y_t некот. велич. Y в последов. моменты или промежутки времени. t=1,2…n. y_t-уровень ряда.Временыые ряды,в кот. время задано в виде промежут. назыв. интервальными. Ряды, в кот. уровни ряда относ. к опред. датам назыв. моментными. Осн. сост . времен. ряда. Т_t- тренд. нециклич. хар-ка длит. тенденции измен. велич. Y. S_t- сезонная компонента, опис. повтор. исслед. процессов в теч. не очень большого промежутка времени. С_t-Циклич компонента, хар-я повтор за длит. периоды времени.  ε_t- случайная компонента. 

21. Аддитивная модель y=T_t+S_t+C_t+ε_t  Мультипликативная модель y=T_t*S_t*C_t*ε_t Смешанная модель y=T_t*S_t*C_t+ε_t . Аддитивная модель примен. относит. пост. созенных колебаний. Мультип.-при возр или уб. амплитуды колебаний. Осн. э т а п ы анализа врем. рядов:

графич. представл. и опис. поведения врем. ряда; выделение и удаление закономерных (неслучайных) составляющих врем. ряа (тренда, сезонных и циклич.оставляющих); сглаживание и фильтрация (удаление низко- или высокочастотных составляющих врем.ряда); исслед.случ.составляющей врем. ряда, построение и проверка адекватности матем. модели для ее опис.; прогнозирование развития изуч. процесса на основе имеющ. врем. ряда; исследование взаимосвязи между разл. врем. рядами. 

22. Важное знач. в анализе временных радов имеют стац. врем. ряды, вероятностные с-ва которых не изм. во времени. Стац. врем. ряды примен. при опис. случ. составляющих анализ. рядов. Простейшим примером стац. врем. ряда, у которого мат. ожидание = нулю, а ошибки ε некоррелированы, является «белый шум». В классич. лин. регр. модели случ отклон. образ. белый шум. Автокоррел это коррел. между наблюд. показат. упоряд. во времени или пространстве.

Ф-ию r(τ) назыв. выборочн. автокорреляц.

ф-ей, а ее график — коррелограммой.

При расч. r(τ) следует помнить, что с увелич. τ число n- τ пар наблюдений y_t, y_t+τ уменьш., поэтому лаг τ должен быть таким, чтобы число п- τ было достат. для опред. r(τ). Обычно ориентируются на соотн. τ<п/4. Для временных рядов как правило имеет место автокрреляция остатка.Положит. автокорр. означ.,что положит и отриц. отклон. не разбросаны случ. образом вокруг линии регр.,а образ. группы:положит. сосед. с положит.,а отриц. с отриц.Отриц автокор. означ.,что за положит. отклон. след. отриц и наоборот. Осн. причины автокорр: 1)ошибки спецификации – неучет составл. фактора или неправ. выбор ур-я регр. 2)цикличность экономич. развит. 3)эффект запаздывания – многие экономич. показат. реагируют на измен. условий с запаздыванием. 4)сглаживание данных. Последсвтия автокор. остатков: 1)оценки параметров по МНК, оставаясь несмещ. и состоят. перестают быть эффект. 2)дисперсии оценок явл. смещенными и несостоят. 3)выводы по t и F статистикам, опред. значимость коэфф. регр. и детерминации могут быть неверными. 

23. Графический    метод 1)положит. а/к 2)отсутсвт а/к 3)отриц. а/к . Метод рядов. Рядом назыв. непрерывная проследов. одинак. знаков остатков. Длиной ряда назыв. кол-во знаков в ряду. Если рядов мало по сравн. с объемом выборки, то вероятна полож. автокорр.Если рядов много, то вероятна отриц. автокор. Пусть n- обём выборки. В ней n₁-общее кол-во знаков «+» n₂-общее кол-во знаков минус. К- кол-во рядов.Разраю таблица критич. знач. кол-ва рядов при n=n₁+n₂ наблюд. На пересеч. строки n₁ и столбца n₂ опред нижняя K₁ и верхняя K₂ критич знач. по уровню знач α=0,05. Если К₁<K<K₂ то автокор. отсутств. Если К<К₁ то присутсвт. положит автокор. Если К>К₂, то автокор отриц.

Критерий Дарбина-Уотсона.Статистика Дарбина-Уотсона тесно связана с выборочным коэфф. корреляции r_{et et-1} 
 
 
 
 
 
 
 

24. В лин. регр. модели наиболее целесообр методом устран. автокорр. явл. авторегр. схема 1 порядка, суть кот. сост. в след: рассм модель парной лин. регр. y_t=α+βx_t+ε_t . Тогда для наблюд. в моменты времени t и t-1 знач. завис. переем. равны : y_t=α+βx_t+ε_t   y_t-1=α+βx_t-1+ε_t-1. Пусть ε_t подверж. воздействию авторегр. 1 порядка ε_t=ρ* ε_t+ν_t , где ν_t (t=1,2,...n) – случ. отклон.,удовлет. всем предпосылкам КЛРМ,а ρ-известен. Вычтем из y ρ*y_t-1  y_t=α+βx_t+ε_t  ρ*y_t-1=ρα+ρβ(t-1)+ρε_t-1. Обозначим y_t*=y_t-ρy_t-1 x_t=t-ρ(t-1) α*=α(1-ρ) β*=β     y_t*=α*+β*x_t +ν_t. а* и b* теоретич. параметров α* и β* сделанные по МНК согласно теореме Гаусса-Маркова будут несмещ. у_t*=a*+b*x_t y_HT=a_H+b_Ht   

b_H=b* a_H=a*/1-ρ. Оценка ρ на основе статистики Дарбина-Уотсона. d-статистика Д.-У. тесно связана с коэфф. коррел. соседних остатков. В кач-ве оценки ρ м.б. взят выбор. коэфф. а/к r_{et et-1}

r через d 2(1-r)=d r=d/2-1. Таким образом в опис. выше алгоритме устран. а/к вместо неизв. теоретич. параметра ρ в расч. можно исп. его выбор. оценку r=1-d/2 

25. На любой экономич. показат. чаще всего оказ. влияние не один,а неск. факторов. В этом случае вместо ф-ии парной регрессии рассм. ф-ия множеств. регр. M(Y|X₁=x₁;X₂=x₂;…X_m=x_m)=f(x₁;x₂;_…x_m). Теоретич. модель множеств. лин. регр. имеет вид Y=β₀+βX₁+β₂X₂+….β_mX_m+ε .Для индивид. наблюд. y_i= β₀+βx₁+β₂x₂+….β_mx_m+ε . Коэфф. β_j назыв j-ым теоретич. частным коэфф. регрессии.Параметр β₀ опред. знач. Y в случае, когда все факторы x_j=0. Пусть имеется n-наблюд. вектора объясн. переменных Х=(Х₁,Х₂….Х_n) (х_j1….x_jm) Если n=m+1 β_j рассчит. едиснтв. образом путем решения сис-мы Если n<m+1,сис-ма будет иметь бескон. множество решений. Если n>m+1,нельзя подобр. линейную ф-ию Y=β₀+βX₁+β₂X₂+….β_mX_m точно удовлетв. всем наблюд. и возник. необх. оптимиз.Число степен. свободы есть мера независ. варьир. переем. В данном случае K=m+1 число степеней свободы ν=n-m-1.Для обеспеч статист. надежности модели треб.,чтобы выполн. соотн n>3K.Самым распростр. методом оценки парамтров модели –МНК.Предпосвылки МНК. Под мультикаллин. поним. высокая взаимная

коррелир. объясняющих переменных, Мультиколлин.

может проявл. в  функциональной (явной) и стохастической

(скрытой) формах. При функц. форме мультиколл. по крайней мере одна из парных связей между объясн. переменными является лин. функц. зависимостью.

Стохастической  форме, когда между хотя бы двумя объясняющ. переменными сущ. тесная корреляц. связь. Термин «гетероскедастичность» в широком смысле означ.

предполож. о дисперсии случ. ошибок регресс. модели. Наличие гетероскед. в регресс. модели может привести к негат. последствиям 
 
 

26. Самым распростран. методом оценки параметров ур-я множеств. лин. регр. явл. метод наим. квадратов. Его суть состоит в минимизации суммы квадратов отклон. наблюд. знач. в завис. перем. Y от ее знач. Ϋ, получ. по ур-ю регр. При выполн. предпосылок множеств. регресс.

анализа оценка метода наим. квадратов b = (X'X)^-1X'Y явл. наиболее эффект., т. е. облад. наим. дисперсией в классе лин. несмещ. оценок.Расчет коэфф. Истин. знач. β_j по выборке получ. невозможно.На основании выбор. данных необх. найти империч. ур-я регр. Y=β₀+βX₁+β₂X₂+….β_mX_m+ε . Для индивид. наблюд. y_i= β₀+βx₁+β₂x₂+….β_mx_m+ε. (b₀,b₁….b_m- империч. коэфф. регрессии). По данным выборки объема n x_i1,x_2i….x_in;y_i требуется оценить β_j. Остатки равны e_i=y_i-b₀-b₁x₁-….b_mx_im согласно методам наим. квадр. нах. оценок b₀,b₁….b_m мнимиз. сумма квадр остатков . Необх. условием минимума ф-ия Q_e явл. равенство нулю частных производных 1 порядка.

Приравн. их к  нулю получ сис-му m+1 лин. уравнений (далее система): Σ(y_i-(b₀+Σb_jx_ij)=0 

Σ(y_i-(b₀+Σb_jx_ij))x_ij=0. Эта сис-ма назыв. сис-мой норм. ур-ий. Существует единственное решение этой сис-мы. Представ. данные наблюд. и соотв. коэфф. в матричной форме. Y-вектор столбец размерности n наблюдений зависимой переменной.X- матрица размерности n(m+1) в которой i-я строка представ. наблюд. вектора значений переменных.В- вектор столбец параметров ур-я регрессии. В матричной форме справедливы равенства Y=XB+e  Q_e=Σe_i²  Q_e=e^Te   Q_e=Y^TY-2B^TX^TY+B^TX^TXB

Здесь X^T Y^T B^T e^T векторы матрицы,транспонир. к X Y B e соотв. Необх. условием экстремума ф-ии Q_e явл. равенство нулю производной dQ_e/dB. dQ_e/dB= -2X^-TY+2X^TXB. Приравняв dQ_e/dB к нулевой матрице получим общую формулу оценок параметров модели -2X^TY+2X^TXB=0 

(X^TX)B=X^TY   (X^TX)B=X^TY  B=(X^TX)^-1X^TY

30. Проверка статистической значимости коэффициентов уравнения множественной регрессии

Как и в случае множественной регрессии, статистическая значимость коэффициентов множественной  регрессии с m объясняющими переменными  проверяется на основе t-статистики:  
 
имеющей в данном случае распределение Стьюдента с числом степеней свободы v = n- m-1. При требуемом уровне значимости наблюдаемое значение t-статистики сравнивается с критической точной распределения Стьюдента.  
В случае, если , то статистическая значимость соответствующего коэффициента множественной регрессии подтверждается. Это означает, что фактор Xj линейно связан с зависимой переменной Y. Если же установлен факт незначимости коэффициента b_j, то рекомендуется исключить из уравнения переменную Xj. Это не приведет к существенной потере качества модели, но сделает ее более конкретной.